流體的渦度散度和形變率

流體的渦度散度和形變率第1頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月預備知識：要理解渦度的物理意義，要了解以下的數(shù)學知識：矢量代數(shù)哈密頓算子stokes公式（二維曲面積分與一維曲線積分間的轉(zhuǎn)換）速度環(huán)流2第2頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量代數(shù)：矢量的正交分解矢量8xyz第3頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量代數(shù)：矢量和（差）的正交分量表示第4頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：性質(zhì)：矢量代數(shù)：矢量乘以標量第5頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)：矢量數(shù)量積的正交分量表示：矢量代數(shù)：矢量的點乘/矢量的數(shù)量積第6頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：性質(zhì)：矢量代數(shù)：矢量的叉乘/矢量的向量積第7頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量代數(shù)：矢量向量積的正交分量表示：第8頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月9第9頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月10第10頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月Stokes公式（二維曲面積分與一維曲線積分間的轉(zhuǎn)換）設(shè)光滑曲面

的邊界

是分段光滑曲線，

的側(cè)與

的正向符合右手法則，P、Q、R在包含

在內(nèi)的一個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導數(shù)，則有：11第11頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月Stokes公式：12第12頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月Stokes公式：13第13頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月速度環(huán)流：這個數(shù)值稱作【速度環(huán)流】，它表示了流體沿著閉合曲線流動的趨勢。當L為流體的流線且閉合時，處處的速度矢與線元矢量的方向一致，因此速度環(huán)流表示流體完全按L流動。當L閉合時，若=0，則流體沿著閉合曲線的分量的代數(shù)和為零。當L閉合，但L不是流體的流線時，速度環(huán)流表示流體沿閉合曲線L的速度分量與相應線段的乘積的總和。14第14頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月渦度與速度環(huán)流的關(guān)系：運用stokes公式，（1.42）的速度環(huán)流就變成：如果閉合曲線向內(nèi)無限收縮，即，則：上式表明，流體某點的【渦度矢】在某單位面元法向的分量就是單位面積速度環(huán)流的極限值。15第15頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月渦度：這樣，把

稱作【渦度】，是量度流體旋轉(zhuǎn)程度的物理量，它是一個矢量，有三維，所以又稱為渦度矢量。是對這個物理量作渦度運算。渦度的三維分量：16第16頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月渦度與角速度：渦度≡渦度不但是量度流體旋轉(zhuǎn)的物理量，而且其值正好等于流點角速度的兩倍。17第17頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：流體渦度的概念是個局地極限概念。與剛體不同。剛體的轉(zhuǎn)動是整體性的，一點的轉(zhuǎn)動就可以代表整個剛體的轉(zhuǎn)動，代表剛體上其它點的轉(zhuǎn)動。流體不同，某一流點在轉(zhuǎn)動，并不代表其它流點也在轉(zhuǎn)動，或也在做同樣的轉(zhuǎn)動。即流體的各個流點可能在同一時間做著不同的轉(zhuǎn)動。必須逐點檢驗才知道整個流體的旋轉(zhuǎn)運動情況，即對于流體要指明哪一點或哪個區(qū)域有旋。（流點與流點間可以有相對運動）18第18頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：②流體流線（跡線）是直線運動不代表流點沒有旋轉(zhuǎn)運動。流體流線（跡線）是圓，不代表流點在做旋轉(zhuǎn)運動。（流體在做圓運動時，流點不但在繞圓點轉(zhuǎn)動，而且又在自轉(zhuǎn)時，才會渦度不為零。流體在做直線運動，但流點有自轉(zhuǎn)時，渦度也不為零。19第19頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月散度：渦度=定義一個新的物理量：【散度】散度=散度的符號：或D20第20頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月準備知識：①奧-高公式（面積分和體積分轉(zhuǎn)換的公式）設(shè)奧-高公式為：上式中σ是流體中某一封閉曲面，τ為封閉曲面所圍的體積。21第21頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月準備知識：22第22頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月散度：根據(jù)奧-高公式：τ為封閉曲面所圍的體積。當封閉曲面向內(nèi)無限縮小時體（面）向點趨近，積分的值就成了點上的值。即：或：即為【散度】23第23頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月散度：24第24頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月散度：另外，散度還反映了流點的體積的相對膨脹（或收縮）率。（所謂率就是指單位時間的變化）證明：考慮一個小體元（一個長方體流點），它體積的相對膨脹（或收縮）率為：25第25頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月26散度第26頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月速度的分解：其中：上面第一行的第二、三項表示由于繞M0點的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動速度。上面第二行的第四、五六項表示由于流體微團形變引起的形變速度。所以，流點的運動有：平移、旋轉(zhuǎn)、形變，形變中就包含了流點體積的膨脹（收縮）。形變率：27第27頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月形變率：流點的形變包括兩種：【法形變】【切形變】（或剪切形變）28第28頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月表示了x軸上【線投元】的相對伸長（縮短）率，是法線方向上的一種形變，定義它為【x軸向的法形變率】，用表示。同樣的：總結(jié)：【法形變率】法形變率：29y軸向的法形變率z軸向的法形變率第29頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月法形變率&散度法形變率：散度：可見，流體散度是三個方向法形變率的和。因此又稱散度是體形變率。若流體運動只限于二維，則又可以稱為面形變率，表示了面積膨脹的速率。30：二維矢量運算符第30頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月切形變率：【切形變】如果流點考慮成微團或立方體素，當該小體素既無體積大小變化又無轉(zhuǎn)動時所發(fā)生的形狀變化，就稱為切形變。如圖：正方形變成棱形，體積保持不變，此時發(fā)生的形變稱為切形變。31第31頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月切形變率：第一種情況：流點在轉(zhuǎn)動，渦度散度，流點沒有法形變（即：無體積膨脹或收縮），流點也沒有形狀變化。第二種情況：流點無轉(zhuǎn)動也無體積膨脹（收縮），即渦度和散度均為0，無法形變。但是，流點的形狀發(fā)生了變化，稱為有切形變。32第32頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月切形變：在Oxy平面上的切形變率為：在Oyz平面上的切形變率為：在Oxz平面上的切形變率為：若把x,y,z與1、2、3對應，以上形變率就是（法形變率）和從而構(gòu)成一個矩陣形式，稱為【形變張量矩陣A】。33第33頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月散度總結(jié)：34第34頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月流體運動的分類：一般流體運動形式很復雜，在進行具體研究時，常常將流體運動加以分類，而后從簡單到復雜，研究流體運動的規(guī)律。到目前為止，我們已經(jīng)可以對流體運動進行一下分類：

1、以運動形式為標準分為：

【無旋運動】和【有旋運動】【無輻散運動】和【有輻散運動】35第35頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月有旋&無旋：無旋運動：（不需要各個點都為零，可以允許個別點為零，如圓點處不為零））有旋運動：無輻散運動：有輻散運動：由于大部分流體運動都有平動和形變，所以就不用它們來分類了。36第36頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月定常&非定常：2、按時間為標準分為：【定常運動】和【不定常運動】

定常：若速度函數(shù)及所有物理量皆不依賴于時間t，不隨時間變化，即：不定常運動：37第37頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月一維&二維&三維：3、按空間為標準分為：【一維運動】、【二維運動】和【三維運動】。