第五章 一元一次方程單元練習含解析

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第五章一元一次方程單元練習2023-2024學年北師大版七年級數(shù)學上冊（含解析）

一、單選題

1．《兒童算術(shù)》中記載了一個問題，大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8錢，多3錢；每人出7錢，少4錢，問人數(shù)是多少？若設(shè)人數(shù)為x，則下列方程正確的是（）

A．B．

C．D．8x+4=7x-3

2．已知關(guān)于的方程的解是負整數(shù)，那么整數(shù)的所有取值之和為（）

A．4B．0C．D．

3．用7.8米長的鐵絲做一個長方形框架，使長比寬多1.2米，求這個長方形框架的寬是多少米.設(shè)長方形的寬是x米，可列方程為（）

A．B．

C．D．

4．某商店以每件360元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利，另一件虧損，那么商店賣出這兩件衣服總的是（）

A．盈利30元B．虧損30元C．盈利40元D．虧損40元

5．某小組有m人，計劃做n個“中國結(jié)”，若每人做5個，則可比計劃多做9個；若每人做4個，則將比計劃少做15個．

①5m+9＝4m﹣15；②＝；③＝；④5m﹣9＝4m+15．其中正確的是（）

A．①②B．②④C．②③D．③④

6．“雞免同籠”問題是我國古代著名趣題之一，大約在1500年前，我國古代一部較為普及的算書《孫子算經(jīng)》就記載了這個有趣的問題，它還曾經(jīng)漂洋過海傳到其他國家，請看題：今有雞免同籠，上有四十四頭，下有一百二十六足，問雞兔各幾何．大數(shù)學家孫子假設(shè)把兔子的足砍去一半的“砍足法”來解決該問題；我們可以形象的用“擬人”的想法，假設(shè)兔子全“起立”，稱為“兔立法”來理解解決此問題；數(shù)學家張景中院士給青少年講學時，用到了“公平法”，假設(shè)將雞的兩只翅膀也算作足，讓雞和免和諧共生解決了問題．以上“砍足法”、“免立法”、“公平法”都是從假設(shè)角度，用算術(shù)方法解決了“雞兔同籠”問題，其實這個問題還可以用方程解決．若設(shè)雞有頭，則方程可列為（）

A．B．

C．D．

二、填空題

7．若是一元一次方程，則．

8．若關(guān)于的方程有無數(shù)個解，則的值為．

9．根據(jù)市場調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝（500g）和小瓶裝（250g）兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量（按瓶計算）比為2：5．某廠每天生產(chǎn)這種消毒液22.5t，則這些消毒液分裝成的這兩種產(chǎn)品中有瓶大瓶產(chǎn)品．

10．一商店把貨物按標價的折出售，仍可獲利，若該貨物進價為每件元，則每件的標價為元．

11．甲、乙兩商場在做促銷，如下所示，已知兩家商場相同商品的標價都一樣．

甲商場：全場均打八五折；

乙商場：購物不超過200元，不給予優(yōu)惠；超過了200元而不超過500元，一律打八八折；超過500元時，其中的500元打八八折，超過500元的部分打八折．

（1）某顧客要購買商品的總標價為600元，該顧客選擇（填“甲”或“乙”）商場更劃算；

（2）當購物總額是元時，甲、乙兩商場實付款相同．

12．在1925年數(shù)學家莫倫發(fā)現(xiàn)的世界上第一個完美長方形，如圖所示，它恰能被分割成10個大小不同的正方形．若標注為A和B的正方形的邊長分別為3和5時，則側(cè)該完美長方形的周長為．

三、解答題

13．若是關(guān)于的一元一次方程.

(1)求的值；

(2)先化簡，再求的值.

