2020-2021年山東省濟(jì)南市德潤(rùn)高級(jí)中高一（下）期中數(shù)試卷解析版

2020-2021年山東省濟(jì)南市德潤(rùn)高級(jí)中高一(下)期中數(shù)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)復(fù)數(shù)(2+。(|3+447)的虛部為()

A.3B.-7zC.-3/D.-7

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)式子，求得虛部.

【解答】解：?.?(2+i)(|3+4"T)=(2+i)(5-i)=ll+3i,，其虛部為3.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.(5分)設(shè)向量”=(3,加)，向量b=(-l,2),若向量a與向量b共線，則m的值為()

33

A.-B.--C.6D.-6

22

【分析】根據(jù)4與6共線即可得出6+m=0,從而可得出m的值.

【解答】解：a與b共線，

.-.3x2-(-l)./n=0,解得m=-6.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了共線向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.(5分)設(shè)向量a=(",3),向量6=(0,3),若向量2a-36與向量3a-6垂直，則〃的值為

()

A.+—B.+—C.±0D.±6

22

【分析】由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，求出〃的值.

【解答】解：,向量。=(〃,3),向量6=(0,3),若向量2a-3。與向量3a-6垂直，

則(2a—3。)―(3a-6)=6/-11。/+3。2=6(7+9)—11x9+3x9=0,

則〃=±5

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)已知AA8C是邊長(zhǎng)為。的正三角形，那么AA8c平面直觀圖△A8C的面積為(

）

A\/62口62^32cR2

A.——aB.——aCr.——aD.——a

1632168

【分析】由原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系&=立，求出原三角形的面積，再求直觀圖

S聯(lián)圖4

△A9C的面積即可.

【解答】解：正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,故面積為立a?,而原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系

4

S直觀圖二戰(zhàn),

S原圖4

故直觀圖△次夕。的面積為理/

16

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查斜二測(cè)畫(huà)法中原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系，屬基本運(yùn)算的考查.

5.（5分）如圖，在AA3C中，點(diǎn)。在3c邊上，/4Z）C=60。，CD=AD=2,BD=4,則

sin8的值為（）

【分析】由題意可得AA/X;為等邊三角形，可得AC=2,ZC=60°,由余弦定理求得AC,

再由正弦定理可得sin3.

【解答】解：ZADC=60°,CD=AD=2,

可得AWC為等邊三角形，可得AC=2,

ZC=60°.

BC=4+2=6,

由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC

=4+36—2-2-6--=28,

2

即AC=2>/7,

2XB

由正弦定理可得sinB=4等=奈=答'

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.（5分）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱錐的高為3,體積為6,則這個(gè)球的表面積

為（）

A.16萬(wàn)B.20]C.244D.32萬(wàn)

【分析】畫(huà)出圖形，正四棱錐P-/WCZ）的外接球的球心在它的高尸01上，記為O,求出POt,

00t,解出球的半徑，求出球的表面積

【解答】解：正四棱錐尸-舫8的外接球的球心在它的高尸01上,

記為O,PO=AO=R,PO|=3,OOX=3-R,

在?△AO0中，R2=3+(3-Rf得R=2,

球的表面積S=16打

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積，球的內(nèi)接體問(wèn)題，解答關(guān)鍵是利用直角三角形列方程式求解

球的半徑，是基礎(chǔ)題

7.（5分）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為萬(wàn)，則球的體積為（）

【分析】做該題需要將球轉(zhuǎn)換成圓，再利用圓的性質(zhì)，獲得球的半徑，解出該題即可.

【解答】解：截面面積為萬(wàn)n截面圓半徑為1,又與球心距離為In球的半徑是應(yīng)，

所以根據(jù)球的體積公式知限=殍=/，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查生的空間想象能力，以及生對(duì)圓的性質(zhì)認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步求解的能力，是基礎(chǔ)

題.

