【一元函數(shù)積分的常見方法6500字（論文）】

一元函數(shù)積分的常見方法TOC\o"1-3"\h\u61761引言 3169742積分概念 3138902.1不定積分 3134052.2定積分 3224852.3不定積分與定積分的聯(lián)系 3207353、不定積分的求法 4174093.1直接積分法 5296803.2換元積分法 571563.2.1第一換元法（湊微法） 6175073.2.2第二換元法 7209453.3分部積分法 873654定積分的求法 930394.1定積分的計(jì)算方法 945154.1.1奇偶性法 9323314.1.2幾何意義法 1063754.1.3直接積分法 10225364.1.4換元法 1071014.1.5分部積分法 109024.2定積分的計(jì)算策略 10271755總結(jié) 149005參考文獻(xiàn) 15

1引言在數(shù)學(xué)微分理論中,積分是微積分當(dāng)中的一個(gè)最核心的研究范疇,而不定積分與定微分則是高等數(shù)學(xué)研究的主要部分,定微分既是對不定積分內(nèi)容的擴(kuò)展,也是求得平面圖形體積、曲線弧長、旋轉(zhuǎn)體體積等幾何物理量的主要方式,它也是研究復(fù)變函數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)學(xué)等有關(guān)課題的重要知識工具。抑或是只存在定積分,而不存在不定積分。定積分與不定積分,作為積分學(xué)中的二主要部分。定積分是為了求得一個(gè)極限,是一種具體的數(shù)值；而不定積分法則作為逆運(yùn)算的求導(dǎo)方式,作為一個(gè)函數(shù)表示而存在。元函數(shù)積分的計(jì)算方法有很多,除了要掌握這些基本的求解方法外,還要講究一定的策略,以便方便快速地求解。這個(gè)策略指的是解決問題時(shí)應(yīng)考慮求解方法的順序,這個(gè)順序決定了解題的難易、耗時(shí)的多少。以下將給出一元函數(shù)積分的各種計(jì)算方法及策略,即各種計(jì)算方法及考慮使用這些方法的順序,并通過各種題型、各種計(jì)算方法的比較來具體闡釋。2積分概念2.1不定積分在一六七七年的牛頓-布萊尼茨公式中指出,如果某個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)域[a,b]上的定面積大于它的任何某個(gè)原函數(shù)在區(qū)域[a,b]上的增量。這樣在計(jì)算函數(shù)定微分的時(shí)候運(yùn)算就能夠利用無定積分法來簡便的運(yùn)算。計(jì)算原函式f(x)的不定積分,其意義在于求出f(x)所有的原函式。求出某個(gè)原函式,乘以C(任意常數(shù))就能夠得出滿足原函數(shù)性質(zhì)的不定積分。2.2定積分∫baf(X)dx=根據(jù)定積分的概念,曲邊階梯式的面積為A=∫baf(X)dx,而變速直線運(yùn)動(dòng)的路徑S=∫T1T2v(t)dt。2.3不定積分與定積分的聯(lián)系不定積分法計(jì)算的仍然是原函數(shù)(得出的結(jié)果是一個(gè)式子)；定微分所計(jì)算的值是具體的數(shù)字(得出的借給是一一個(gè)具體的數(shù)字)；而無定分?jǐn)?shù)則是微分的逆計(jì)算,而定微分是成立在無定分?jǐn)?shù)的基石上,把值代進(jìn)去數(shù)相減。如果定積分和不定積分看上去風(fēng)馬牛不相和,只是因?yàn)橐环N計(jì)算數(shù)學(xué)上更重大的基礎(chǔ)理論的支持,就讓它有了更根本的聯(lián)系。將一張圖像無限地細(xì)化后再相加,這顯然是不可能的事,不過基于這個(gè)理論知識,可轉(zhuǎn)換為算術(shù)分?jǐn)?shù)。而這個(gè)重要理論便是大名鼎鼎的牛頓-菜布尼茨公式,它的具體內(nèi)容為:但是在這里x出現(xiàn)了二個(gè)含義,一是指示分?jǐn)?shù).上限,二是指示被積函數(shù)的自變數(shù),在定積分式中對被積函數(shù)的自變數(shù)取一定數(shù)值,是沒有含義的。