一數值分析(誤差分析)

數值分析2023/8/24第一章緒論與誤差分析2第一章緒論與誤差分析§1計算數學討論的對象和內容§2誤差的來源和分類§3誤差的表示§4誤差的傳播§5算法設計的若干原則2023/8/24第一章緒論與誤差分析3本章內容支配目的意義：了解計算數學的背景知識；掌握誤差的基本知識2.重點：誤差來源、誤差表示、誤差傳播及算法設計原則3.難點：有效數字4.內容安排：

第1次：§1計算數學討論的對象和內容§2誤差的來源和分類

第2次：§3誤差的表示§4誤差的傳播§5算法設計的若干原則2023/8/24第一章緒論與誤差分析4§1計算數學討論的對象和內容一、計算數學的產生與進展

數值分析是科學計算數討論領域的一門專業(yè)基礎課，是討論科學計算中各種數學問題數值計算方法的基礎?？茖W計算的興起是二十世紀后半葉最重要的科技進步之一，是伴隨著電子計算機的消滅而飛快進展并獲得廣泛應用的新型交叉學科，是數學及計算機實現(xiàn)其在高科技領域應用的必不行少的紐帶和工具。

很多重大的科學技術問題根本無法求得理論解，也難以應用實驗手段解決，但卻可以借助于計算機進行計算?？茖W計算與理論討論、科學實驗并列，已成為當今世界科學活動的第三種手段。2023/8/24第一章緒論與誤差分析5計算克服了理論分析及實驗手段的局限，這是自伽利略、牛頓以來科學方法論的最偉大的進步，推動著科學實踐中一場深刻的不行逆轉的變革。

在科學和工程的很多領域有了計算才能獲得重大的討論成果和完成高度簡潔的工程設計?？茖W計算的方法和理論作為新的討論手段以及新的設計和制造技術的理論基礎，正在并將連續(xù)推動當代科學和高新技術的進展。當前科學計算正在向大規(guī)模和高性能進展，要達到“全物理、全系統(tǒng)、三維、高分辨、高逼真”的數值模擬，進展高效的計算方法與進展高性能的計算機同等重要。

數十年來在自然科學和工程科學中，先后產生了計算物理、計算力學、計算化學、計算生物、計算經濟學等一系列計算性的分支學科。2023/8/24第一章緒論與誤差分析6今日計算在科學和工程討論中幾乎已無所不在，計算數學正是這很多交叉學科的紐帶和共同基礎。不同的學科、不同的工程應用會提出不同的實際問題，但他們往往又是歸結為若干類典型的數學問題。

不同的計算方法可能是用于解決不同類型的科學問題。一方面要尋找更加有效更能發(fā)揮計算機功能的新型算法解決老問題，另一方面，針對科學討論的和工程技術不斷提出的新問題需要設計新的高性能算法。各應用領域對科學計算的需求越來越多，要求越來越高，計算機也在不斷進展、更新?lián)Q代，這些都要求不斷地進展計算方法。

計算方法是科學和工程計算的核心，構造好的計算方法與研制高性能計算機及高效率軟件同等重要，計算的功效是計算機工具的能力與計算方法的效率之乘積。2023/8/24第一章緒論與誤差分析7計算數學一方面是數學，其討論手段包括數學推導、分析、論證和計算，其成果將促進學科自身的進展。但另一方面，計算數學又有廣泛的應用背景，其討論對象往往涉及很多其它學科，其討論成果則可以應用于實際計算并通常帶有數值實驗的結果。

推動純粹數學進展的動力主要來自自身提出的問題，而計算數學進展的主要動力則來自于解決科學和工程中的計算問題的需要。計算數學的進展離不開計算機，計算方法的改進將能使計算機的作用得到充分的進展，而計算數學提出的要求也將對計算機的進展與更新?lián)Q代供應新的推動力?？茖W和工程計算的能力與進展水平是一個國家綜合國力的重要標志。世界發(fā)達國家都極其重視這一討論領域，并以大量資金投入加以支持。美國在此領域長期處于領先地位，目前有每秒萬億次的計算機用于科學計算。2023/8/24第一章緒論與誤差分析8二、計算數學討論的對象和任務