8.（5分）如圖所示的是一個(gè)封閉幾何體的直觀圖，則該幾何體的表面積為（）

A.Incrrt'B.S/rcm2C_97rcnTD.117rd

【分析】由圖可知：該幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)半球所得的幾何體，幾何體的表面積=圓

柱的側(cè)面積+圓柱的底面積+半個(gè)球面.

【解答】解：S=2^X1X（1+2）+TTX12+^X4^X12=9^,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的表面積，屬于基礎(chǔ)題.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。

9.（5分）已知a,△是空間中兩個(gè)不同的平面，機(jī)，”是空間中兩條不同的直線，則給出

的下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.若機(jī)_La,,則"http://〃B.若加//a,〃?//￡,則c/〃？

C.若a_L￡,ml!P,則D.若a//￡,mVa,則"?_L〃

【分析】由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷A；由直線與平面平行及平面與平面平行的定義判

斷8；由平面與平面垂直、直線與平面平行的定義判斷C；由直線與平面垂直、平面與平

面平行的定義判斷O.

【解答】解：對(duì)于A,若》7_Le,則，〃//〃，故A正確；

對(duì)于3,若,"http://a,ml10,則a//〃或a與/?相交，故3錯(cuò)誤;

對(duì)于C,若a上0,相〃力，則,〃//0或sua或機(jī)與a相交，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，若則機(jī)垂直a內(nèi)的所有直線，又c//￡,則機(jī)垂直月內(nèi)的所有直線，則

mA./3,故。正確.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用，

考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.

10.（5分）一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，下列結(jié)

論正確的是（）

A.圓柱的側(cè)面積為2萬(wàn)4

B.圓錐的側(cè)面積為2萬(wàn)2

C.圓柱的側(cè)面積與球面面積相等

D.圓柱、圓錐、球的體積之比為3:1:2

【分析】利用圓柱、圓錐、球的側(cè)面積及其體積計(jì)算公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：A.圓柱的側(cè)面積=2乃RX2R=4;TR2,因此A不正確；

B.圓錐的側(cè)面積=gx2萬(wàn)RXJQRJ+R?=也兀爐,因此3不正確；

C.圓柱的側(cè)面積=4萬(wàn)店，因此與球面面積相等，可得C正確；

D.圓柱的體積=乃??32/?=2乃內(nèi)，圓錐的體積=」乃/?晨2火=空內(nèi)，球的體積=9;?3,

333

可得它們的體積之比為3:1:2,因此。正確.

故選：CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱、圓錐、球的側(cè)面積及其體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

11.（5分）如圖是正方體的展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中，下列命題正確的是（）

A.AF與CV平行B.8M與4V是異面直線

C.他與8例是異面直線D.8N與￡>E是異面直線

【分析】把平面圖還原正方體，由正方體的結(jié)構(gòu)特征判定A與8；由異面直線的定義判斷C

與D.

【解答】解：把正方體的平面展開(kāi)圖還原原正方體如圖，

由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，顧與C7V異面垂直，故A錯(cuò)誤；

與4V平行，故5錯(cuò)誤；

平面8GW,Fe平面8cM/，/U平面8cM/，F(xiàn)唉BM,

由異面直線定義可得，瓶與3M是異面直線，故C正確；

DEu平面ADNE,Ne平面ADNE,平面ADNE,NiDE,

由異面直線定義可得，BV與QE是異面直線，故。正確.

故選：CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是中

檔題.

12.（5分）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-A8|G。中，下列結(jié)論正確的是（）

A.異面直線BR與BC所成的角大小為90。

B.四面體RQBC的每個(gè)面都是直角三角形

C.二面角BC-4的大小為30。

D.正方體48CD-A與GA的內(nèi)切球上一點(diǎn)與外接球上一點(diǎn)的距離的最小值為叵］

【分析】證明線面垂直，得到線線垂直判定A；由正方體的結(jié)構(gòu)特征及直線與平面垂直的

性質(zhì)判斷8；求出二面角A-BC-用的大小判斷C；分別求出正方體A8CO-A4GA的

內(nèi)切球與外接球的半徑，作差判斷。.

