【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè) 24.7 向量的線性運(yùn)算 同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)卷(滬教版五四制)

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)24.7向量的線性運(yùn)算同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023八下·普陀期中）如圖，在中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A．與是相等的向量B．與是相等的向量

C．與是相反的向量D．與是平行的向量

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】向量的加法法則；平行向量定理；向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：

A、與是相等的向量，A不符合題意；

B、與不是相等的向量，B符合題意；

C、與是相反的向量，C不符合題意；

D、與是平行的向量，D不符合題意；

故答案為：B

【分析】根據(jù)平面向量及其表示結(jié)合題意即可求解。

2．（2023八下·嘉定期末）已知四邊形是矩形，點(diǎn)是對(duì)角線與的交點(diǎn).下列四種說(shuō)法：①向量與向量是相等的向量；②向量與向量是互為相反的向量；③向量與向量是相等的向量；④向量與向量是平行向量．其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量及其表示；向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：如圖：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，

∴①向量與向量是相等的向量，符合題意．

②向量與向量是互為相反的向量，符合題意．

③向量與向量是相等的向量；不符合題意．

④向量與向量是平行向量．符合題意．

故答案為：C．

【分析】利用矩形的性質(zhì)，相等向量，平行向量的定義一一判斷即可．

3．（2023九下·金山月考）已知在△ABC中，AD是中線，設(shè)，那么向量用向量表示為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量及其表示；向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】∵，

∴，

∵AD是△ABC中線，

∴，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)向量的三角形法則求出，即可得到.

4．（2023·青浦模擬）如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，聯(lián)結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC邊于點(diǎn)D．設(shè)，，那么向量用向量、表示為（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：∵G是△ABC的重心，

∴AG＝2DG，∴AD＝3DG，∴＝3＝3，

∵＝+＝﹣+3，DB＝BD，

∴＝2＝6﹣2，

故答案為：C．

【分析】G是△ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法則求出即可解決問(wèn)題．

5．（2023·譙城模擬）已知：點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2BC，那么下列等式一定正確的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：

∵AC＝2BC，

∴BC＝AB，AC＝AB，

∴，

∴，選項(xiàng)A不符合題意；

，選項(xiàng)B不符合題意；

，選項(xiàng)C一定符合題意；

．選項(xiàng)D不符合題意；ABD等式不成成立,選項(xiàng)C等式符合題意.

故答案為：C．

【分析】由已知點(diǎn)C在線段AB上，AC＝2BC，故可以知道C點(diǎn)是線段AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，且靠近B點(diǎn)，所以有BC＝AB．

6．（2023九上·上海月考）已知，，那么等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：∵，，

∴=．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)向量的混合運(yùn)算法則求解即可求得答案，注意解題需細(xì)心．

7．（2023八下·長(zhǎng)寧期末）在四邊形中，若，則等于（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】如圖，連接BD．

∵，

∴．

又，

∴，即．

故答案為：B．

【分析】如圖，連接BD．利用三角形法則解題即可．

8．（2023·徐匯模擬）若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A．||＝2B．||＝4

C．＝4D．＝

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量及其表示；向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】A、由＝2推知||＝2，故本選項(xiàng)不符合題意．

B、由＝-4推知||＝4，故本選項(xiàng)不符合題意．

C、依題意得：＝﹣4，故本選項(xiàng)符合題意．

D、依題意得：＝-，故本選項(xiàng)不符合題意．

故答案為：C．

【分析】由題意得向量b與向量a是方向相反且不為零的平行向量。為兩個(gè)，所以||＝2。||

||為正數(shù)，即||=4.所以=-4。=-2的關(guān)系不變。

二、填空題

9．（2022·長(zhǎng)寧模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且＝，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，＝，＝，試用向量，表示向量，那么＝．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：∵在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且＝，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，＝，＝，

∴，

∴

故答案為：

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可。

10．（2022·寶山模擬）如圖，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，如果，那么＝（用表示）．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝30°，

∴∠A＝∠ABD，

∴AD＝BD，DB＝2DC，

∴AD＝2DC，

∴CD＝AC，

∴＝，

故答案為．

【分析】先證明AD＝2DC，推出CD＝AC，即可得出結(jié)論。

11．（2023八下·溫州期中）如圖，大壩橫截面迎水坡AB的坡比為2：1，若壩高AC為12（m），則迎水坡AB的長(zhǎng)為（m）．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題

【解析】【解答】解：∵大壩橫截面迎水坡AB的坡比為2：1，若壩高AC為12m，

∴BC=6，

∴迎水坡AB的長(zhǎng)為（m）.