依據數學模型提出的問題，建立求解問題的數值計算方法并進行方法的理論分析，再編制出算法程序上機計算并對計算結果進行分析，這一過程就是計算數學討論的對象和任務。因此，計算數學就是討論用計算機解決數學問題的數值計算方法及其理論。

計算數學是數學學科的一個分支，但它不象純數學那樣只討論數學本身的理論，而是把理論與計算緊密結合，著重討論面對計算機的，能夠解決實際問題的數值方法及其理論,簡略地說，數值分析討論的內容包括：

1.構造可在計算機上求解數學問題的數值計算方法

2.分析方法的牢靠性，即按此方法計算得到的解是否牢靠，與精確解之差是否很小，以確保計算解的有效性。2023/8/24第一章緒論與誤差分析93.分析方法的效率。分析比較求解同一問題的各種方法的計算速度和存儲量，以便使用者依據各自的情況采納高效率的方法，節(jié)省人力、物力和時間，這樣的分析是數值分析的一個重要部分。應當指出，數值方法的構造和分析是親密相關不行分割的。例如：計算3次多項式的函數值直接計算需要6次乘法，3次加法。如果作如下改變：只有3次乘法，3次加法。這個算法稱作：秦九紹算法。2023/8/24第一章緒論與誤差分析10對于給定的數學問題，常?？梢蕴岢龈鞣N各樣的數值計算方法。如何評價這些算法的優(yōu)劣呢？一般來說，一個好的方法應具有如下的特點：(1).結構簡潔，易于計算機實現(xiàn)；

(2).有牢靠的理論分析，理論上可保證方法的收斂性和數值穩(wěn)定性；

(3).計算效率高，時間效率高是指計算速度快，節(jié)省時間，空間效率高是指節(jié)省存儲量；

(4).經過數值試驗檢驗，即一個算法除了理論上要滿意上述三點外，還要通過數值實驗來證明是行之有效的。

在學習數值分析時，我們要注意掌握數值方法的基本原理和思想，要注意方法處理的技巧及其與計算機的結合，要重視誤差分析、收斂性及穩(wěn)定性的基本理論。此外，還要通過應用數值方法編程計算簡略例子，以提高使用各種數值方法解決實際問題的能力。三、數值分析的學習內容1.數值逼近(1).代數插值：Lagrange、Newton、Spline插值(2).最佳逼近：最佳全都逼近、最佳平方逼近(最小二乘法)(3).數值微積分：等距節(jié)點求積公式、Gauss型求積公式2.數值代數(1).線性方程組求解(2).矩陣的特征值、特征向量計算(3).非線性方程求根、非線性方程組求解3.微分方程求解(1).常微分方程數值解：歐拉折線法和龍格庫塔法(2).偏微分方程數值解：差分法、有限元法2023/8/24第一章緒論與誤差分析12四、學習要求1.掌握構造算法的基本思想和方法2.掌握解決常見問題的基本算法3.重視算法的誤差分析、收斂性分析和穩(wěn)定性分析4.注意在計算機上實現(xiàn)算法并用于解決實際計算問題五、計算實習報告寫法

1.實習題目2.班級姓名3.目的意義4.數學模型（數學公式）5.算法6.（流程圖）程序7.數值算例8.對計算結果進行分析評價9.參考文獻2023/8/24第一章緒論與誤差分析13§2誤差的來源和分類