【解答】解：如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-A4GR中，

D?±平面BBgC,則RG_LB|C,又4c±BCt,

D,C,fBC,=C,,?平面8G2,則BC_L8R,

即異面直線8%與8。所成的角大小為90。，故A正確；

DDt±底面ABCD,DR±DB,DDt±DC,再由8C_L平面DDgC,

可得3CJ_DC,BC±D,C,得四面體8c的每個(gè)面都是直角三角形，故3正確；

由BC_L平面ORCC，可得BC_LRC,BC±CC,,即NRCG為

二面角R-BC-q的平面角，大小為45。，故C錯(cuò)誤；

正方體ABC￡>-AB|GR的內(nèi)切球的半徑為g,外接球的半徑為日，

則正方體ABCD-AQGA的內(nèi)切球上一點(diǎn)與外接球上一點(diǎn)的距離的最小值為牛故￡）

正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用，考查空間想象

能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）空間兩個(gè)角a,/7的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且a=60。，則￡=_60?；?20。_.

【分析】根據(jù)平行公理知道當(dāng)空間兩個(gè)角a與/的兩邊對(duì)應(yīng)平行，得到這兩個(gè)角相等或互

補(bǔ)，根據(jù)所給的角的度數(shù)，即可得到月的度數(shù).

【解答】解：如圖，

空間兩個(gè)角a，P的兩邊對(duì)應(yīng)平行,

.?.這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，

a—60°，

尸=60。或120°.

故答案為：60。或120。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行公理，本題解題的關(guān)鍵是不要漏掉兩個(gè)角互補(bǔ)這種情況，考查空間想

象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.(5分)在四邊形ABCZ)中，AB=(4,-2),4c=(7,4),A￡>=(3,6),則四邊形ABCZ)的

面積為30.

【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，得到四邊形鉆8為矩形，再根據(jù)

向量的模的計(jì)算得到，矩形的長(zhǎng)和寬，即可求出面積.

【解答】解：AB=(4,-2),AC=(7,4),AD=(3,6),

/IB-AD=4x3-2x6=0,BC=AC-AB=(3,6)=AD,DC=AC-AD=(4,2)=AB,

ABVAD,BC//AD,AB11DC,

.??四邊形A88為矩形，

|AB|=742+(-2)2,|A￡>|=用+62=回，

四邊形ABCD的面積為回XA=30,

故答案為：30.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積以及向量的模，屬于基礎(chǔ)題.

15.(5分)在AABC中，AB=AC=5,BC=6,A4_L平面ABC,B4=8,則尸到8C的

距離為_(kāi)4不

【分析】由尸是等腰三角形A8C所在平面外一點(diǎn)，24,平面A8C,我們易得PB=PC,

取的中點(diǎn)。，則ADJ_3C,且尸￡>J_8C,利用勾股定理我們易求出45的長(zhǎng)，進(jìn)而求

出PD的長(zhǎng)，即點(diǎn)尸到3c的距離.

【解答】解：如下圖所示：

設(shè)D為等腰三角形他C底面上的中點(diǎn)，則尸。長(zhǎng)即為P點(diǎn)到BC的距離

又，4）即為三角形的中線，也是三角形BC邊上的高

BC=6,AB=AC=5,易得AD=dAB?-BD2=《2=4

在直角三角形B4￡>中，又PA=S

:.PD=46

故答案為4石

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間點(diǎn)、線、面之間的距離，其中利用三角形的性質(zhì)，做出PD

即為點(diǎn)P到BC的垂線段是解答本題的關(guān)鍵.

16.（5分）如圖，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A、B,望對(duì)岸的標(biāo)記物C,測(cè)

得NC4B=45。，ZCBA=75°,45=120米，則45:BC=—,這條河的寬度為.