故答案為：.

【分析】根據(jù)坡比的定義得出BC的長(zhǎng)為6m，然后根據(jù)勾股定理即可求解。

12．（2023·青島模擬）計(jì)算：．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值

【解析】【解答】解：，

故答案為：.

【分析】利用特殊角的銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算求解即可。

13．（2023·官渡模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線和直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，則不等式的解集為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象

【解析】【解答】解：由題意得當(dāng)，，

故答案為：.

【分析】直接根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象即可求解。

14．（2023·楊浦模擬）如果拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)呈上升趨勢(shì)，那么a的取值范圍是．

【答案】a＜0

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax^2的圖象；二次函數(shù)y=ax^2的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)呈上升趨勢(shì)，

∴函數(shù)開(kāi)口向下，

∴a＜0，

故答案為：a＜0

【分析】根據(jù)二次函數(shù)開(kāi)口方向與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題意即可求解。

三、解答題

15．（2023九上·金山期末）如圖，已知：四邊形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上，，設(shè)，．

求向量關(guān)于、的分解式．

【答案】解：連接BD．

∵，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算

【解析】【分析】連接BD．根據(jù)，得出，再根據(jù)，，得出，即可得出結(jié)果。

16．（2023九上·奉賢期中）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，點(diǎn)E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，設(shè)＝，＝，用、的線性組合表示向量．

【答案】解：∵AD是△ABC中BC邊上的中線，

∴．

∵點(diǎn)E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，

∴，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算

【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性計(jì)算及三角形法則求解即可。

四、作圖題

17．（2022九上·閔行期中）如圖，已知兩個(gè)不平行的向量、先化簡(jiǎn)，再求作：．不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量

【答案】解：．

如圖，即為所求．

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算

【解析】【分析】利用平面向量的計(jì)算方法求解即可。

五、綜合題

18．（2023·楊浦模擬）如圖，已知中，點(diǎn)D、E分別在邊和上，，且DE經(jīng)過(guò)的重心G．

（1）設(shè)，（用向量表示）

（2）如果，，求邊的長(zhǎng)．

【答案】（1）

（2）解：∵，，

∴．

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．

∵，

∴，，

∴，，

∴．

∵G是的重心，

∴，

∴，

∵，

．

故答案為：．

【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．由G是的重心可得，由平行線可證，利用相似三角形的性質(zhì)可得，由，即得；

（2）證明，可得，據(jù)此即可求解.

19．（2022九上·黃浦月考）如圖，已知在中，點(diǎn)分別在邊上，且，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若，，，請(qǐng)用、表示、（直接寫出答案）．

【答案】（1）證明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：=；=

【知識(shí)點(diǎn)】平行線分線段成比例；向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】（2）解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴．

【分析】（1）利用平行線分線段成比例的性質(zhì)可得，再化簡(jiǎn)可得；

（2）利用平面向量的計(jì)算方法求解即可。

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一、選擇題

1．（2023八下·普陀期中）如圖，在中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A．與是相等的向量B．與是相等的向量

C．與是相反的向量D．與是平行的向量

2．（2023八下·嘉定期末）已知四邊形是矩形，點(diǎn)是對(duì)角線與的交點(diǎn).下列四種說(shuō)法：①向量與向量是相等的向量；②向量與向量是互為相反的向量；③向量與向量是相等的向量；④向量與向量是平行向量．其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

3．（2023九下·金山月考）已知在△ABC中，AD是中線，設(shè)，那么向量用向量表示為（）

A．B．C．D．

4．（2023·青浦模擬）如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，聯(lián)結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC邊于點(diǎn)D．設(shè)，，那么向量用向量、表示為（）

A．B．

C．D．

5．（2023·譙城模擬）已知：點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2BC，那么下列等式一定正確的是（）

A．

B．

C．

D．

6．（2023九上·上海月考）已知，，那么等于（）

A．B．C．D．

7．（2023八下·長(zhǎng)寧期末）在四邊形中，若，則等于（）

A．B．

C．D．

8．（2023·徐匯模擬）若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A．||＝2B．||＝4

C．＝4D．＝

二、填空題

9．（2022·長(zhǎng)寧模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且＝，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，＝，＝，試用向量，表示向量，那么＝．

10．（2022·寶山模擬）如圖，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，如果，那么＝（用表示）．

11．（2023八下·溫州期中）如圖，大壩橫截面迎水坡AB的坡比為2：1，若壩高AC為12（m），則迎水坡AB的長(zhǎng)為（m）．

12．（2023·青島模擬）計(jì)算：．

13．（2023·官渡模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線和直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，則不等式的解集為．