盡管這個(gè)方法是可能的,但由于慣例上常將被積函數(shù)的自變量換成了別的數(shù)字如t,因此含義也就十分明確了:密蘇里州-萊布尼茨公式可以用文字表達(dá),也就是說某個(gè)定積分函數(shù)式的數(shù)值,是最大值在原函式的值和下界在原函式的值的差。由于這些理論闡述了常微分和黎曼積分之間本質(zhì)的聯(lián)系,也表明了它在微積分學(xué)以及整個(gè)高等數(shù)學(xué)研究上的重要地位,所以,牛頓-萊布尼茨公式又被譽(yù)為微分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)定理公式。不定積分的求法一元函數(shù)的不定積分獎(jiǎng)勵(lì)方式,在大的基本技術(shù)方面上包括了直接分?jǐn)?shù)法、換元分?jǐn)?shù)法以及分部積分法,其中換元分?jǐn)?shù)法又包含了第一種換元分?jǐn)?shù)法和第二種換元分?jǐn)?shù)法.由于各種分?jǐn)?shù)方式都具有各自的本質(zhì)特性及適用范圍,因此理解不同分?jǐn)?shù)方式的實(shí)質(zhì)特性及精神實(shí)質(zhì),是進(jìn)一步了解一元函數(shù)面積獎(jiǎng)勵(lì)方式的前提條件。一元函數(shù)與不定積分都有它自身固定的客觀規(guī)律,按此規(guī)律性求得不定積分就可以少走彎路,此規(guī)律性反映在求得分?jǐn)?shù)的基本過程上。首先,通過考察被積函式的構(gòu)造特性,并根據(jù)本質(zhì)性或結(jié)構(gòu)性特征確定了與之相應(yīng)的積分方式,可以求出分?jǐn)?shù)。只要被積函式在形態(tài)上與基本分?jǐn)?shù)公式相同,或經(jīng)化簡、變換就能化成基本分?jǐn)?shù)公式的形態(tài),就可以利用直接積分法,求出所求的分?jǐn)?shù)；只要經(jīng)過湊微分函數(shù),能化成基本分?jǐn)?shù)公式的形態(tài),就可以利用第1類換元積分方式求出分?jǐn)?shù)；只要被積函式中存在根號,而根號又只能利用換元的方式才能脫除,則就利用第二種換元積分法求得分?jǐn)?shù)；只要被積函式是二種不同特性的函式的相乘形態(tài),則就利用分部積分法求得之；假設(shè)被積函數(shù)是有理分式函數(shù)或有理式三角函數(shù),則就根據(jù)與之相應(yīng)的積分方式得出所需要的分?jǐn)?shù)。然后,要檢查所求結(jié)果的準(zhǔn)確性。最后,要反省,總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn),不斷完善分?jǐn)?shù)方案,以有利于學(xué)生復(fù)習(xí)興趣的培養(yǎng)。3.1直接積分法通常又叫做公式法,利用不定積分公式方法和不定積分的計(jì)算性質(zhì)求出不定積分的方式。,如何求分?jǐn)?shù)∫,∫等就是直接利用基本積分公式?！襵ndx=xc+1n+1+c,∫axdx=x=ax∫x=1x2還有的不定積分解題方法需要先把被積函數(shù)變換為代數(shù)和的形式,期間運(yùn)用到了李代數(shù)或三角恒等式等的內(nèi)容,而在此基礎(chǔ)上,再利用基本微分公式和基本微分性質(zhì)等,也就能夠求出更具體的分?jǐn)?shù)。直接積分法,更多的時(shí)候考查的是學(xué)生對不定積分定義和基本微分公式的熟悉程度。所以,一般要求老師在講解過程中,必須強(qiáng)調(diào)對不定積分的定義和推理過程,以使得學(xué)生更加熟悉直接微分方法。直觀積分法的重要,是對未確定分?jǐn)?shù)的定義以及最基本的分?jǐn)?shù)公式方法的熟練掌握程度,所以,老師在講解時(shí)應(yīng)該通過靈活多樣的教學(xué)方式和手法,明確了不定分?jǐn)?shù)的定義、以及基本分?jǐn)?shù)公式方法的正確推導(dǎo),并指導(dǎo)學(xué)生做相應(yīng)的訓(xùn)練,讓學(xué)生更全面地了解直觀分?jǐn)?shù)方式。3.2換元積分法換元積分法主要有二種情形,一種是第一類的換元積分法；一種方法是第二類的換元積分法。