~2-----

C

B

【分析】利用正弦定理，把邊化角求出仝，再利用正弦定理和解直角三角形求出河寬CD.

BC

【解答】解：在AA8C中，ZC4B=45°,ZCBA=75°,:.ZACB=60°,

由正弦定理得絲=別￡=包”=逅.

BCsinAsin4502

V6+V2

￡=—,AC=絲g"==60&+20指，

sinBsinCsinCV3

作CDJ_AB,則8的長(zhǎng)為河寬，

在RtAADC中，ZC4B=45°.

:.CD=AC-sinZCA￡>=—(60夜+20^)=60+20>/3.

2

故答案為：漁，(60+206)米.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(10分)已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且,a±c.

(1)求b與d；

(2)若m=2a-b,〃=a+c,求向量"?、〃的夾角的大小.

【分析】(1)由。///?求出x的值，由。_Lc求出y的值，從而得出Z?、c；

(2)計(jì)算相、〃，利用平面向量夾角的公式求出8SV,%,〃>,即得夾角的大小.

【解答】解：(1)由a//得3x—4x9=0,解得x=12；

由。_!_。得9乂4+孫=0,

解得y=———=——=—3；

x12

所以b=(9/2),c=(4,—3)；

(2)m=2a-b=(-3,-4),

〃=a+c=(7,1)；

所以他?〃=—3x7—4x1=—25,

|m|=7(-3)2+M)2=5,

|n|=V72+l2=572；

蜴］mn-25五

所以cos<tn,n>=-------=-----T==--------，

\/n\x\n\5x5V22

所以向量〃的夾角為包.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，平行向量與共線向量，數(shù)量積判斷兩個(gè)平

面向量的垂直關(guān)系，其中根據(jù)“兩個(gè)向量平行，坐標(biāo)交叉相乘差為零，兩個(gè)向量若垂直，對(duì)

應(yīng)相乘和為零”構(gòu)造方程是解答本題的關(guān)鍵.

18.(12分)在①2——-——:----=----------，②2<:8sC=acos8+/?cosA這兩個(gè)條件中任

選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，并解答.

在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,.

(1)求角C;

(2)若。=石,〃+匕=JTT,求AABC的面積.

【分析】若選擇①，

(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得。2+6-02=必，由余弦定理可得COSC=L,結(jié)合范圍

2

Cc(O,萬(wàn))，可求C的值.

(2)由題意利用余弦定理可求得油的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

若選擇②，

(1)由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式可得2sinCcosC=sinC,結(jié)合C為

三角形內(nèi)角，sinCVO,可得cosC='，結(jié)合范圍Ce(O,乃)，可求C的值.

2

(2)由題意利用余弦定理可求得油的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【解答】解：若選擇①，sinA-sinC=sin'-sinB,

ha+c

(1)由正弦定理可得：—,整理可得：a2+b2-c2=ab,

ha+c

a2+b2-c2ab

由余弦定理可得cosC=

2ab~2

因?yàn)镃E(O,I),

所以c=巳

3

(2)因?yàn)镃=X，c=^,a+b=4H,

3

所以由余弦定理。2=〃+匕2-2abeosC,可得5=/+y-ab=(a+b)?-3ab=11-3ab,

解得ab=2,

所以SMBC=^tz/?sinC=^x2x^=—.

若選擇②，2ccosC=67cosB+Z?cosA,

(1)由正弦定理可得：2sinCeosC=sinAcos3+sin8cosA=sinC，

因?yàn)?。為三角形?nèi)角，sinC^O,

所以可得cosC=，，

2

因?yàn)閏w(o,m，

所以c=&.

3

(2)因?yàn)镃=色，c=y/5,a+h=J\\,

3

所以由余弦定理/=a2+b2-2abcosC,可得5=/+〃2-ab=(?+b)2-3ab=11-3ab,

解得ab=2,

所以與w=；”"sinC=gx2x與=孚.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，兩角和的正弦函數(shù)公式

在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.(12分)如圖，矩形ADE/與梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADLCD,AB//CD,

4?=AD=2,CD=4,用為CE的中點(diǎn).