在科學和工程計算中,估量計算結果的精確度是十分重要的,而影響精確度的是各種各樣的誤差。所謂誤差就是一個物理量的真實值與近似值之間的差。誤差依據它們的來源可分為模型誤差、觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差四種。1.模型誤差在建立數學模型時，往往要忽視很多次要因素，由此而產生的誤差稱為模型誤差。如忽視空氣阻力、摩擦力等。2.觀測誤差數學模型中包含的一些物理參數，它們的值往往是通過觀測和試驗得到的，難免帶有誤差。這種觀測數據與實際數據之間的誤差稱為觀測誤差。如單擺運動的繩長

l及重力加速度g等。2023/8/24第一章緒論與誤差分析14那么此近似公式的截斷誤差為

求解數學模型所用的數值方法一般是一種近似方法，只能得到數學模型的近似解。這種因近似方法的使用所產生的誤差稱為截斷誤差或方法誤差。例如，利用Taylor公式，函數ex

可表示為對給定的

x

，要計算函數值ex

時，可采納近似公式3.截斷誤差（方法誤差）2023/8/24第一章緒論與誤差分析15

由于計算機的字長有限，參加運算的數據以及計算結果在計算機上存放時，計算機會按舍入原則舍去每個數據字長之外的數字，從而產生誤差，這種誤差稱為舍入誤差或計算誤差。

4．舍入誤差（計算誤差）這里所產生的誤差就是計算舍入誤差。

在數值分析中，一般總假定數學模型是精準的，因而不考慮模型誤差和觀測誤差，主要討論截斷誤差和舍入誤差對計算結果的影響。這個結果是不精準的，精準的結果應是例如，在十進制十位的限制下，會消滅(1.000002)2-1.000004=0(1.000002)2-1.000004=1.000004000004-1.000004=4×10-122023/8/24第一章緒論與誤差分析16例1.1求單擺角的變化規(guī)律解：(1).建模：依據Newton定律得到

(2).測量l、g的值(3).模型求解，令得到：再令得到解得：

(t)=Acost+Bsin

t非線性微分方程(*)的求解也可以采納數值解法。2023/8/24第一章緒論與誤差分析17

以上內容介紹了誤差的來源及分類，誤差有四類：（1）.模型誤差（2）.觀測誤差（3）.方法誤差（截斷誤差）（4）.計算誤差（舍入誤差）知道了誤差產生的根源，在進行理論分析時，需要將誤差量化，以便于推理分析，因此下面我們將引入誤差的表示式。2023/8/24第一章緒論與誤差分析18例如，x=1.414通常作為無理數的一個近似值，它的肯定誤差是?！?誤差的表示一、肯定誤差如果存在ε使得|e|=|x-x*|≤ε,則稱ε其為肯定誤差限。例如：

定義1.1

設x

是精確值，x*是x的一個近似值。記則稱其為近似值x*的肯定誤差，簡稱誤差。

e=x-x*2023/8/24第一章緒論與誤差分析19

用肯定誤差來刻畫近似值的精確程度是有限的，由于它沒有反映出它相對于精確值的大小或它占精確值的比例。例如兩個數

x、y

與它們的近似值

x*、y*分別為則有誤差限雖然εy是εx

的3倍，但在1000內差3顯然比10內差1更精確些。這說明一個近似值的精確程度除了與肯定誤差有關外，還與精確值的大小有關，所以這時可以用相對誤差來比較這兩個近似數的精準度。二、相對誤差x=10,x*=10±1;y=1000,y*=1000±3|x-x*|≤1=εx,