14．（2023·楊浦模擬）如果拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)呈上升趨勢(shì)，那么a的取值范圍是．

三、解答題

15．（2023九上·金山期末）如圖，已知：四邊形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上，，設(shè)，．

求向量關(guān)于、的分解式．

16．（2023九上·奉賢期中）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，點(diǎn)E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，設(shè)＝，＝，用、的線性組合表示向量．

四、作圖題

17．（2022九上·閔行期中）如圖，已知兩個(gè)不平行的向量、先化簡(jiǎn)，再求作：．不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量

五、綜合題

18．（2023·楊浦模擬）如圖，已知中，點(diǎn)D、E分別在邊和上，，且DE經(jīng)過(guò)的重心G．

（1）設(shè)，（用向量表示）

（2）如果，，求邊的長(zhǎng)．

19．（2022九上·黃浦月考）如圖，已知在中，點(diǎn)分別在邊上，且，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若，，，請(qǐng)用、表示、（直接寫出答案）．

答案解析部分

1．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】向量的加法法則；平行向量定理；向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：

A、與是相等的向量，A不符合題意；

B、與不是相等的向量，B符合題意；

C、與是相反的向量，C不符合題意；

D、與是平行的向量，D不符合題意；

故答案為：B

【分析】根據(jù)平面向量及其表示結(jié)合題意即可求解。

2．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量及其表示；向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：如圖：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，

∴①向量與向量是相等的向量，符合題意．

②向量與向量是互為相反的向量，符合題意．

③向量與向量是相等的向量；不符合題意．

④向量與向量是平行向量．符合題意．

故答案為：C．

【分析】利用矩形的性質(zhì)，相等向量，平行向量的定義一一判斷即可．

3．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量及其表示；向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】∵，

∴，

∵AD是△ABC中線，

∴，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)向量的三角形法則求出，即可得到.

4．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：∵G是△ABC的重心，

∴AG＝2DG，∴AD＝3DG，∴＝3＝3，

∵＝+＝﹣+3，DB＝BD，

∴＝2＝6﹣2，

故答案為：C．

【分析】G是△ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法則求出即可解決問(wèn)題．

5．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：

∵AC＝2BC，

∴BC＝AB，AC＝AB，

∴，

∴，選項(xiàng)A不符合題意；

，選項(xiàng)B不符合題意；

，選項(xiàng)C一定符合題意；

．選項(xiàng)D不符合題意；ABD等式不成成立,選項(xiàng)C等式符合題意.

故答案為：C．

【分析】由已知點(diǎn)C在線段AB上，AC＝2BC，故可以知道C點(diǎn)是線段AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，且靠近B點(diǎn)，所以有BC＝AB．

6．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：∵，，

∴=．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)向量的混合運(yùn)算法則求解即可求得答案，注意解題需細(xì)心．

7．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】如圖，連接BD．

∵，

∴．

又，

∴，即．

故答案為：B．

【分析】如圖，連接BD．利用三角形法則解題即可．

8．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量及其表示；向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】A、由＝2推知||＝2，故本選項(xiàng)不符合題意．

B、由＝-4推知||＝4，故本選項(xiàng)不符合題意．

C、依題意得：＝﹣4，故本選項(xiàng)符合題意．

D、依題意得：＝-，故本選項(xiàng)不符合題意．

故答案為：C．

【分析】由題意得向量b與向量a是方向相反且不為零的平行向量。為兩個(gè)，所以||＝2。||

||為正數(shù)，即||=4.所以=-4。=-2的關(guān)系不變。

9．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：∵在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且＝，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，＝，＝，

∴，

∴

故答案為：

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可。

10．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；向量的線性運(yùn)算

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝30°，

∴∠A＝∠ABD，

∴AD＝BD，DB＝2DC，

∴AD＝2DC，

∴CD＝AC，

∴＝，

故答案為．

【分析】先證明AD＝2DC，推出CD＝AC，即可得出結(jié)論。

11．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題

【解析】【解答】解：∵大壩橫截面迎水坡AB的坡比為2：1，若壩高AC為12m，

∴BC=6，

∴迎水坡AB的長(zhǎng)為（m）.

故答案為：.

【分析】根據(jù)坡比的定義得出BC的長(zhǎng)為6m，然后根據(jù)勾股定理即可求解。

12．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值

【解析】【解答】解：，

故答案為：.

【分析】利用特殊角的銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算求解即可。

13．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象