(I)求證：8M〃平面ADE尸；

(H)求證：8(7，平面應(yīng)把.

【分析】(I)取DE中點(diǎn)N,連結(jié)MM,AN,證明四邊形A8AW為平行四邊形，從而可

證//平面ADEF；

(〃)先證明平面ABCD，可得E￡)_L3C,再利用勾股定理，證明3C_L3￡>,利用線

面垂直的判定定理，證明BC_L平面

【解答】證明：(I)取DE中點(diǎn)N,連結(jié)MN,AN.

在AEDC中，M,N分別為EC,EZ)的中點(diǎn)，…(2分)

所以MV//CD,且MN='C￡).

2

由己知AB//CD,AB^-CD,

2

所以肱V//A8,且=

所以四邊形/WMV為平行四邊形.…（4分）

所以8M//AN.

又因?yàn)?Vu平面4%戶(hù)，且8MU平面4%戶(hù)，

所以8M//平面AOEF.…（6分）

（II）在矩形4）所中，EDVAD.

又因?yàn)槠矫鍭DEF±平面ABCD,

且平面平面ABCD=AD,

所以EDI.平面ABCD.

所以E?_L8C.…（9分）

在直角梯形MCD中，AB=AD=2,C￡>=4,可得8c=20.

在ABCD中，BD=BC=20,CD=4,

因?yàn)锽/T+BC。=Cb,所以BCLBD.

因?yàn)?。。。￡：=。，所以BC_L平面5￡）E.…（13分）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行，考查線面垂直，考查生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用線面平

行、垂直的判定定理是關(guān)鍵.

20.（12分）如圖，在底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱A8C-A4G中，F(xiàn),Ft

分別是AC,AG的中點(diǎn).求證:

（1）平面A46//平面GBF；

（2）平面破耳，平面ACC6.

c

B

【分析】(1)由題意得出與AFJ/QF,從而證明平面A片耳〃平面G8F；

(2)由題意知A41_L平面AAG，得出用《?LA4I;再由B『J-AG，

得出B/，平面4CGA,從而證明平面AB,^_L平面4CGA-

【解答】證明：(1)在底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱A8C-AqC中，

F,K分別是AC,AG的中點(diǎn)，

:.BtFt//BF,AFJ/C\F；

又8mA耳=￡,G尸，BF=F,

.??平面A片耳〃平面

(2)在底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC4,gG中，

A4,JL平面A4G，

/.B1F1±M；

又與耳_LAG，441=A，

.?.用4J.平面4CGA，

又4Eu平面4片耳，

平面ABtFt_L平面4CGA-

【點(diǎn)評(píng)】本題證明了空間中的平行與垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

21.(12分)在四棱錐尸-ABCD中，底面鉆8是正方形，側(cè)面R4D是正三角形，平面PAD1.

底面ABCD.

(1)證明：45_L平面以。；

(2)求面E4D與面P38所成的二面角的正切值.

【分析】(1)根據(jù)平面F4DJ_底面ABC。以及即可證得/由，平面R4Z)：

(2)利用面積射影法，求出面皿)與面也陽(yáng)所成的二面角的余弦值，即可求出面抬。與

面PE出所成的二面角的正切值.

【解答】(1)證明：底面ABC。是正方形，

：.ABLAD,

?平面以O(shè)_L底面A88,平面P40c底面A88=AO,

由面面垂直的性質(zhì)定理得，4?，平面PAD；

(2)解：由題意，AP8￡)在面抬。上的射影為AftW.

2

設(shè)AD=a)則S^PAD=~~^<

APBZ)中，PD=a,BD=\[la,PB=42a,，“皿=；xaxJ2a'，

面24。與面PDB所成的二面角的余弦值為