|y-y*|≤3=εy.2023/8/24第一章緒論與誤差分析20則稱其為近似值x*的相對誤差。定義1.2

記如果由于

x

未知，實際使用時總是將

x*

的相對誤差取為則稱η

為

x*

的相對誤差限。的相對誤差限分別為可見，測量值

y

比

x

精確。這時

x=10,x*=10±1;y=1000,y*=1000±3.2023/8/24第一章緒論與誤差分析21

例1-2設x*=2.18是由精確值x

經過四舍五入得到的近似值。問

x的肯定誤差限ε和相對誤差限η各是多少？解：由于

x=x*±0.005，

關于近似數誤差的大小除了用肯定誤差、相對誤差度量以外，還可以用有效數字度量，下面給出有效數字的概念。

所以肯定誤差限為ε=0.005相對誤差限為2023/8/24第一章緒論與誤差分析22三、有效數字一個數的近似數往往是通過四舍五入的原則求得，例如取以下近似數

可以發(fā)現(xiàn)每一個近似數的肯定誤差限都不超過近似數末尾數的半個單位。如果一個近似數滿意這個條件，就把這個近似數從末尾到第一位非零數字之間的全部數字叫做有效數字。則分別得到這些近似數的肯定誤差2023/8/24第一章緒論與誤差分析23則稱近似數

x*

具有

n位有效數字。定義1.3

設數

x的近似值可以表示為其中

m

是整數,αi(i=1,2,…,n)是0到9中的一個數字，而α1≠0.如果其肯定誤差限為例如近似數

x*=2.0004，其肯定誤差限為由科學計數法

x*=0.20004×101得到故，該近似數有五位有效數字。2023/8/24第一章緒論與誤差分析24

例1-3下列近似數是通過四舍五入的方法得到的，試判定它們各有幾位有效數字：

解：我們可以直接依據近似數來推斷有效數字的位數，也可以通過肯定誤差限來推斷。有5位有效數字。同理可以寫出可以得出

x2,x3,x4

各具有4、3、4位有效數字。x1*=87540，x2*=8754×10,x3*=0.00345,x4*=0.3450

×10-2已知2023/8/24第一章緒論與誤差分析25例1-4已知

e=2.718281828……,試推斷下面兩個近似數各有幾位有效數字？解：由于而所以

e1有7位有效數字。同理：e2

只有6位有效數字。2023/8/24第一章緒論與誤差分析26三、肯定誤差、相對誤差、有效數字的關系2、肯定誤差與有效數字的關系得到：1、肯定誤差與相對誤差的關系可以知道：有效數字位數越多，肯定誤差限越小。由關系式：2023/8/24第一章緒論與誤差分析273、相對誤差與有效數字的關系由近似數得到相對誤差限可以看出：有效數字位數越多，相對誤差限越小。及2023/8/24第一章緒論與誤差分析28

解：由于，則近似值

x*

可寫為

例

1-5為了使的近似值的相對誤差小于10-3，問應取幾位有效數字？

依據只要即可。解得：n≥4，故只要取

n=4,就可滿意要求。即應取4位有效數字，精準數為：此時

x=4.472.2023/8/24第一章緒論與誤差分析29

練習1.1:推斷下列近似數個有幾位有效數字，用肯定誤差限表示。注意：精確值的有效數字可以認為有無限多位。如：x1*=24.67x2*=3850×103x3*=0.6742×10-2x4*=0.000374x5*=0.84002023/8/24第一章緒論與誤差分析30§4誤差的傳播

當我們在計算函數值時，由于自變量的值往往帶有誤差，這樣便會使函數值產生肯定的誤差，這時，也需要對這種誤差做出估量。

對于n元函數：y=f(x1,x2,…,xn)，若x1*,x2*,…,xn*

為的x1,x2,…,xn

近似值，則由Taylor

展式得到肯定誤差估量的近似式：e(y)=f(x1,x2,…,xn)-f(x1*,x2*,…,xn*)2023/8/24第一章緒論與誤差分析31即肯定誤差為：此時，得相對誤差為：例如：對于一元函數

y=f(x)其中，2023/8/24第一章緒論與誤差分析32

例1-6測得直角三角形的斜邊c

及始終角邊a的近似值為c*=75cm,a*=32cm，而且測量誤差為如果計算邊

a對應的角

A

時會產生多大的誤差？解：由a=csinA得到則由肯定誤差估量式：及2023/8/24第一章緒論與誤差分析33于是：從而：即，由于對邊的測量產生的誤差，影響到角的計算將產生9分的誤差。2023/8/24第一章緒論與誤差分析34

