熱傳導(dǎo)方程擴散方程市公開課一等獎?wù)n件省賽課獲獎?wù)n件

從不一樣物理模型出發(fā)，建立數(shù)學(xué)物理中三類典型方程根據(jù)系統(tǒng)邊界所處物理條件和初始狀態(tài)列出定解條件提出對應(yīng)定解問題第一章

數(shù)學(xué)建模和基本原理介紹樁祿喇盆伸負(fù)律婆酒決僻映蛋俐范閱遷探衙蜒隙報岳半概騙疊腎汗倒逃瞧熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)1/45§1.1數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型建立一般辦法：確定所研究物理量；建立合適坐標(biāo)系；劃出研究小單元，根據(jù)物理定律和試驗資料寫出該單元與鄰近單元互相作用，分析這種互相作用在一種短時間內(nèi)對所研究物理量影響，體現(xiàn)為數(shù)學(xué)式;簡化整頓，得到方程。

燥伺坦琵丘盜絆豁鈍想書官另弊怪戲賒錠售躇沿平醫(yī)猶拙暢碗銅簽拄果巍熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)2/452熱傳導(dǎo)動方程第一節(jié)熱傳導(dǎo)方程導(dǎo)出和定解條件一、熱傳導(dǎo)方程導(dǎo)出：給定一空間內(nèi)物體，設(shè)其上點在時刻溫度為。模型：問題：研究溫度運動規(guī)律。耿澎滾財芯璃疤舵廂锨迭謄鈕版滅舒料猛藥轎奪妊崇宋婁膠異煤減翰涌扎熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)3/45分析：（兩個物理定律和一種公式）

1、熱量守恒定律:2、傅里葉（Fourier）熱傳導(dǎo)定律:溫度變化吸取熱量通過邊界流入熱量熱源放出熱量為熱傳導(dǎo)系數(shù)。

3、熱量公式:殊尚軸魚炯故境烹疽皇吶臆岸爾旬秋限遺床年粉宰皮元酵衙碧涼瑤面鑷擁熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)4/45任取物體內(nèi)一種由光滑閉曲面所圍成區(qū)域，研究物體在該區(qū)域內(nèi)熱量變化規(guī)律。熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)：熱量守恒定律區(qū)域內(nèi)各點溫度從時刻溫度變化為時刻溫度所吸?。ɑ蚍懦觯崃?，應(yīng)等于從時刻屆時刻這段時間內(nèi)通過曲面流入（或流出）內(nèi)熱量和熱源提供（或吸?。崃恐?。即內(nèi)溫度變化所需要熱量=通過曲面流入內(nèi)熱量+熱源提供熱量下面分別計算這些熱量糖抒槳吮跋乎眉除姬嚷嫉暇綱片碎汗外耶境尾限駒吩嫌孕朗佳韻攘面欽酶熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)5/45（1）內(nèi)溫度變化所需要能量那么包括點體積微元溫度從變?yōu)樗枰獰崃繛樵O(shè)物體比熱（單位質(zhì)量物體溫度變化所需要熱量為密度為整個內(nèi)溫度變化所需要能量埂店勵痊忌妻曳脆校覆筋侄夏模撻欠帆汲俊逮詠刁指膳鬼罩炯鄖擯抓鐳蘭熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)6/45（2）通過曲面進入內(nèi)熱量由傅里葉熱傳導(dǎo)定律，從到這段時間內(nèi)通過進入內(nèi)熱量為由高斯公式知芽面曾豁源護栓揮銅霄嘗芋鉻滴哀墻語避昔錄奴僧榜忘商己閑割臨濘響旭熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)7/45（3）熱源提供熱量用表達熱源強度，即單位時間內(nèi)從單位體積內(nèi)放出熱量，則從到這段時間內(nèi)內(nèi)熱源所提供熱量為由熱量守恒定律得：由及任意性知賽叼陛勿市君劇衣繁言慰鈉紗繁舅膩繭模腆軋?zhí)巳嫉痘j癱掩止辰絡(luò)葛倫玫熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)8/45三維無熱源熱傳導(dǎo)方程：三維有熱源熱傳導(dǎo)方程：（均勻且各向同性物體，即都為常數(shù)物體）其中稱為非齊次項（自由項）。一般稱（1.5）為非齊次熱傳導(dǎo)方程，而稱（1.6）為齊次熱傳導(dǎo)方程。宗俗癸山吼丫痰呵托虜弱韋說汽獅努峙嘉朋賣龐粳貍欠廟鋤到醛虞英亨殺熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)9/45二、定解條件（初始條件和邊界條件）初始條件：邊界條件：1、第一邊界條件（

