高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊《第八章 立體幾何初步》單元測試 （含解析）

/人教A版（2019）必修第二冊《第八章立體幾何初步》單元測試一、單選題（本大題共8小題，共40分）1.（5分）教師拿了一把直尺走進教室，則下列判斷正確的個數(shù)是(①教室地面內(nèi)有且僅有一條直線與直尺所在直線平行；②教室地面內(nèi)有且僅有一條直線與直尺所在直線垂直；③教室地面內(nèi)有無數(shù)條直線與直尺所在直線平行；④教室地面內(nèi)有無數(shù)條直線與直尺所在直線垂直．A.1 B.2 C.3 D.42.（5分）在空間，α表示平面，m，n表示二條直線，則下列命題中錯誤的是(A.若m//α，m、n不平行，則n與α不平行B.若m//α，m、n不垂直，則n與α不垂直C.若m⊥α，m、n不平行，則n與αD.若m⊥α，m、n不垂直，則n與α3.（5分）已知三棱錐A?BCD的頂點均在球O的球面上，且AB=AC=AD=3,∠BCD=π2A.43π B.23π C.4.（5分）如圖，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的棱長均為2?A.32 B.12 C.145.（5分）過空間任意一點引三條直線，它們所確定的平面?zhèn)€數(shù)是(A.1 B.2 C.3 D.1或36.（5分）已知ΔABC是邊長為4的正三角形，點D是AC的中點，沿BD將ABCD折起使得二面角A?BD?C為π3，則三棱錐CA.26π B.523π C.5327.（5分）空間兩條直線a,b與直線l都成異面直線，則直線a,b的位置關(guān)系是(

)A.平行或相交 B.異面C.平行 D.平行、相交或異面8.（5分）如圖，已知平面α，β，且α∩β=l.設(shè)梯形ABCD中，AD//BC，且AB?A.AB=CD B.直線AB與C.直線AC與BD可能為異面直線 D.直線AB，CD，l相交于一點二、多選題（本大題共5小題，共25分）9.（5分）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，?A.直線D1D與直線AF垂直 B.直線A1C.平面AEF截正方體所得的截面面積為98 D.點C與點G到平面AEF10.（5分）已知，點E，F(xiàn)，G分別是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BCA.過B1，E，F(xiàn)B.點P在直線FG上運動時，EP//平面BDC.點M在直線FC1D.點Q在直線CD1上運動時，三棱錐11.（5分）已知α，β表示不同的平面，m，n表示不同的直線，則下列命題中正確的有(A.若m⊥β，m?αB.若m⊥α，n⊥αC.若m?//?n，n⊥α，D.若m?//?α，n?//?β且α?//?β12.（5分）已知m，n是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題，其中正確命題的是(A.若m//β，n//β，m,n?α，則B.若α⊥γ，β⊥γ，αC.若m⊥α，α⊥β，D.若m//α，m//β，α∩β13.（5分）正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為CC1A.B1G⊥BC B.平面C.A1H//面AEF????? D.二面角E?三、填空題（本大題共5小題，共25分）14.（5分）已知正三棱錐的側(cè)棱長為2，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐外接球的表面積為______．15.（5分）已知各頂點都在一個球面上的正方體的棱長為2，則這個球的體積為______．16.（5分）正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F17.（5分）一個多面體的頂點是四個半徑為3且兩兩外切的球的球心，則該多面體內(nèi)切球的半徑為______；內(nèi)切球的體積為______.18.（5分）在正三棱錐P?ABC(頂點在底面的射影是底面正三角形的中心)中，∠APB=30°，AB=4，過A作與PB，PC分別交于四、解答題（本大題共5小題，共60分）19.（12分）如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD.?(Ⅰ)證明：平面AEC⊥平面BED；?(Ⅱ)若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD20.（12分）如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC?A1(1)求證：AC⊥(2)若平面A1ACC1⊥平面ABC21.（12分）如圖1，四邊形ABCD是直角梯形，其中BC=CD=1，AD=2，∠ADC=90°.點E是AD的中點，將ΔABE沿BE折起如圖2，使得A'E⊥平面BCDE(1)求證：MN⊥(2)求三棱錐E?BNM22.（12分）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB為直角，AB//CD，AD=CD=2AB=2，(Ⅰ)證明：AB⊥平面BEF(Ⅱ)若PA=25?23.（12分）敘述并證明直線與平面垂直的判定定理．

