陜西省西安市司竹中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

陜西省西安市司竹中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知平面區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積是

（

）A.4

B.

C.3

D.2

參考答案：C略3.從數(shù)字1，2，3，4，5中任取三個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)大于400的概率是

A．

B．

C．

D．參考答案：A4.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，頂點(diǎn)P在底面的射影是底面的中心，且各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，體積為4，且四棱錐的高為整數(shù)，則此球的半徑等于（

）（參考公式：）A.2 B. C.4 D.參考答案：B【分析】如圖所示，設(shè)底面正方形ABCD的中心為，正四棱錐P-ABCD的外接球的球心為，半徑為.則在中，有，再根據(jù)體積為可求及，在中，有，解出后可得正確的選項(xiàng).【詳解】如圖所示，設(shè)底面正方形ABCD的中心為，正四棱錐P-ABCD的外接球的球心為，半徑為.設(shè)底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，正四凌錐的高為，則.因?yàn)樵撜睦忮F的側(cè)棱長(zhǎng)為，所以，即……①又因?yàn)檎睦忮F的體積為4，所以……②由①得，代入②得，配湊得，，即，得或.因?yàn)椋?，再將代入①中，解得，所以，所?在中，由勾股定理，得，即，解得，所以此球的半徑等于.故選B.5.已知正方體中，，若，則（

）A． B．

C． D．

參考答案：D略6.已知二面角的平面角是銳角，內(nèi)一點(diǎn)到的距離為3，點(diǎn)C到棱的距離為4，那么的值等于

(

)A． B． C． D．參考答案：D7.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，則的值為

（）A． B．0 C．1 D．2

參考答案：B略8.給出如下四個(gè)命題：①若“p∨q”為真命題，則p，q均為真命題；②“若a＞b，則2a＞2b﹣1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b﹣1”；③“?x∈R，x2+x≥1”的否定是“?x0∈R，x+x0≤1”；④“x＞1”是“x＞0”的充分不必要條件．其中不正確的命題是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①根據(jù)復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行判斷，②根據(jù)否命題的定義進(jìn)行判斷，③根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷即可，④根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：①若“p∨q”為真命題，則p，q至少有一個(gè)是真命題，故①錯(cuò)誤；②“若a＞b，則2a＞2b﹣1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b﹣1”，故②正確，③“?x∈R，x2+x≥1”的否定是“?x0∈R，x+x0＜1”；故③錯(cuò)誤，④若x＞1，則x＞0成立，即充分性成立，若當(dāng)x=滿足x＞0，但x＞1不成立，即x＞0“x＞1”是“x＜0”的充分不必要條件．故④正確，故錯(cuò)誤的是①③，故選：C．9.有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為（

）

A．0.72

B．0.89

C．0.8

D．0.76參考答案：A略10.某學(xué)生在最近的15次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中有5次不及格，按照這個(gè)成績(jī)，他在接下來(lái)的10次測(cè)驗(yàn)中，恰好有8次及格的概率為

A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)變量滿足約束條件，則的最大值是

.參考答案：512.已知直線的極坐標(biāo)方程sin（+）=，則極點(diǎn)到該直線的距離為_(kāi)_______.參考答案：略13.給出下列命題：①直線l的方向向量為=（1，﹣1，2），直線m的方向向量=（2，1，﹣），則l與m垂直；②直線l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），則l⊥α；③平面α、β的法向量分別為=（0，1，3），=（1，0，2），則α∥β；④平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，則u+t=1．其中真命題的是．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）參考答案：①④【考點(diǎn)】平面的法向量．【分析】①根據(jù)直線l、m的方向向量與垂直，得出l⊥m；②根據(jù)直線l的方向向量與平面α的法向量垂直，不能判斷l(xiāng)⊥α；③根據(jù)平面α、β的法向量與不共線，不能得出α∥β；④求出向量與的坐標(biāo)表示，再利用平面α的法向量，列出方程組求出u+t的值．【解答】解：對(duì)于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），∴?=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，∴⊥，∴直線l與m垂直，①正確；對(duì)于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），∴?=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，∴⊥，∴l(xiāng)∥α或l?α，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴與不共線，∴α∥β不成立，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，∵點(diǎn)A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；則u+t=1，④正確．綜上，以上真命題的序號(hào)是①④．故答案為：①④．14.若一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則這個(gè)棱柱的體積為

.參考答案：15.某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8，且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率為

；

參考答案：0.12816.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值為

參考答案：略17.已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2、4、，則的取值范圍是______________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°． （Ⅰ）證明AB⊥A1C； （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值． 參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角． 【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角． 【分析】（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進(jìn)而可得AB⊥A1C； （Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長(zhǎng)，建立坐標(biāo)系，可得，，的坐標(biāo)，設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即為所求正弦值． 【解答】解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B， 因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°， 所以△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB， 又因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C， 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C； （Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB， 所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直． 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的坐標(biāo)系， 可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0）， 則=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，）， 設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即， 可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==， 又因?yàn)橹本€與法向量的余弦值的絕對(duì)值等于直線與平面的正弦值， 故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成的角，涉及直線與平面垂直的性質(zhì)和平面與平面垂直的判定，屬難題． 19.已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）的部分值如表所示：x﹣3﹣201348f''''（x）﹣24﹣10680﹣10﹣90根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答下列問(wèn)題：（Ⅰ）實(shí)數(shù)c的值為

；當(dāng)x=

時(shí)，f（x）取得極大值（將答案填寫在橫線上）．（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a，b的值．（Ⅲ）若f（x）在（m，m+2）上單調(diào)遞減，求m的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）6,3.（Ⅱ）（Ⅲ）見(jiàn)解析【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）由極值的定義，通過(guò)表格可求解；（Ⅱ）在表格中取兩組數(shù)據(jù)代入解析式即可；（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間D，依據(jù)（m，m+2）?D即可．【解答】解：（Ⅰ）6，3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：f''''（x）=3ax2+2bx+c，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由已知表格可得解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得f''''（x）=﹣2x2+4x+6=﹣2（x﹣3）（x+1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由f''''（x）＜0可得x∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因?yàn)閒（x）在（m，m+2）上單調(diào)遞減，所以僅需m+2≤﹣1或者m≥3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以m的取值范為m≥3或m≤﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20.（本題12分）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)。

（1）若，求函數(shù)的解析式。

（2）若，求的最大值。參考答案：解；（1）

由題設(shè)可知：，（2分）

解得，，經(jīng)檢驗(yàn)適合，（3分）

所以（4分）

（2）設(shè)

則，①所以即②（5分）將①代入②得，。（6分）因?yàn)?，所以?分）令，則（8分）由得，由得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，（10分）所以，即的最大值為96，（11分）

所以的最大值是（12分）21.已知函數(shù).（1）討論f(x)的奇偶性；（2）若f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，且，此時(shí)，為非奇非偶函數(shù).（2）設(shè)，∵為上的增函數(shù)，∴在上單調(diào)遞減，且對(duì)恒成立，∴，解得，即的取值范圍為.22.已知曲線C：（θ為參數(shù)），直線l：ρ（cosθ﹣sinθ）=12．（Ⅰ）求直線l的直角坐標(biāo)方程及曲線C的普通方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P在曲線C上，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式把直線L的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)曲線C上任一點(diǎn)為P