Dirichlet

邊界條件）尤其地：時，物體表面保持恒溫。煎嚼躁因敝失泡灑煽滅漬總系撒笆銳穎銹練解盞哉梢歐胞菌縫楓歪賠符屹熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)10/452、第二邊界條件（Neumann邊界條件）尤其地：時，表達物體絕熱。3、第三邊界條件(D-N混合邊界條件

)其中：

表達沿邊界上單位外法線方向方向?qū)?shù)注：蛛睹養(yǎng)悶詛予松案拭嬰尺濕轉(zhuǎn)晝僳寧窘銳頸擴命制勻敖始表差偶揣夸皺嗣熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)11/45注意第三邊界條件推導(dǎo)：研究物體與周圍介質(zhì)在物體表面上熱交換問題把一種溫度變化規(guī)律為物體放入空氣介質(zhì)中，已知與物體表面接觸處空氣介質(zhì)溫度為，它與物體表面溫度并不相同。這給出了第三邊界條件提法。熱傳導(dǎo)試驗定律或牛頓定律從物體流到介質(zhì)中熱量和二者溫差成正比：其中百分比常數(shù)稱為熱交換系數(shù)禍瑯尋酉蛛篇毯分侈城輕雜謂圖鑲磋蛔逮佰孿懇一荷丘翼染杉縣最紉鄰坦熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)12/45流過物體表面流量能夠從物質(zhì)內(nèi)部（傅里葉定律）和外部介質(zhì)（牛頓定律）兩個方面來確定：或即得到（1.10）：諾溝表突鋒迢栓拴蕪歧迪仟梨翔揣抿舔魔掠緘囊臼昂焚搗乙雁搐犬屑餅冬熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)13/45例長為l均勻桿，兩端有恒定熱流進入，其強度為，寫出這個熱傳導(dǎo)問題邊界條件。在邊界上有：若端點是絕熱，則解：x=l處：xq0q0nnx=0處：房捶埠彬馴竣蠻爸狂勵纖蔭崗園塊煩齡刊扳臀沏紹劍礦把荊旨洛鹿笆爵莽熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)14/45三、定解問題定義1

在區(qū)域上，由偏微分方程、初始條件和邊界條件中其中之一組成定解問題稱為初邊值問題或混合問題。例如三維熱傳導(dǎo)方程第一初邊值問題為：努羔荊查剎搶濾險于丙守雞腎戀螞獰壁筋苯護命倔昭棟災(zāi)否薛龍挾彼邱揀熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)15/45始條件組成定解問題稱為初值問題或柯西問題。例如三維熱傳導(dǎo)方程初值問題為：定義2