答案和解析1.【答案】A;【解析】?該題考查空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查分類討論思想和空間想象能力，屬于中檔題．?考慮直尺所在直線與教室地面平行，相交或在底面上，結(jié)合直線與直線的位置關(guān)系，即可得到結(jié)果．??解：①教室地面上若有一條直線與直尺所在直線平行，?可得存在無數(shù)條直線與直尺所在直線平行，故①錯誤；?②教室地面上若有一條直線與直尺所在直線垂直，則與教室地面上的直線平行的直線?與直尺所在直線都垂直，故②錯誤；?③若直尺所在直線與教室地面相交，教室地面上不存在直線與直尺所在直線平行，故③錯誤；?④不管直尺所在直線與教室地面平行，相交或在底面上，?教室地面上都存在無數(shù)條直線與直尺所在直線垂直，故④正確．?故選：A．?2.【答案】A;【解析】解：對于A，若m//α，m、n不平行，則n與α可能平行、相交或n?α故選A.?對于A，若m//α，m、n不平行，則n與α可能平行、相交或n?α此題主要考查空間線面位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．3.【答案】C;【解析】解：因為AB=所以由三角形全等可得HB=即H為ΔBCD因為∠BCD=π2，則則球心在AH上，?由勾股定理AH=設(shè)球O的半徑為R，則R2所以R=3球O的表面積為4πR故選：C．?根據(jù)題意可知HB=HC=HD，且H為BD的中點，可求出高該題考查四面體的外接球，以及外接球的表面積，屬于中檔題．4.【答案】C;【解析】?此題主要考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．屬于中檔題．?利用平行線，找到異面直線所成角，然后利用余弦定理求解即可.??解：連接AB1，交A1B于點O，取AC中點為?因為O為AB1的中點，所以則∠BOE是異面直線A1B由三角形的中位線的性質(zhì)可知OE//B又OB=12在ΔBOE中，由余弦定理可得cos∠異面直線A1B與B1故選C.5.【答案】D;【解析】?根據(jù)三條直線的位置關(guān)系求得平面的個數(shù)．?該題考查了直線與平面；注意三條直線是否共面來解答．要全面考慮．???解：當(dāng)三條直線在同一個平面內(nèi)時，它們所確定的平面?zhèn)€數(shù)是1個；?當(dāng)三條直線不在同一個平面內(nèi)時，它們所確定的平面?zhèn)€數(shù)是3個；?故選D．6.【答案】A;【解析】解因為ΔABC是邊長為4的正三角形，點D是AC的中點，AD=CD所以BD⊥AC，在折起的過程中，始終由BD⊥AD，所以BD⊥面ACD，y可得外接球的球心為過底面外接圓的圓心作垂直于底面的垂線與中截面的交點，設(shè)外接球的半徑為R?且由題意知∠ADC折起的二面角A?BD?C又AD=CD，所以折起的底面ΔACD則2r=ACsin所以R2所以外接球的表面積S=4π故選：A．?由題意折起的三棱錐為一條側(cè)棱垂直于底面，由一條側(cè)棱垂直于底面，可得外接球的球心為過底面外接圓的圓心作垂直于底面的垂線與中截面的交點，求出折起的三棱錐的棱長，進而求出外接球的表面積．?考查三棱錐的棱長與外接球的半徑的關(guān)系及球的表面積公式，屬于中檔題．7.【答案】D;【解析】解：在空間兩條直線a，b與直線l都成異面直線，則a，b的位置關(guān)系是a//b，或a與b相交，或a，b是異面直線．?故選：D．?根據(jù)空間直線的位置關(guān)系進行判斷即可．?這道題主要考查空間直線的位置關(guān)系的判斷，比較基礎(chǔ)．8.【答案】D;【解析】解：梯形ABCD中，AD//BC，且AB?α，CD?AB和CD不為異面直線；AC和BD不為異面直線；?由AB、CD相交，設(shè)交點為P，可得P在AB上，又AB在平面α內(nèi)，可得P在平面α內(nèi)；?同理可得P也在平面β內(nèi)，則P在平面α、β的交線上，?即直線AB，CD，l相交于一點．?故選：D.?由梯形的定義和平面的基本性質(zhì)，結(jié)合圖形，可得結(jié)論．?此題主要考查空間中線線的位置關(guān)系，以及平面的基本性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．9.【答案】BC;【解析】?此題主要考查空間中直線、平面間的位置關(guān)系及截面面積和空間中的距離，屬于中檔題.?A.利用線面垂直的定義進行分析；B.作出輔助線利用面面平行判斷；C.作出截面然后根據(jù)線段長度計算出截面面積；D.