青島版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 2.5 角平分線(xiàn)的性質(zhì) 課件(共17張PPT)

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第2章圖形的軸對(duì)稱(chēng)

2.5角平分線(xiàn)的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過(guò)折紙、畫(huà)圖等操作，體會(huì)角的軸對(duì)稱(chēng)性，理解角的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸.

2.掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定，能夠利用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題.

3.會(huì)用尺規(guī)作圖作一個(gè)角的平分線(xiàn)，并能寫(xiě)出具體的作圖步驟.

4.經(jīng)歷探索角平分線(xiàn)的性質(zhì)的過(guò)程，進(jìn)一步培養(yǎng)推理的意識(shí)和能力，熟悉幾何推理的基本思想.

B

活動(dòng)探究

試一試：在紙上任意畫(huà)一個(gè)∠BAC，把它沿經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的某條直線(xiàn)對(duì)折，使角的兩邊BA與AC重合然后把紙展開(kāi)后鋪平，折痕記為AD，你發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？

由此，我們可以得到如下結(jié)論：

角是圖形，

它的對(duì)稱(chēng)軸是.

C

B

A

D

軸對(duì)稱(chēng)

AD

角的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸.

C

B

A

D

在∠BAC的角平分線(xiàn)AD上任意取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分別是點(diǎn)M，N，用圓規(guī)比較PN與PM的大小，你有什么發(fā)現(xiàn)說(shuō)明你的理由.由此你能得出什么結(jié)論

P

M

N

解：通過(guò)用圓規(guī)比較PM與PN的大小，發(fā)現(xiàn)PM=PN.

解：因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1=∠2

因?yàn)镻M⊥AB，PN⊥AC，

所以∠AMP=∠ANP=90°.

在△AMP與△ANP中，

因?yàn)?/p>

所以△AMP≌△ANP（AAS）.

所以PM=PN.

∠1=∠2，

∠AMP=∠ANP，

AP=AP，

C

B

A

D

P

M

N

1

2

角平分線(xiàn)上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

角平分線(xiàn)性質(zhì)：

角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

C

B

M

A

P

N

D

應(yīng)用所具備的條件：

（1）AD為角的平分線(xiàn)；

（2）點(diǎn)P在該平分線(xiàn)上；

（3）PM⊥ABPN⊥AC

符號(hào)語(yǔ)言：

因?yàn)锳D平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC

所以PM=PN.

如圖，已知∠BAC，經(jīng)過(guò)∠BAC內(nèi)部任意作直線(xiàn)l1∥AB，作直線(xiàn)l2∥AC，使l2與AC之間的距離等于l1與AB之間的距離.記l1，l2的交點(diǎn)為P.則P是∠BAC內(nèi)部一個(gè)到∠BAC的兩邊AB，AC距離相等的點(diǎn).作直線(xiàn)AP.如果將∠BAC沿AP對(duì)折.你發(fā)現(xiàn)∠BAP與∠CAP重合嗎由此你能得到什么結(jié)論

B

C

B

A

P

解：∠BAP與∠CAP重合.

∠BAP=∠CAP，點(diǎn)P在∠BAC的平分線(xiàn)上.

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上.

l1

l2

角平分線(xiàn)的判定：

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上.

應(yīng)用所具備的條件：

（1）點(diǎn)P在∠BAC的內(nèi)部；

（2）PM⊥ABPN⊥AC；

（3）PM=PN.

符號(hào)語(yǔ)言：

因?yàn)镻M⊥AB，PN⊥AC，PM=PN；

所以點(diǎn)P在∠BAC的角平分線(xiàn)上，所以∠1=∠2.

C

B

A

D

P

M

N

1

2

已知：∠BAC.

求作：∠BAC的平分線(xiàn).

A

B

C

E

F

P

已知一個(gè)角，你能用直尺和圓規(guī)作出它的平分線(xiàn)嗎？

你能說(shuō)明所作出的射線(xiàn)AP是∠BAC的平分線(xiàn)嗎？

A

B

C

E

F

P

連接PE，PF，

因?yàn)锳E=AF，EP=FP，

由SSS，△APE≌△APF.

所以∠BAP=∠CAP.

【例】如圖，△ABC的角平分線(xiàn)BM，CN相交于點(diǎn)P.

試說(shuō)明：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

因?yàn)锽M是△ABC的角平分線(xiàn)，

點(diǎn)P在BM上，

所以PD=PE.

同理，PE=PF.

所以PD＝PE=PF.

即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，

PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，

D

P

M

N

A

B

C

F

E

D

P

M

N

A

B

C

F

E

結(jié)論：三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，

并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.

想一想，點(diǎn)P在∠A的平分線(xiàn)上嗎？

這說(shuō)明三角形的三條角平分線(xiàn)有什么關(guān)系？

1.如圖所示,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分線(xiàn)BD交AC于點(diǎn)D,若CD=3cm,則點(diǎn)D到AB的距離DE長(zhǎng)度是()

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

C

隨堂練習(xí)

解：作夾角的角平分線(xiàn)OC，

截取OD=2.5cm，D即為所求.

D

2.如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)應(yīng)建在何處？（比例尺為1︰20000）

O

C

200

400m

0

比例尺：

3.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F，

求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線(xiàn)上．

A

B

D

C

E

F

G

H

M

A

B

D

C

E

F

證明：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，

FM⊥BC于M.

因?yàn)辄c(diǎn)F在∠BCE的平分線(xiàn)上，

FG⊥AE，F(xiàn)M⊥BC，

所以FG=FM.

又因?yàn)辄c(diǎn)F在∠CBD平分線(xiàn)上，

FH⊥AD，F(xiàn)M⊥BC.

所以FM=FH.

所以FG=FH，

所以點(diǎn)F在∠DAE的平分線(xiàn)上.

角平分線(xiàn)

性質(zhì)

判定

角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到

角兩邊的距離