2023屆廣東省汕頭金中、湛江一中、東莞東華、廣州六中四校高三（下）聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023屆廣東省汕頭金中、湛江一中、東莞東華、廣州六中四校高三（下）聯(lián)考數(shù)學(xué)試題1.已知集合，，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：交集一元二次不等式的解法答案：C解析：由可得解得，

因為，所以，所以，

又由解得，所以，

所以，

故選.2.若復(fù)數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：復(fù)數(shù)的模共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的除法答案：C解析：因復(fù)數(shù)滿足，則，

所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則，

故選.3.已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：；乙組：，若這兩組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)?第百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等，則等于（

）A.

B.

C.

D.

知識點：總體百分位數(shù)的估計答案：A解析：根據(jù)百分位數(shù)的定義，求出的值即可得答案

因為，

甲組：第百分位數(shù)為，第百分位數(shù)為，

乙組：第百分位數(shù)為，第百分位數(shù)為，

由已知得：，，解得，

所以，

故選.4.在等比數(shù)列中，是函數(shù)的極值點，則（

）A.

或

B.

C.

D.

知識點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與極值等比數(shù)列的性質(zhì)答案：C解析：因為，所以

又因為是函數(shù)的極值點，

即是方程的兩根，則有，

由為等比數(shù)列可知：，因為，且，

所以，則有，所以，

故選.5.沙漏是我國古代的一種計時工具，是用兩個完全相同的圓錐頂對頂疊放在一起組成的（如圖）．在一個圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點處漏到另一個圓錐中，假定沙子漏下來的速度是恒定的．已知一個沙漏中沙子全部從一個圓錐中漏到另一個圓錐中需用時分鐘．設(shè)經(jīng)過分鐘沙漏上方圓錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度恰好相等（假定沙堆的底面是水平的），則的值為（

）

A.

B.

C.

D.

知識點：圓柱、圓錐、圓臺的體積立體幾何中的實際應(yīng)用答案：D解析：因為沙漏上方圓錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度恰好相等

所以上方圓錐的空白部分就是下方圓錐中的沙子部分，且上方沙漏中沙子的高度為一個沙漏的高的一半，

所以可以單獨研究上方圓錐，其高度為一個圓錐的一半，沙子形成的圓面的半徑為圓錐底面圓半徑的一半，

設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，

則上方沙子的體積為，

所以，上方此時剩的沙子占總沙子的，下方圓錐中的沙子占總沙子的

因為一個沙漏中沙子全部從一個圓錐中漏到另一個圓錐中需用時分鐘，

所以，當(dāng)?shù)纳匙訌囊粋€沙漏中漏到另一個沙漏中，需要分鐘，

所以，經(jīng)過分鐘沙漏上方圓錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度恰好相等

故選.6.設(shè)，分別為雙曲線（，）的左、右焦點，為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于，兩點，且，（如圖），則該雙曲線的離心率為（

）

A.

B.

C.

D.

知識點：雙曲線的離心率答案：A解析：不妨設(shè)圓與相交，且點的坐標(biāo)為，

則點的坐標(biāo)為，

聯(lián)立，

得，

又且，

所以，

所以由余弦定理得：，

化簡得，

所以，

所以

故選.7.若存在常數(shù)，使得函數(shù)對定義域內(nèi)的任意值均有，則關(guān)于點對稱，函數(shù)稱為準(zhǔn)奇函數(shù)現(xiàn)有準(zhǔn)奇函數(shù)，對于，，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：函數(shù)的新定義問題函數(shù)的對稱性函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用答案：B解析：令，則，

關(guān)于點中心對稱；

令，

則，

關(guān)于點中心對稱；

，，

設(shè)在處取得最大值，則在處取得最小值

，

，即的最大值與最小值的和為

故選.8.設(shè)，，，（是自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性利用函數(shù)單調(diào)性比較大小答案：C解析：記，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上，所以

又單調(diào)遞增，所以

所以，即

而由二項式定理得：，

對于、，由，

記，則，

所以在上單調(diào)遞增，所以所以，所以

綜上所述：

故選.總結(jié)：比較大?。?/p>

（）結(jié)構(gòu)相同的，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；

（）結(jié)構(gòu)不同的，尋找中間橋梁，通常與、比較；

（）根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，比較大小9.若直線與圓相切，則下列說法正確的是（

）A.