根據(jù)平面AEF是否過CG中點進行判斷.??解：若D1D⊥AF，又因為D1D⊥所以D1D⊥平面因為EF?平面AEF，所以D因為D1D//C故A錯誤；?取B1C1中點N，連接A1N,?因為N，G分別是B1C1，B因為E,F分別是BC，CC1的中點，所以所以EF//NG.因為NG?平面AEF，EF?平面所以NG//平面AEF.因為N、E分別為B1C1所以AA1?//?所以A1因為A1N?平面AEF，AE?所以A1N//平面因為NG∩A1所以平面A1NG//平面因為A1G?平面A1NG，所以故B正確;?連接D1F，?因為E，F(xiàn)分別為BC，C1所以EF//BC所以A,E,F,D1四點共面，所以截面為梯形在梯形AEFDEF=1?AE=故梯形AEFDS=2故C正確;?假設(shè)C，G到平面AEF距離相等，即平面AEF將CG平分，則平面AEF必過CG中點，連接CG交EF于H，??易知H不是CG中點，故假設(shè)不成立，故D錯誤;?故選BC10.【答案】ABD;【解析】?此題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間直線與平面的位置關(guān)系、體積的運算．?由棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間直線與平面的位置關(guān)系可分析每項得答案．??解：對于A，連接B1D1、EF、B1E、D1F，易知B1D1//EF，B對于B，連接BD、GF，因為EF//BD，EF?平面BDD1B1，BD?平面BDD1B1，所以EF//平面BDD1B1，同理GF//平面BDD1B1，因為EF∩GF=F，EF，GF?對于C，連接A1C、C1F，因為A1D1⊥平面CC1D1D，C1F?平面對于D，連接CD1、A1B、A1D，因為CD1//A1B，CD1?平面A1BD，A1B故選ABD11.【答案】AB;【解析】?此題主要考查空間線面、線線間的位置關(guān)系.?根據(jù)面面垂直的判定定理判斷A；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理判斷B；由m有可能在平面β內(nèi)排除C；根據(jù)m和

n有可能相交或異面排除D.解：若m⊥β，m?α，由面面垂直的判定定理可得α⊥若m⊥α，n⊥α，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得m?//?

若m?//?n，n⊥α，α⊥β，則直線m若m?//?α，n?//?β且α?//?β，則直線m和n有可能相交或異面，故D12.【答案】BD;【解析】??此題主要考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判斷，比較基礎(chǔ)．?根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系逐一判斷即可.??解：A若m//β，n//β，m、n?α，則α//β或α與β相交；故AB若α⊥γ，β⊥γ，∵n?γ∴m⊥n成立，故B正確；?C若m⊥α，α⊥β，α∩βD若m//α，m//β，α∩β=n，那么m//n故選BD.?13.【答案】BC;【解析】?此題主要考查了線面平行的判定、二面角的平面角、平面的基本性質(zhì)、空間直線與直線的位置關(guān)系，屬于中檔題.?根據(jù)相關(guān)知識逐個分析解答.??對于A.連接BG，∵BB1⊥面ABCD，BC∴BC⊥BB1，若BC⊥所以BC⊥平面B從而證得BC⊥所以BC不與B1G垂直，對于B.連接AD1，則可證明所以AFED1共面，故對于C.取B1C1的中點M，連接HM則顯然AF//A1M所以可證明面A1HM//面進而由面面平行的性質(zhì)知C正確；?對于D.過點C作AF的垂線CN，垂足為N，連接EN，?則∠ENCsin∠所以∠ENC>π故選BC.14.【答案】12π．;【解析】解：∵正三棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直，?∴構(gòu)造邊長為2的正方體，?則正方體的體對角線為外接球的直徑，?設(shè)球半徑為r，?則正方體的體對角線長為23即正三棱錐外接球的半徑r=3∴正三棱錐外接球的表面積為4πr故答案為：12π．?利用正三棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直，構(gòu)造邊長為2的正方體，則正方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑即可求出球的表面積．?此題主要考查球的表面積公式的計算，根據(jù)正三棱錐的側(cè)棱關(guān)系構(gòu)造正方體，根據(jù)正方體的體對角線和球直徑之間的關(guān)系求出球半徑是解決本題的關(guān)鍵．15.【答案】43【解析】?求出正方體的對角線的長度，就是外接球的直徑，利用球的體積公式求解即可．?