14．如圖，現(xiàn)有一張白色卡片甲和兩張灰色卡片乙、丙，上面分別寫有一個整式，現(xiàn)從這三張卡片中任意抽取，抽到白色卡片，就減去上面的整式．抽到灰色卡片，就加上上面的整式．

(1)請計算抽到甲、乙兩張卡片的結(jié)果．

(2)已知同時抽到甲、乙、丙這三張卡片，若計算結(jié)果的值為3，求的值．

15．“一剪理發(fā)店”曾師傅在美容美發(fā)商場選購某品牌的洗發(fā)水：

規(guī)格（升/桶）價格（元/桶）

大桶裝18270

小桶裝586

曾師傅估算店里一個月洗發(fā)水的使用量，若買“大桶裝”，則需若干桶但還差1升；若買“小桶裝”，則需多買16桶但會剩余1升，

(1)曾師傅預計店里一個月需要洗發(fā)水多少升？

(2)喜迎新年，商場進行促銷：滿1000減118元現(xiàn)金，并且該品牌商家對“小桶裝”洗發(fā)水有“買4送1”的促銷活動，曾師傅打算購買“小桶裝”，比促銷前節(jié)省多少錢？

16．某種筆記本的售價為5元/本，如果買100本以上，超過100本部分的，每本售價打八折．

(1)甲校和乙校分別買了80本和120本，乙校比甲校多花了多少錢？

(2)如果丙校買這種筆記本花了740元，丙校買了多少本？（列方程求解）

(3)如果丁校買這種筆記本花了a元，丁校買了多少本？（a是20的整數(shù)倍）

17．按照“雙減”政策，為豐富課后托管服務(wù)內(nèi)容，學校準備訂購一批籃球和跳繩，經(jīng)過市場調(diào)查后發(fā)現(xiàn)籃球每個定價70元，跳繩每條定價10元．某體育用品商店提供A、B兩種優(yōu)惠方案：

A方案：買一個籃球送一條跳繩；

B方案：籃球和跳繩都按定價的90%付款．

已知要購買籃球50個，跳繩x條（）

(1)若按A方案購買，一共需付款_________元（用含x的代數(shù)式表示）；若按B方案購買，一共需付款_________元（用含x的代數(shù)式表示）．

(2)購買跳繩條數(shù)為多少時，兩種方案的收費相同？

(3)當時，你能設(shè)計出一種最省錢的購買方案嗎？請寫出你的購買方案，并計算需付款多少元？

18．某公司要生產(chǎn)若干件新產(chǎn)品，需要精加工后，才能投放市場．現(xiàn)在甲、乙兩個加工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲工廠單獨加工這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工這批產(chǎn)品多用20天，甲工廠每天可加工16件產(chǎn)品，乙工廠每天可加工24件產(chǎn)品．

(1)求這個公司要加工新產(chǎn)品的件數(shù)．

(2)在加工過程中，公司需支付甲工廠每天加工費80元，乙工廠每天加工費120元．公司還需另派一名工程師每天到廠家進行技術(shù)指導，并負擔每天5元的午餐補助費．公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可由一個工廠單獨加工完成，也可由兩個工廠合作同時完成．當兩個工廠合作時，這名工程師輪流去這兩個工廠．請你通過計算幫助公司從所有可供選擇的方案中選擇一種既省錢，又省時間的加工方案．

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21世紀教育網(wǎng)()

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參考答案：

1．B

【分析】設(shè)人數(shù)為x，然后根據(jù)等量關(guān)系“每人出8錢，多3錢；每人出7錢，少4錢”即可列出方程．

【詳解】解：設(shè)人數(shù)為x，

根據(jù)題意可得：．

故選B．

【點睛】本題主要考查了列一元一次方程，審清題意、找準等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．

2．D

【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解為，結(jié)合原方程的解是負整數(shù)且k為整數(shù)，可得出k的值，再將其相加即可得出結(jié)論．

【詳解】∵

∴，

當時，原方程無解；

當時，．

∵原方程的解是負整數(shù)，且k為整數(shù)，

∴或

∴或，

∴整數(shù)k的所有取值之和為．

故選：D．

【點睛】本題考查了一元一次方程的解，由原方程的解為負整數(shù)，找出整數(shù)k的值是解題的關(guān)鍵．

3．C

【分析】設(shè)長方形的寬x米，長為（x+1.2）米，根據(jù)題意可得周長為7.8米，據(jù)此列方程．

【詳解】解：設(shè)長方形的寬x米，長為（x+1.2）米，

由題意得，2[x+（x+1.2）]=7.8．

故選C．

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.