3.2.1第一換元法（湊微法）第一換元積分法也稱為湊微分法，其本質(zhì)是把被積函數(shù)的一部分通過微分的性質(zhì)湊到微分符號的里面，轉(zhuǎn)化成基本的積分公式的形式，再利用基本積分公式求出所求的積分,例如求積分分析：cosx與dx結(jié)合，湊成d(sinx),換元結(jié)合基本的積分公式求出所求的結(jié)果，如:上述求解的實(shí)質(zhì)用定理表示就是:設(shè)∫f(u)du=F(u)+c,且助u=m(x)可導(dǎo),則有∫f[m(x)]m'(x)dx=∫f[m(x)]d[m(x)]令m（x）=u=∫f(u)du=F(u)+c=m(x)c=F[m(x)]+c湊微分法是計(jì)算不定積分的主要方式之一,是把分?jǐn)?shù)湊成一種函數(shù)的微分方式。通過微分被積分函數(shù)的特性,實(shí)現(xiàn)了"湊微分"的目的,從而使解題過程顯得更加簡單。第一換元法比較不易把握,其方式靈活多樣,但必須進(jìn)行相應(yīng)題量的訓(xùn)練,在積累了一定技巧之后獲得最高效的解題效果。當(dāng)出現(xiàn)這樣的不定積分法時(shí),也包括了第三種情形。(1)當(dāng)△>0時(shí)，化原式為(x-x1)(x-x2),ax2+bx+c的解.為x1,x2,原不定積分為:（2）當(dāng)Δ等于0時(shí)，利用完平方公式，將原式化為（3）)當(dāng)Δ＜0時(shí)，當(dāng)被積分函數(shù)為三角函數(shù)的積時(shí),取奇次項(xiàng)湊分?jǐn)?shù)。當(dāng)被積分函數(shù)是三角函數(shù)的偶次冪時(shí),可用零點(diǎn)五角公式降冪；如果是奇次數(shù)則拆開再一次湊分?jǐn)?shù),剩下的偶次項(xiàng)用半角公式降冪。教師在一元函數(shù)的第一類換元積分法的教學(xué)中，務(wù)必事先要強(qiáng)調(diào)微分的公式與性質(zhì)，使學(xué)生熟練掌握微分的公式與法則，這是學(xué)習(xí)第一類換元積分法的基石。3.2.2第二換元法第二種換元積分法也稱去根號法,去根號的常見方式有簡單根式替換、三角代式、倒替換、雙曲代式、歐拉代換等.不管什么代式,其本質(zhì)都是通過使用適當(dāng)?shù)哪苊摮に嚫柕墓ぞ呙摮?再經(jīng)化簡變形,然后根據(jù)基本分?jǐn)?shù)公式與分?jǐn)?shù)性質(zhì),求出所求的分?jǐn)?shù).如所求積分,采用直接積分法和第一種換元積分法均無法求出相同結(jié)果,因此需要采用第二種換元積分法才能求出所求分?jǐn)?shù).詳細(xì)的分析流程如下:令x=t,則x=t2,兩邊微分,則dx=2tdt,上述求解的過程，其本質(zhì)用數(shù)學(xué)公式來表示就是：質(zhì)用數(shù)學(xué)公式來表示就是:設(shè)x=m(t)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，且m(t)≠0,如果則有如下等式成立：，其中t=m-1（x）是x=m(t)的反函數(shù)。第二類換元積分法的三角形代替式、倒代換等代換和簡單根式替換實(shí)質(zhì)上一樣,是用相關(guān)的三角形恒等式除去根號,化簡變換,從而求出計(jì)算結(jié)果的步驟。（1）三角代換使用三角代換的被微分函數(shù)式中產(chǎn)生的或者。當(dāng)被積分函數(shù)包含有時(shí)，x=asint或x=acost，，而當(dāng)被積分函數(shù)包含x=Tant，，當(dāng)被積分函數(shù)含有x=±asect，（2）無理代換若被積函數(shù)含有表達(dá)式或，可通過無理代換為：；若有兩個(gè)以上的同根式或時(shí)，則通過無理代換為：。（3）倒代換倒代換是被積函數(shù)中因子次數(shù)較高時(shí)，經(jīng)常使用的方法。被積函數(shù)是分式的形式且分母次數(shù)與分子次數(shù)是，做倒代換x=3.3分部積分法分部積分法是利用分部積分公式∫udv=uv-∫vdu求出積分的方法，其中∫udv不方便直接求出結(jié)論，但∫udv卻相對方便地求出了積分。利用分部積分法的本質(zhì)特征是:被積函數(shù)是兩類不同性質(zhì)的函數(shù)的乘積形式，如求積分∫xexdr,∫xInxdx,∫x1ndx，∫xarctanxdx等，都需要利用分部積分法才可以求出結(jié)論.