該題考查球的內(nèi)接體，球的體積的求法，求出球的半徑是解答該題的關(guān)鍵，考查計算能力．??解：因為一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為2，?所以正方體的外接球的直徑就是正方體的對角線的長度：23所以球的半徑為：3．?所求球的體積為：4π3故答案為：43?16.【答案】26【解析】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為?設(shè)AB=2，則C(0,2,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，C∴C→D1=(0,?2,2)設(shè)平面A1C1則n→.EF→=?x+y=0設(shè)直線CD1與平面A1則sinθ=∴直線CD1與平面A1：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線CD該題考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．17.【答案】222【解析】解：由題意可得，該多面體為正四面體，棱長為23如圖，??設(shè)底面三角形的中心為E，則BE=則AE=∴正四面體的體積V=13S則4×13S內(nèi)切球的體積為43故答案為：22；2由題意可得，該多面體為正四面體，棱長為23此題主要考查多面體內(nèi)切球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題．18.【答案】43【解析】?畫出正三棱錐的側(cè)面展開圖，利用兩點之間線段最短得出截面ΔADE的周長最小時為線段AA'的長，再利用余弦定理和勾股定理求得該題考查了利用幾何體的側(cè)面展開圖求截面周長最值的問題，是中檔題．??解：此正三棱錐的側(cè)面展開圖如圖所示：?則ΔADE的周長為AD∴當(dāng)D、E處于如圖位置時，截面ΔADE的周長最小，即為AA?又∠APB=30°在等腰三角形PAB中，設(shè)PA=x，且AB由余弦定理得42解得x2=16∴AA即截面ΔADE周長的最小值是4故答案為：4319.【答案】(I)證明：因為四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，?所以AC⊥又因為BE⊥平面ABCD，AC?平面所以BE⊥而BD∩BE=B，BD，BE所以AC⊥面BED又因為AC?平面AEC所以平面AEC⊥平面BED?(II)解：設(shè)BE=x，菱形ABCD因為BE⊥平面ABCD，AB、BC?平面所以BE⊥AB，因此AE=又因為∠ABC所以AC=又因為AE⊥所以AC=因此2×a2又因為VE?=3而三棱錐E?ACD的體積為6所以624a3=6因此AD=DC=2所以SΔSΔ因此三棱錐E?ACD的側(cè)面積為3+2【解析】此題主要考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，面面垂直的判定和棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積、表面積和體積.?(I)利用線面垂直的性質(zhì)得BE⊥AC，再利用線面垂直的判定得AC⊥(II)利用利用線面垂直的性質(zhì)得BE⊥AB，BE⊥BC，利用三棱錐20.【答案】(1)證明：由∠A1AC設(shè)AC中點為O，則AC⊥A1又A1O∩BO=O，所以AC⊥平面A1OB，又A故AC⊥(2)解：因為平面A1ACC且平面A1ACC1∩A1O?平面A1ACC又BO?平面ABC，所以A所以ΔA因為棱長為2，∠A所以A1所以VA在ΔA1BC則SΔ設(shè)A到平面A1BC的距離為由VA1?解得d=2所以A到平面A1BC的距離為???;【解析】此題主要考查棱錐的體積公式，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，面面垂直的性質(zhì)定理，以及空間中點到面的距離，屬于中檔題.?(1)設(shè)AC中點為O，證出AC⊥平面A(2)求出三棱錐A1?ABC21.【答案】（1）證明：∵四邊形BCDE為正方形，且N是EC的中點，?∴N是BD的中點，又M是A′B的中點，∴MN∥A′D，?∵BE⊥A′E，BE⊥ED，且A′E∩ED=E，?∴BE⊥平面A′ED，∴BE⊥A′D，?則BE⊥MN；?（2）解：∵A'E⊥平面BCDE，且M是線段A'B的中點，?∴M到底面BEN的距離為12又BCDE是邊長為1的正方形，∴S△∴三棱錐E-BNM的體積V=VM?【解析】?(1)由四邊形BCDE為正方形，且N是EC的中點，得N是BD的中點，又M是A'B的中點，得MN//A'D，由已知連線線面垂直的判定證得BE⊥平面A'ED，可得BE(2)由A'E⊥平面BCDE，且M是線段A'B的中點，得M到底面BEN的距離為12A'E=12，求出三角形此題主要考查空間中直線與直線、直線與平面位置