B.

數(shù)列為等比數(shù)列C.

數(shù)列的前項和為

D.

圓不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點知識點：等差數(shù)列的定義與證明直線和圓相切等差數(shù)列的前項和的應(yīng)用答案：A；C解析：圓的圓心為，半徑，

由直線與圓相切得，，

，，

是首項為，公差為的等差數(shù)列，

前項和為；

令，解得，此時圓經(jīng)過坐標(biāo)原點

綜上所述，選項正確，選項錯誤

故選.10.定義行列式，若函數(shù)，則下列表述正確的是（

）A.

的圖像關(guān)于點中心對稱

B.

的圖像關(guān)于軸對稱C.

在區(qū)間上單調(diào)遞增

D.

最小正周期為知識點：函數(shù)的新定義問題輔助角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式函數(shù)的圖象及性質(zhì)答案：C；D解析：由題意，

對于，將點代入解析式得：，所以不是中心對稱點，錯誤；

對于，令，則，所以軸不是對稱軸，錯誤；

對于，時，，根據(jù)的性質(zhì)知是增函數(shù)，正確；

對于，由的解析式知，正確；

故選.11.如圖所示，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，、分別是與，軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為斜坐標(biāo)系，若，則把有序數(shù)對叫做向量的斜坐標(biāo)，記為在的斜坐標(biāo)系中，，則下列結(jié)論中，錯誤的是（

）

A.

B.

C.

D.

在上的投影向量為知識點：共線向量基本定理向量坐標(biāo)與向量的數(shù)量積投影向量（投影）答案：B；C；D解析：由題意得：，，

對于項，?，

由題意得：，故正確；

對于項，，

，故不正確；

對于項，

?，故項不正確；

對于項，在上的投影向量為：，

又，，

，故不正確

故選12.已知函數(shù)，若存在使得，則的取值可以是（

）A.

B.

C.

D.

知識點：函數(shù)的對稱性函數(shù)零點的值或范圍問題答案：B；C解析：因為，

所以與的圖象關(guān)于直線對稱，

作出的圖象如圖所示，

所以，由，即，

所以，所以，

因為，所以，得，

所以，

設(shè)，所以，

因為雙勾函數(shù)在時單調(diào)遞減，

所以，

所以，

結(jié)合選項可能的取值有，

故選13.若，則

?.知識點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的綜合應(yīng)用二倍角的正弦、余弦、正切公式答案：解析：

故答案為.14.已知等邊的內(nèi)接于圓，點是圓上一點，則的最大值是

?.知識點：數(shù)量積的運算律向量的線性運算答案：解析：設(shè)的中點為，連接，向量的夾角為，

因為等邊內(nèi)接于圓，所以點在上，且，

所以，

所以當(dāng)，即點為的延長線與圓的交點時，取最大值，

故答案為：．

15.已知，設(shè)，

?.知識點：組合數(shù)及其性質(zhì)展開式中的特定項或特定項的系數(shù)二項展開式的通項答案：解析：因為，所以，

因為，

令，則，

而的展開通項為，

所以當(dāng)時，

故答案為：.16.設(shè)，，分別是棱長為的正方體的棱，，的中點，為上一點，且不與重合，且，，，在同一個表面積為的球面上，記三棱錐的體積為，則的最小值是

?.知識點：與球有關(guān)的切、接問題空間直角坐標(biāo)系中兩點之間的距離公式導(dǎo)數(shù)與最值球的表面積棱柱、棱錐、棱臺的體積答案：解析：設(shè)，，，所在球面球心為，取中點，連接，，，

則為外接圓圓心，平面，

以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，

設(shè)，，

則由可得，，

整理得，

則，

令，則或，

則，或，

令，

則，，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

則當(dāng)時，取得最小值，，則的最小值是.