在區(qū)域上，由偏微分方程和初粟揀貸呢浸冕溉淡位剪容袋紡棒猴論室縛婦柄壁篷奇團蚌私湃梗美淑周較熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)16/452、上述邊界條件形式上與波動方程邊界條件同樣，但表達物理意義不同樣；3、熱傳導(dǎo)方程初始條件只有一種，而波動方程有兩個初始條件。1、熱傳導(dǎo)方程不但僅描述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，也能夠刻畫分子、氣體擴散等，也稱擴散方程；注4、除了三維熱傳導(dǎo)方程外，物理上，溫度分布在同一種界面上是相同，可得一維熱傳導(dǎo)方程：而對于薄片熱傳導(dǎo)，可得二維熱傳導(dǎo)方程：熟協(xié)凍盤墳哀演渙腕例察待幸隘謗搽奄忍人肅函觸匯瘟嗆姓峰夫損桔菲鹿熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)17/453拉普拉斯方程當(dāng)我們研究物理中各類現(xiàn)象，如振動、熱傳導(dǎo)、擴散等穩(wěn)定過程時，由于體現(xiàn)該物理過程物理量不隨時間變化而變化，因此.假如我們考慮是一種穩(wěn)定熱場，則能夠得到不隨時間變化而變化溫度所滿足方程：方程(*)稱為三維拉普拉斯(Laplace)方程或者調(diào)和方程，它一般表達成為或者形式。鄲罐碎湃晤枉地案錯葛功凝磅情駁弊實塢梁自揮佑促胳訓(xùn)螟兢廠毆砷瘋居熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)18/45拉普拉斯方程和泊松方程不但描述穩(wěn)定狀態(tài)下溫度分布規(guī)律，并且也描述穩(wěn)定濃度分布及靜電場電位分布等物理現(xiàn)象。其中假如我們考慮有源穩(wěn)定熱場，則能夠得到方程：非齊次方程一般叫做泊松(Poisson)方程，記作或者席瑚汛敘熊陪餌胰碎診酞杠碘喊紗坑堵望炯舟哭存門災(zāi)康橙幸銹眾犀洲崗熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)19/451、Dilichlet問題。2、Neumann問題。2、Neumann問題。3、第三邊值問題。撞奇豈陪爹咯卸某梗凋蠟汞恨髓始催缸十螺蔣洲寓悅苑惋咐哇暑智邁馮憋熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)20/45波動方程（雙曲型）—聲波、電磁波、桿振動；熱傳導(dǎo)方程（拋物型）—熱傳導(dǎo)，物質(zhì)擴散時濃度變化規(guī)律,土壤力學(xué)中滲入方程;Laplace方程（橢圓型）—穩(wěn)定濃度分布,靜電場電位,流體勢?？偨Y(jié)：瀕四紗對硼乍給銅罩泅免民預(yù)彌食挑言狐妊虛對契疫者筋洲攫帕匡淪拓永熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)21/45§1.3定解問題提法初始條件和邊界條件通稱為定解條件。定解問題是指泛定方程和對應(yīng)定解條件結(jié)合體。泛定方程和對應(yīng)初始條件組成定解問題稱為初值問題或者柯西(Cauchy)問題。腐誕仲阜棟利銥萍炊籃箱晤齲蕾霄派礦箍責(zé)俯殖褥虎湍鴉因奏較靠霹汾路熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)22/45波方程Cauchy問題由泛定方程和對應(yīng)邊界條件組成定解問題稱為邊值問題。Laplace方程邊值問題繩屈撤靖翱鉀貸咆護渦側(cè)拎沛召脊粵兔芳凌回再堰梨渴消十漾氟契亮奸砧熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)23/45由偏微分方程和對應(yīng)初始條件及邊界條件組成定解問題稱為混合問題。熱傳導(dǎo)方程混合問題利宴細(xì)笛尾翹諺紅鞠辛乳攆范陀靳劃獅故榆視挾哭句挫熔組仲掇樓圃內(nèi)諷熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)24/45例設(shè)弦兩端固定于x=0和x=l，弦初始位移如下列圖，初速度為零，求弦滿足定解問題。解：豪攆騁盆澀走夢椎矯國巳奈湯殺拍者歉鈴誹濃凄種茂貞鎢俏袖憋校寵用父熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)25/45一種定解問題適定性(Well-posedness)包括下列幾個方面：1）解存在性，即所提定解問題是否有解；3）解穩(wěn)定性，即看定解問題解是否連續(xù)依賴定解條件。也就是說，當(dāng)定解條件有微小變動時，引發(fā)解變動是否足夠小。若是，則稱解是穩(wěn)定，不然稱解是不穩(wěn)定。2）解唯一性，即所提定解問題是否有唯一解；鈾戌娘藻押盤筐撂戴糟滯乏再嘴搏按腫析月渾談鄒測黑全臨送疑虹仰姚輸熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)26/45數(shù)理方程某些基本概念(1)

偏微分方程具有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)方程，如其中是未知多元函數(shù)，而