在使用分部積分公式的時(shí)候,u、v的選擇至關(guān)重要.在這里，們可以將冪函數(shù)、指標(biāo)、函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正三角函數(shù)、反三角函數(shù),分別簡寫為"冪"、"指"、"對"、"三""反"當(dāng)被積函數(shù)是以上二類各種特性的函數(shù)的乘積時(shí),則根據(jù)"反、對、冪、三、指"由左至右的次序,將排在前邊的視為u,再將排在后邊的與dx組合,結(jié)合后視為多元化移民簽證,進(jìn)而通過分部的計(jì)算公式求出分?jǐn)?shù).比如求積分∫xexdx,可以明確發(fā)現(xiàn),當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,則冪函數(shù)排在前邊,而指數(shù)函數(shù)排在后邊,再根據(jù)上述法則,將x視為u,把ex與dx結(jié)合后的結(jié)果d(ex)看作dx，故∫xexdx=∫xd(ex)=xex-fexdx=.xex-ex+c.必須說明的是,若要符合分部積分公式的基本要求,即如果被積函數(shù)是二種不同特性的函數(shù)的內(nèi)積,就應(yīng)該運(yùn)用分部積分公式,根據(jù)積分的特性、微分的基本公式,求出所求的不定積分。但需要說明的是,有時(shí)分部積分法和換元積分法組合使用,也可以求出所求的不定分?jǐn)?shù)值,如求積分其求解步驟如下:2.4有理函數(shù)的積分對應(yīng)有理函數(shù)分式的形式是:對應(yīng)有理函數(shù)分式的形式是:除上述多種形式以外的所有有理函數(shù),均使用固定結(jié)構(gòu)形狀。部分分式項(xiàng)數(shù)與原來理函式的分母整體的次數(shù)之和。當(dāng)分式分母數(shù)量為一的式子拆開時(shí),將分母中所設(shè)的x次數(shù)對應(yīng)減一。當(dāng)分式分母x的頻次為一時(shí),將分母定義為A；當(dāng)分式的分母頻次為二時(shí),將分母定義為Ax+B,當(dāng)使用以上三種方式代換時(shí)使用待定系數(shù)法確定未知量。不定分?jǐn)?shù)成為高中數(shù)學(xué)微面積中的基礎(chǔ)概念,而運(yùn)用不定性分?jǐn)?shù)運(yùn)算也是學(xué)習(xí)者必須具備的必備才能。因?yàn)槲⒎e分運(yùn)算的形式靈活多樣,每個(gè)學(xué)生能夠采用不同的運(yùn)算形式得出相同的結(jié)論,所以這些形式多樣的運(yùn)算對培養(yǎng)學(xué)習(xí)者開放的發(fā)散性思想有著很重要的幫助,也提高了學(xué)習(xí)者的科研探究能力和創(chuàng)業(yè)精神。4定積分的求法4.1定積分的計(jì)算方法4.1.1奇偶性法奇函式在對稱區(qū)域上的定分?jǐn)?shù)小于零,而偶函式在對稱區(qū)域上的定分?jǐn)?shù)則小于正數(shù)區(qū)域的二倍。用奇偶性法應(yīng)看面積區(qū)域是不是為對稱區(qū)域,然后再看被積函數(shù)的奇偶性。4.1.2幾何意義法根據(jù)定積分的幾何含義,當(dāng)被積函數(shù)f(x)≥0時(shí),定積分∫baf(x)dx表示由直線x=a,x=b(a≠b),y=0及曲線y=f(x)所圍成的雙曲邊梯形面積。4.1.3直接積分法按照Newton—Leibniz公式方法,可以使用基本不定積分公式方法求得某個(gè)原函數(shù),所計(jì)算出的原函數(shù)與在積分獎(jiǎng)勵(lì)上下限函數(shù)值之差即為所需要的定積分。4.1.4換元法換元法是通過引入一個(gè)新變量來簡化積分運(yùn)算。在定積分求解過程中，可以根據(jù)所設(shè)變量與原變量的關(guān)系相應(yīng)變換積分的上下限。4.1.5分部積分法若定積分可以寫成∫bau(x)v'(x)dx或∫bau(x)dv(x)，尤其當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)基本初等函數(shù)乘積時(shí)，經(jīng)?