17.在銳角中，角的對邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若，求的取值范圍．知識點：正弦定理及其應(yīng)用三角恒等變換綜合應(yīng)用函數(shù)的圖象及性質(zhì)兩角和與差的正弦公式答案：(1)由正弦定理得：，

，

，，，.(2)由正弦定理得：，，，

?；

為銳角三角形，，即，，

，，，

即的取值范圍為.解析：(1)略(2)略18.已知數(shù)列，時，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)為各項非零的等差數(shù)列，其前項和為，已知，求數(shù)列的前項和.知識點：數(shù)列的前n項和錯位相減法求和數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的前項和的應(yīng)用答案：(1)因為，①

所以當(dāng)時，，②

①②可得，

所以，

當(dāng)時，滿足上式，

所以.(2)因為，

且為各項非零，所以，

所以，

所以，，

所以，

所以.解析：(1)略(2)略19.數(shù)獨是源自世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行?每一列?每一個粗線宮()內(nèi)的數(shù)字均含，不重復(fù).數(shù)獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的比賽.(1)賽前小明在某數(shù)獨上進(jìn)行一段時間的訓(xùn)練，每天的解題平均速度(秒與訓(xùn)練天數(shù)(天有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如表的數(shù)據(jù)：(天(秒現(xiàn)用作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測小明經(jīng)過天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為多少秒？

參考數(shù)據(jù)(其中參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線?的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.(2)小明和小紅在數(shù)獨上玩對戰(zhàn)賽，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝局者贏得比賽若小明每局獲勝的概率為，已知在前局中小明勝局，小紅勝局若不存在平局，請你估計小明最終贏得比賽的概率知識點：線性回歸模型的最小二乘法相互獨立事件的概率答案：(1)由題意，，

令，設(shè)關(guān)于的線性回歸方程為，則

，

則

，

又，關(guān)于的回歸方程為，

故時，

經(jīng)過天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為秒；(2)設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局小明最終獲得比賽，則最后一局一定是小明獲勝，

由題意知，最多再進(jìn)行局就有勝負(fù)

當(dāng)時，小明勝，

；

當(dāng)時，小明勝，

；

當(dāng)時，小明勝，

小明最終贏得比賽的概率為解析：(1)略(2)略20.已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)棱平面，點在棱上，且，點是在棱上的動點（不為端點）（如圖所示）

(1)若是棱中點，①畫出的重心（保留作圖痕跡），指出點與線段的關(guān)系，并說明理由；②求證：平面；(2)若四邊形是正方形，且，當(dāng)點在何處時，直線與平面所成角的正弦值取最大值.知識點：立體幾何中的探索問題用空間向量研究直線與平面所成的角直線與平面平行的判定定理答案：(1)①設(shè)與交點為，連接與交于點，

因為為中點，為中點，

所以與交點為重心，

所以，

又因為為的邊的中線，

所以點也為的重心，即重心在上②連接并延長交于點，連接，

因為為重心，所以，

又因為，

所以，

又因為平面，平面，

所以平面；(2)因為四邊形為正方形，所以，

平面，平面，所以，

所以以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示坐標(biāo)系，

所以，，

設(shè)，則，

.

設(shè)平面的法向量為，

，化簡得，

取則，

設(shè)直線與平面所成角為，

所以，

所以當(dāng)時，即點在線段靠近的三等分點處時，

直線與平面所成角的正弦值取最大值為.解析：(1)①略②略(2)略21.如圖，橢圓：與圓：相切，并且橢圓上動點與圓上動點間距離最大值為

?(1)求橢圓的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線，，與交于兩點，與圓的另一交點為，求面積的最大值，并求取得最大值時直線的方程.知識點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直線與圓的方程的應(yīng)用直線與橢圓的綜合應(yīng)用與圓有關(guān)的最值問題圓錐曲線的最值（范圍）問題答案：(1)橢圓與圓：相切，知；

又橢圓上動點與圓上動點間距離最大值為，即橢圓中心到橢圓最遠(yuǎn)距離為，

得橢圓長半軸長，即；

所以橢圓的方程：(2)①當(dāng)與軸重合時，與圓相切，不合題意．

②當(dāng)軸時，（，），：＝，，此時．

③當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸闀r，設(shè)：＝，，則，

設(shè)（，），（，），由得，，

所以，

所以．

由得，，解得，

所以，

所以，

因為，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以（），

綜上，面積的