4．B

【分析】該商店盈利的那件衣服的成本價為元，虧損的那件衣服的成本價為元，根據(jù)盈利、虧損情況分別建立方程，解方程即可得．

【詳解】解：該商店盈利的那件衣服的成本價為元，虧損的那件衣服的成本價為元，

由題意得：，，

解得，，

則，

即商店賣出這兩件衣服總的是虧損30元，

故選：B．

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用、有理數(shù)混合運算的應用，找準等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．

5．D

【分析】根據(jù)題意可以列出相應的方程，然后變形即可判斷哪個小題中的方程正確，從而可以解答本題．

【詳解】解：由題意可得，

5m=n+9①，4m=n-15②，

由①得，，n=5m-9，由②得，，n=4m+15，

∴，5m-9=4m+15．

故③④正確，

故選：D．

【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應的方程．

6．C

【分析】設(shè)雞有頭，根據(jù)等量關(guān)系：雞的足，加上兔子的足的數(shù)量，共，列出方程即可求解．

【詳解】解：設(shè)雞有頭，則方程可列為，

故選：C．

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，根據(jù)題意列出方程解題的關(guān)鍵．

7．

【分析】根據(jù)一元一次方程的定義求出m的值，再將m的值代入，求解方程即可．

【詳解】解：∵是一元一次方程，

∴，

∴，

∴原方程為，

解得：，

故答案為：．

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式方程是一元一次方程．

8．

【分析】方程移項合并，令x系數(shù)等于0，求出的值，即可得到結(jié)果．

【詳解】整理得，

∵有無數(shù)個解，

∴，，

解得，，

∴，

故答案為：．

【點睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．

9．20000

【分析】設(shè)大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根據(jù)題意列方程求出x，則可知大瓶的數(shù)量

【詳解】換算單位：22.5t=22.5×1000×1000g

設(shè)大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，

根據(jù)題意列方程，得

500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，

解得x=10000

2x=20000

∴大瓶有20000瓶．

故答案為：20000

【點睛】本題考查了列一元一次方程解應用題，一般情況下題目中出現(xiàn)比值問題，通常設(shè)每份為x，掌握以上方法是解題的關(guān)鍵．

10．24

【分析】根據(jù)題意設(shè)參數(shù)，利用標價減去進價等于利潤，列出方程，解出未知數(shù)，即可求出答案．

【詳解】解：設(shè)貨物的標價是元，則商店把貨物按標價的折出售即，若該貨物的進價是元．

根據(jù)題意列方程得：，

解得：元．

故每件的標價為元．

故答案為：．

【點睛】本題考查的是一元一次方程的實際應用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握公式：利潤標價進價．

11．甲

【分析】（1）根據(jù)兩商場的促銷方案，即可求出哪家商場更劃算；

（2）設(shè)購物總額是x元時，甲、乙兩商場實付款相同，選擇適當?shù)牡攘筷P(guān)系列出一元一次方程解方程求解即可

【詳解】解：（1）甲商場需要：（元）

乙商場需要：（元）

該顧客選擇甲商場更劃算；

故答案為：甲

（2）設(shè)購物總額是元時，甲、乙兩商場實付款相同，

當時，，此方程無解，

當時，則，此方程無解

當時

依題意，

解得

故答案為：

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找出題目中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