；癁檫@種形式，則可直接利用以下分部積分公式來計(jì)算:若定積分,可寫成∫(x)v'(x)dx或∫bau(x)dv(x),尤其當(dāng)被積函數(shù)為二基本初等函數(shù)的乘積時(shí),經(jīng)4.2定積分的計(jì)算策略定積分的計(jì)算方法共五個(gè),定積分的基本運(yùn)算策略是按照一定的次序分別采用上述方式,方法的次序是奇偶性法、幾何意義法、直線積分法、換元分?jǐn)?shù)法、分部面積法。下面將舉例闡釋定積分的計(jì)算方法及策略。根據(jù)本研究給出的解法順序去計(jì)算定積分，發(fā)現(xiàn)這個(gè)策略對于求解定積分是行之有效的，會(huì)大大簡化運(yùn)算過程。例1計(jì)算下列定積分解析:根據(jù)計(jì)算策略,需要首先考慮奇偶性法,計(jì)算范圍為對稱區(qū)間,然后再看被積函數(shù)的奇函數(shù),最后根據(jù)奇偶性法則,此積分結(jié)果應(yīng)等于0。解：由于是奇函數(shù)故備注:如果此題不按順序考慮求解方法，就容易漏掉奇偶性法而選用第二換元法，大大增加了題目求解難度。（2）解析:按照計(jì)算策略，應(yīng)該先考慮奇偶性法，但積分區(qū)間不對稱，所以不能用奇偶性法，考慮使用第二種幾何意義法，定積分等于上半圓（x-1)2+y2=1軸所圍成圖形的面積。解:由定積分幾何意義知，等于上半圓(x－1)2+y2=1(y≥0)，與x軸所圍圖形的面積，因此備注:如果此題不按順序考慮求解方法，就容易忽略幾何意義法而選用第二換元法，大大增加了題目求解難度。（3）解析:被積函數(shù)可以裂項(xiàng)寫成，按照計(jì)算策略，先考慮奇偶性法，由于積分區(qū)間不對稱，故不符合，再考慮幾何意義法，不是常見圖形，不易畫出，只能考慮第三種直接積分法，對照基本積分表，易得結(jié)果。備注:如果被積函數(shù)是分式形式且分子分母都是多項(xiàng)式，通常把被積函數(shù)裂項(xiàng)成兩項(xiàng)之和再求積分。解析:按照計(jì)算策略，先考慮奇偶性法，由于積分區(qū)間不對稱，故不符合，再考慮幾何意義法，不是常見圖形，不易畫出，然后考慮第三種直接積分法，但被積函數(shù)不是基本初等函數(shù)，不能直接用基本積分公式積出，接著考慮換元積分法，引入中間變量u=cosx，則du=－sinxdx，這樣就可以算出積分。解:令u=cosx，則du=－sinxdx，且當(dāng)x=0時(shí)，u=1；當(dāng)x=π2（5）解析:根據(jù)計(jì)算策略,首先考慮奇偶性法,但因?yàn)橛?jì)算區(qū)間不正確,故不適合,然后考慮幾何意義法,由于沒有常見圖形,故無法直接繪制出來,接著考慮第三種直接計(jì)算法,但由于被積函數(shù)是非基本初等函數(shù),故無法直接用基本分?jǐn)?shù)公式積出來,接著應(yīng)該考慮換元計(jì)算法,但由于無法找到中間變量,故又看到被積函數(shù)是二種基本初等函數(shù)的積,故又不得不用分部積分法,根據(jù)反對冪三指的順序確定u和v。備注:假設(shè)被積變量為二個(gè)基本初等函數(shù)的內(nèi)積,則采用分部積分法,根據(jù)反對冪三指的順序,兩個(gè)函數(shù)哪個(gè)在前哪個(gè)看成u。例2求定積分解析:根據(jù)此計(jì)算策略,首先考慮奇偶性法,因?yàn)橛?jì)算范圍都是均勻區(qū)間,再看被積函數(shù)不存在奇偶性,而該被積函數(shù)又可裂成二項(xiàng)之和,每一項(xiàng)均存在奇偶性,奇函數(shù)部分結(jié)果為0,偶函數(shù)部分求積分有根式先根式有理化,化解被積函數(shù),最后用幾何意義法即可求出結(jié)果。由于是奇函數(shù)，故積分等于0，而是偶函數(shù)，故有下式:原式由定積分的幾何意義可知，故備注:此題在求解過程綜合運(yùn)用了奇偶性法、直接積分法及幾何意義法，整個(gè)求解過程難度都很小。如果不按給出的解題策略，則容易從開始就直接用第二換元法，或者計(jì)算時(shí)直接用第二換元法求解，大大增加了計(jì)算難度。通過例1各題詳細(xì)演示了用本研究提到的方法及策略計(jì)算定積分可以簡化運(yùn)算，降低計(jì)算難度，而且也不易忽略最簡單的計(jì)算方法。例2是個(gè)綜合題，用到了三種計(jì)算方法，根據(jù)本研究提到的計(jì)算策略能方便快