例

1-7周長為

10cm的圓，在計算面積時，欲使其誤差不超過0.1cm2，問測量半徑時誤差應掌握在什么范圍以內？解：首先給出面積的計算公式其肯定誤差為于是應有e(s)=s‘(r)e(r)=2πre(r)2023/8/24第一章緒論與誤差分析35§5算法設計的若干原則

在計算機上進行數值運算時，由于計算機的字長有限，只能保留有限位有效數字，因而每一步計算都可能產生誤差，比如計算舍入誤差。在反復多次的計算過程中，將產生誤差的傳播和積累。當誤差積累過大時，會導致計算結果失真。因而，為削減舍入誤差的影響，設計算法時應遵循如下一些原則。一、避開兩個相近的數相減

在數值計算中，兩個相近的數相減會使有效數字受到損失，有效數位削減。例如都有四位有效數字，但

x-y=0.005

卻僅有一位有效數字。x=5.143,y=5.1382023/8/24第一章緒論與誤差分析36事實上，如果

x、y

的近似值分別為x*、y*，則兩數的差為：z=

x-y,z*=

x*-y*.可見，當

x*與y*

格外接近時，x*-y*

作為

x-y的近似值其相對誤差有可能很大。2023/8/24第一章緒論與誤差分析37當

x

接近零時，可有當x>0

很大時，可有如果找不到適當方法，可考慮在計算機上采納雙倍字長計算，以增加有效數字，提高精度。

在數值計算中，如果遇到兩個近似的數相減運算，可考慮能否轉變一下算法以避開兩數相減。例如：

當

x1x2

接近時，可有2023/8/24第一章緒論與誤差分析38

例如，在八位十進制計算機上計算

A=63281312+0.1+0.9二.防止大數“吃掉”小數

參加計算的數，有時數量級相差很大，如果不注意實行相應措施，在它們的加、減法運算中，肯定值很小的數往往被肯定值較大的數“吃掉”，不能發(fā)揮其作用，造成計算結果失真。此時，依據加法浮點運算的對階規(guī)章，應有

由于計算機只能存放八位十進制數，上式中后兩個數在計算機上變成“機器零”，計算結果為A=0.63281312×108+0.000000001×108+0.000000009×108A=0.63281312×108=63281312即相對小數0.1和0.9已被大數63281312吃掉,計算結果失真。2023/8/24第一章緒論與誤差分析39一般情況下：當一組數進行相加運算時，應依據由小到大的次序進行相加。

如果轉變計算次序，現(xiàn)將兩個小數相加得到整數1，再進行整數加法運算，就可以比避開上述現(xiàn)象。此時

A=(0.1+0.9)+

63281312=1+

63281312=632813132023/8/24第一章緒論與誤差分析40三.肯定值太小的數不宜作除數

在計算過程中，用肯定值很小的數作除數會使商的數量級增加。假設x、

y

的近似值分別是x*、

y*，則

的近似值是可見，當|y|很小時，

z

的肯定誤差可能很大。

此外，當商過大時，或者其數值超出計算機表示的范圍而引發(fā)“溢出”現(xiàn)象，或者作為一個大數它將吃掉參加運算的一些小數。2023/8/24第一章緒論與誤差分析41的值。如果采納逐項計算然后相加的算法：四.注意簡化計算程序，削減計算次數

同一個問題的計算，可以有不同的計算方法。若方法選取得當能削減計算次數，則不僅可提高計算速度，也可削減誤差積累。例如，對給定的，計算多項式所需的乘法次數為

加法次數為

n次。2023/8/24第一章緒論與誤差分析42如果把

pn(x)