12．224

【分析】設(shè)①的邊長為x，根據(jù)圖形，將各個正方形的邊長表示出來，再根據(jù)長方形對邊相等，列出方程求出x的值，即可得出周長．

【詳解】解：設(shè)①的邊長為x，

則②的邊長為，

③的邊長為，

④的邊長為，

⑤的邊長為，

⑥的邊長為，

⑦的邊長為，

⑧的邊長為，

∵，

∴，

解得：，

∴，，

∴該完美長方形的周長為，

故答案為：224．

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形，將各個正方形邊長正確表示出來．

13．(1)

(2)，

【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是次的整式方程；由此解答即可；

（2）根據(jù)整式的加減運算法則將原式化簡，然后代入求值即可．

【詳解】（1）解：由題意，得，

∴，

又∵，

∴，

∴；

（2）原式，

當時，原式．

【點睛】本題考查了一元一次方程的定義，整式的加減－化簡求值，熟練掌握相關(guān)定義以及運算法則是解本題的關(guān)鍵．

14．(1)

(2)的值為

【分析】（1）根據(jù)整式的加減運算法則即可求出答案；

（2）根據(jù)整式的加減運算法則進行化簡，然后根據(jù)題意列出方程即可求出的值．

【詳解】（1）解：（1）由題意得

．

（2）由題意得

．

，

，

的值為．

【點睛】本題考查整式的加減運算法則，熟練運用整式的加減運算法則以及一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．

15．(1)曾師傅預計店里一個月需要洗發(fā)水109升

(2)比促銷前節(jié)省462元

【分析】（1）設(shè)需購買“大桶裝”洗發(fā)水x桶，則需購買“小桶裝”桶，根據(jù)所需洗發(fā)水體積不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入中即可求出結(jié)論；

（2）由（1）可知，需購買22桶“小桶裝”洗發(fā)水，結(jié)合該品牌商家對“小桶裝”洗發(fā)水有“買4送1”的促銷活動，可得出只需購買“小桶裝”洗發(fā)水18桶，再利用節(jié)省錢數(shù)=促銷前所需費用減去促銷后所需費用，即可求出結(jié)論．

【詳解】（1）解：設(shè)需購買“大桶裝”洗發(fā)水x桶，則需購買“小桶裝”桶，

依題意，得：

解得：，

曾師傅預計店里一個月需要洗發(fā)水109升；

（2）由（1）可知，需購買22桶“小桶裝”洗發(fā)水，

該品牌商家對“小桶裝”洗發(fā)水有“買4送1”的促銷活動，

只需購買“小桶裝”洗發(fā)水18桶，

比促銷前可節(jié)省：

（元），

比促銷前節(jié)省462元錢．

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

16．(1)180元

(2)160本

(3)或

【分析】（1）由題意知，甲校花費（元），乙校花費（元），然后作差求解即可；

（2）設(shè)丙校買了x本，由，可得，計算求解即可；

（3）由題意知，當時，丁校買了本；當時，丁校買了（本）．

【詳解】（1）解：由題意知，甲?；ㄙM（元），

乙?；ㄙM（元），

（元），

∴乙校比甲校多花了180元；

（2）解：設(shè)丙校買了x本，

∵，

∴，

解得：，

∴丙校買了160本；

（3）解：由題意知，當時，丁校買了本；

當時，丁校買了（本），

∴丁校買了或本．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算的應用，一元一次方程的應用．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．

17．(1)，

(2)購買150根跳繩時，A、B兩種方案所需要的錢數(shù)一樣多

(3)按A方案買50個籃球，剩下的50條跳繩按B方案購買，付款3950元

【分析】（1）由題意按A方案購買可列式：，在按B方案購買可列式：；

（2）由（1）列等式求解即可；

（3）先算全按同一種方案進行購買，計算出兩種方案所需付款金額，再根據(jù)A方案是買一個籃球送跳繩，B方案是籃球和跳繩都按定價的付款，考慮可以按A方案買50個籃球，剩下的50條跳繩按B方案購買，計算出所需付款金額，進行比較即可．

【詳解】（1）解：A方案購買可列式：元；

按B方案購買可列式：元；