定積分微元法講解市公開課一等獎課件省賽課獲獎課件

定積分微元分析法用定積分表達量U必須具有三個特性:一.能用定積分表達量所必須具有特性(3)部分量近似值可表達為則U對應地提成許多部分量;(1)U是與一種變量x變化區(qū)間[a,b]有關量;(2)U對于區(qū)間[a,b]具有可加性.即假如把區(qū)[a,b]提成許多部分區(qū)間,1/88根據問題詳細情況,選用一種變量(2)在區(qū)間[a,b]內任取一種小區(qū)間,求出對應于這個小區(qū)間部分量近似值.在處值與乘積,就把稱為量U微元且記作,即假如能近似地表達為[a,b]上一種連續(xù)函數(shù)例如x為積分變量,并確定其變化區(qū)間[a,b];二、用定積分表達量U基本步驟:2/88這個辦法一般叫做微元法．應用方向：平面圖形面積；體積；平面曲線弧長；功；水壓力；引力和平均值等．3/88曲邊梯形面積曲邊圖形面積一、直角坐標系情形微元法求面積4/88解兩曲線交點面積元素選為積分變量5/88解兩曲線交點選為積分變量6/88解橢圓參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．7/882a2

a0yx

ax=a(t–sint)y=a(1–

cost)擺線.第一拱與x軸所圍成圖形面積8/88二.極坐標情形1.曲邊扇形其中r()在[,]上連續(xù),且r()0.對應于[,+d]面積微元為則圖形面積為or=r()設圖形由曲線r=r()及射線=,=所圍成.取

為積分變量,其變化區(qū)間為[,],9/882.一般圖形及射線=,=所圍圖形面積微元為則面積為o由曲線10/88例4求阿基米德螺線r=a(a>0)上對應于從0到2一段弧與極軸所圍圖形面積.o解如圖,可視為=0,=2及r=a

圍成曲邊扇形.則其面積為11/88解利用對稱性知12/88解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積13/88NoM例求r=1與r=1+cos所圍公共面積.解如圖,曲線交點為由對稱性則而14/88一、平面曲線弧長概念微元法求曲線弧長15/88弧長元素弧長二、直角坐標情形16/88曲線弧為弧長三、參數(shù)方程情形17/88曲線弧為弧長四、極坐標情形18/88例求全弧長.解y=y(x)定義域為,故弧長為:19/88例求星形線弧長.解由對稱性及公式20/88例求阿基米德螺線r=a(a>0)上對應于從0到2一段弧長.解21/88一、平行截面面積為已知立體體積假如一種立體不是旋轉體，但卻懂得該立體上垂直于一定軸各個截面面積，那么，這個立體體積也可用定積分來計算.微元法求體積22/88abx設置體介于x=a,x=b之間,立體體積取x為積分變量,其變化范圍為[a,b].23/88解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積邊長分別為y和ytan.因此24/88解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積底邊長為2y,高為h.因此25/88

旋轉體就是由一種平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成立體．這直線叫做旋轉軸．圓柱圓錐圓臺二、旋轉體體積26/88yaby=f(x)oyaby=f(x)oy27/88則y圖1by=f(x)aoxx+dx28/88例求如圖直角三角形繞x軸旋轉而成圓錐體體積.解可求得過點O及P(h,r)直線方程為yoxP(h,r)29/88例求星形線繞x軸旋轉而成立體體積解由對稱性及公式aaxy30/8831/88例求圓心在(b,0),半徑為a(b>a)圓繞y軸旋轉而成環(huán)狀體體積.yxoba解圓方程為,則所求體積可視為曲邊梯形繞y軸旋轉而成旋轉體體積之差.分別與直線y=-a,y=a及y軸所圍成則32/88例證明：由平面圖形繞軸旋轉所成旋轉體體積為即為圓柱薄殼當dx很小時,此小柱體高看作f(x)，以此柱殼體積作為體積元素，柱殼法——就是把旋轉體當作是以y軸為中心軸一系列圓柱形薄殼組成，33/88在區(qū)間上柱殼體體積元素為34/88例求圓心在(b,0),半徑為a(b>a)圓繞y軸旋轉而成環(huán)狀體體積.yxoba解圓方程為則35/88第三節(jié)定積分物理應用一.變力沿直線作功若物體在常力F作用下沿F方向移動s距離,由x=a移到x=b,可用微元法處理做功問題.dW=F(x)dx則F(x)ab則W=Fs若物體在變力F(x)作用下沿力方向取x為積分變量,變化區(qū)間為[a,b].對應于任意小區(qū)間[x,x+dx]功微元x+dxx36/88解功微元所求功為37/88例2設9.8牛頓力能使彈簧伸長1厘米,解由公式(焦耳)求伸長10厘米需作多少功?因此k=980.F=9.8牛頓,而x=0.01米時,已知F=kx,F=980x.38/88分析：將鏈條拉上來所作功,即變力沿直線作功.書361頁例六x+dxxo28x39/88解將水桶從井里提上來所作功為將繩子從井里提上來所作功,則所作總功為o20x+dx即變力沿直線作功為例一桶水重10kg,由一條線密度0.1kg/m繩子系著,將它從20m深井里提上來需作多少功?x40/88例在直徑為，高為圓柱形氣缸內Pa氣體.若要將氣體體積充滿了壓強為壓縮到本來二分之一，問需作功多少？壓縮至處氣體壓強

斷面受氣體壓力41/88點擊圖片任意處播放\暫停解建立坐標系如圖構想將水提成許多薄層,吸出各層水所作功總和即為所求.42/88這一薄層水重力為功微元為(千焦)．43/88例4形如圓臺水桶內盛滿了水(如圖),問將所有水吸出需作多少功?0yx13(3,2)解構想將水提成許多薄層,吸出各層水所作功總和即為所求.取x為積分變量,變化區(qū)間為[0,3].對應于任意小區(qū)間[x,x+dx]薄層水近似于圓柱,吸出這層水位移近似于x.44/88則因此功微元45/88二、液體對側面壓力46/88取x為積分變量,變化區(qū)間為[a,b].aby=f(x)xx+dx近似于水深x處水平放置長方形窄條所受壓力.對應于[x,x+dx]窄條所受到壓力以如圖曲邊梯形為例:oyx則壓力微元為dP=因此整個平板所受壓力為47/88解建立坐標系如圖面積微元48/88例4一種橫放半徑為R圓柱形油桶內有半桶油,求一種端面所受壓力.解由對稱性yox49/88三、引力50/88例6設有質量為M,長度為l均勻細桿,任意小段[x,x+dx]近似于質點,且質量為則引力微元為oxal另有一質量為m質點位于同始終線上,且到桿近段距離為a,求桿對質點引力.解:取x為積分變量,變化區(qū)間為[0,l],xx+dx51/88則引力為52/88解建立坐標系如圖將典型小段近似當作質點小段質量為小段與質點距離為引力微元53/88水平方向分力微元由對稱性知，引力在鉛直方向分力為54/88(1)變力所作功(2)水壓力55/88(3)引力56/88第五節(jié)廣義積分1.無窮區(qū)間上廣義積分2.無界函數(shù)廣義積分3.小結57/88OxyOxy1258/88一、無窮限廣義積分59/8860/88例1計算廣義積分解61/88無窮限積分牛頓-萊布尼茲公式62/88性質：且當它們同步收斂時有63/88例264/88證65/88例4計算廣義積分解66/8867/88無窮限積分分部積分公式注意：僅僅是收斂充足條件68/88例569/88無窮限積分第二類換元公式70/88二、無界函數(shù)廣義積分71/8872/8873/88例1計算廣義積分解74/88