改寫為采納如下算法：秦九韶算法這時，只有

n

次乘法，加法次數為n

次。2023/8/24第一章緒論與誤差分析43五、選用數值穩(wěn)定性好的算法利用分部積分法可得到遞推公式如果求得初始值的近似值

一種數值算法，如果其計算舍入誤差積累是可掌握的，則稱其為數值穩(wěn)定的，反之稱為數值不穩(wěn)定的。數值不穩(wěn)定的算法沒有有用價值。考慮積分計算則可求得全部積分的近似值：2023/8/24第一章緒論與誤差分析44并且得到誤差為：如果依據此算法計算，當n=20時，誤差將會很大，因此該方法需要改進。將積分遞推式改寫如下：再估量第一項依據2023/8/24第一章緒論與誤差分析45可得取這時的誤差為：于是得到轉變后的算法當n=20，19，…，1，0時，誤差將會越來越小。因此改進后的算法是一個穩(wěn)定的算法。2023/8/24第一章緒論與誤差分析46

習題一

1-1下列各數都是經過四舍五入得到的近似值。試分別指出它們的肯定誤差限，相對誤差限和有效數字的位數。

a=0.0315,b=0.3015,c=31.50,d=50001-2下列近似值的肯定誤差限都是0.005,

a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032試指出它們有幾位有效數字。1-3為了使的近似值的相對誤差小于0.01%，試問應取幾位有效數字？1-4求方程x2-56x+1=0的兩個根，使它們至少具有四位有效數字2023/8/24第一章緒論與誤差分析47

1-6設

,假定

g

是精確的，而對時間

t

的測量有

±0.1s

的誤差。證明：當t

增大時，S的肯定誤差增大而相對誤差減小.1-5若取

及初始值

y0=28,按遞推公式

計算

y100，試估量y100

有多大誤差。2023/8/24第一章緒論與誤差分析48（一）中國科學計算的進展狀況

我國在1956年制定科學規(guī)劃時已將計算數學列為重點,從50年月末我國有了電子計算機以來，科學計算始終處于計算及應用的主導地位。1991年“大規(guī)?？茖W與工程計算的方法和理論”被列入首批國家基礎討論重大關鍵項目即“攀登計劃”項目。1997年這一項目又被國家列入“九五”“攀登計劃”預選項目。1999年“大規(guī)?？茖W計算討論”被列入“國家重點基礎討論進展規(guī)劃”，即“973”項目。

大規(guī)模科學計算問題是當今國家急待解決的重要問題之一，例如，我國生態(tài)環(huán)境先天脆弱，水土流失、污染嚴重，常常蒙受多種自然災難，如長江流域嚴重洪災等等。加強大氣、海洋和環(huán)境的數值模擬和猜測，將可找到更多有效的措施減災防災。附

錄：2023/8/24第一章緒論與誤差分析49在高技術與基礎工業(yè)中也有很多急待解決的簡潔流淌和掌握的計算問題。又如，石油勘探開發(fā)是高風險產業(yè)，需要精細了解地下結構、確定油藏規(guī)模，定量掌握地下油氣流淌過程，以制定合理的開發(fā)方案。計算將節(jié)省數以億計的經費，形成強有力的高新技術，轉化為巨大的生產力。在其他很多領域都存在著同樣的例子。

在計算數學與科學工程計算討論領域，我國學者做出了很多杰出的貢獻，他們不僅為我國科學計算和工程計算的眾多實際問題供應了很多有效的算法，進行了大量有實際應用價值的計算，而且極大的豐富了計算數學的理論寶庫，有一批成果還在國際上有很高的地位，使我國計算數學和科學工程計算領域在國際上占有重要的一席之地。2023/8/24第一章緒論與誤差分析50

從50年月開頭，我國形成了一支活躍的、高水平的計算數學與科學工程計算討論隊伍，分布在中國科學院、高等院校和各產業(yè)部門。近半個世紀來，這支隊伍在中國計算機硬件設備長期落后于國際先進水平的條件下，發(fā)揮著自己的智力優(yōu)勢，制造性的解決了國家經濟和國防建設中的很多問題，為原子彈氫彈的研制、人造衛(wèi)星上天、遠程運載火箭的放射以