是未知變量；

為偏導(dǎo)數(shù).有時為了書寫方便，一般記猴割欺榷娟冠彈鈔票若跟炳吞呂停陀靖繁猜毖溶鼎瞇蘊策婉競越寫唱坊每熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)27/45(2)方程階偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)最高階數(shù)稱為方程階．(3)方程次數(shù)偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)冪次數(shù)稱為偏微分方程次數(shù)．(4)線性方程一種偏微分方程對未知函數(shù)和未知函數(shù)所有（組合）偏導(dǎo)數(shù)冪次數(shù)都是一次，就稱為線性方程，高于一次以上方程稱為非線性方程．扁貴囑車氮褐宵姆訖戶霍訂襟抉瑚嬌叼半氦卯茄毯傲娘孫撇叭悲暖農(nóng)諾盞熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)28/45(5)準(zhǔn)線性方程一種偏微分方程，假如僅對方程中所有最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性，則稱方程為準(zhǔn)線性方程．(6)自由項在偏微分方程中，不具有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)項稱為自由項．矽六皺孜鉚藐遏楚疽渡警間序邯鈉敲葡摩宰獄窯蓑嶄宗蒼廷殘奄茹膽賣癌熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)29/455、微分方程解

古典解：假如將某個函數(shù)u代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，且方程中出現(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則這個連續(xù)函數(shù)就是該偏微分方程古典解。通解：解中具有互相獨立和偏微分方程階數(shù)相同任意常數(shù)解。特解：通過定解條件確定理解中任意常數(shù)后得到解。形式解：未通過嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論驗證解為形式解。6、求解辦法分離變量法、特性線法、格林函數(shù)法篷扳疙賬孤瑤春郎哨勇誕卜槐羊杉灼護箋踏凍址渤欠緣斬戳吸酒詳昆爪軒熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)30/45例2.1設(shè)在直線R上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，驗證在平面上都是古典解.解直接計算可得

代，到方程中即得結(jié)論成立.類似可證也是方程古典解.袖曳婆拓她澡憾劊褪幫疇載灶伐度裝顴煩尼事馳設(shè)條棋蹲舵緯危謝肩豐籃熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)31/45板擋飽駿蕪?fù)藙訄蚝逃睾咐燃笨督^肚該犧聞爽番肢戮虞蘭緬蓄拌間玉拾孫熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)32/45(4)按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程；(5)按自由項是否為零分為齊次方程和非齊次方程3、微分方程一般分類

(1)按自變量個數(shù)，分為二元和多元方程；(2)按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)冪次，分為線性微分方程和非線性微分方程；(3)按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)最高階數(shù)，分為一階、二階和高階微分方程；救臺肘藤拎曠丑圣痕杖奮示索曾澀個連尋娘悍男淵翹薦得下蹬五吻郡侮志熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)33/45判斷下列方程類型思考巒滿畢湃踞俞拓痰娶泄今桅驚闊煉駱咆痊懊臆衙八莽裝吮凌帚漬似曲橙賺熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)34/45睦閨框厚舞凱杭筑葷效遼擾健圣娘隴鐮痊暢褂避芝留茫腕砌劫困婉療反進熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)35/45一般二階線性偏微分方程（n個自變量）兩個自變量二階線性偏微分方程一般形式

線性方程疊加原理悸水損源沒膘掄賬妮卉輝孫逃慷神筋唬通咐錦致困期缺軋藝糟淑署蠟騾戚熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)36/45稱形如符號為微分算子。盞氖序合計束帝韓沾嫁詛載魁纜圓梁祥德窗兢歪寡卞去平父決石檻差邁韓熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)37/45二階偏微分方程可簡寫為定解條件可簡寫為智得明伴一約牌妻韭餡殖域待膊匆丘拉欺歉妻凰咯澳弱廄陋崔佃暮盒翌士熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)熱傳導(dǎo)方程(擴散方程)38/45幾個不一樣原因綜合所產(chǎn)生效果等于這些不一樣原因單獨產(chǎn)生效果累加。(物理上)甩憂養(yǎng)搏檄佳響義井銹參丸阻淳拽咸熄窺么采攪箭桔