二次函數(shù)講義

二次函數(shù)講義§2.1二次函數(shù)的關系描述2.知識點總結：二次函數(shù)的定義是：一般地，如果y=ax^2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y就是x的二次函數(shù)。二次函數(shù)具備三個條件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一個自變量的二次式；（3）二次項系數(shù)不為0。典型例題：例1：如果函數(shù)y=(m+2)x^2-2mx+1是二次函數(shù)，則m=（m≠-2）。例2：下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有（）。①y=x+1②y=3(x-1)^2+2③y=(x+3)-2x^2④y=2x/(x+1)A.1個B.2個C.3個D.4個例3：某商場將進價為40元的某種服裝按50元售出時，每天可以售出300套。據(jù)市場調查發(fā)現(xiàn)，這種服裝每提高1元售價，銷量就減少5套。如果商場將售價定為x，請你得出每天銷售利潤y與售價的函數(shù)表達式。例4：如圖，正方形ABCD的邊長為4，P是BC邊上一點，QP⊥AP交DC于Q，如果BP=x，△ADQ的面積為y，用含x的代數(shù)式表示y。訓練題：1.已知函數(shù)y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)），當a≠0時，它是二次函數(shù)；當a，b時，它是一次函數(shù)；當a，b，c時，它是正比例函數(shù)。2.當m時，y=(m-2)x^2+2/(m^2-2)是二次函數(shù)。3.已知菱形的一條對角線長為a，另一條對角線為它的3倍，用表達式表示出菱形的面積S與對角線a的關系。4.在物理學內(nèi)容中，如果某一物體質量為m，它運動時的能量E與它的運動速度v之間的關系是E=mv^2（m為定值）。（1）若物體質量為1，填表表示物體在v取下列值時，E的取值：v12345678E（2）若物體的運動速度變?yōu)樵瓉淼?倍，則它運動時的能量E擴大為原來的多少倍？5.請你分別給a，b，c一個值，讓y=ax^2+bx+c為二次函數(shù)，且讓一次函數(shù)y=ax+b的圖像經(jīng)過一、二、三象限。6.下列不是二次函數(shù)的是（）A.y=3x+4B.y=-x^2C.y=(x-2)/(x^2-5)D.y=(x+1)/37.函數(shù)y=(m-n)x^2+mx+n是二次函數(shù)的條件是（）A.m、n為常數(shù)，且m≠nB.m、n為常數(shù)，且m≠0C.m、n為常數(shù)，且n≠0D.m、n可以為任何常數(shù)。8.如圖，校園要建苗圃，其形狀如直角梯形，有兩邊借用夾角為135°的兩面墻，另外兩邊是總長為30米的鐵柵。1.求梯形的面積與高的表達式，以及高的取值范圍。2.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm。點P從點A開始沿AB方向向點B以1cm/s的速度移動，同時，點Q從點B開始沿BC邊向C以2cm/s的速度移動。如果P、Q兩點分別到達B、C兩點停止移動，設運動開始后第t秒鐘時，五邊形APQCD的面積為S(cm^2)，寫出S與t的函數(shù)表達式，并指出自變量t的取值范圍。3.已知：在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8。點D在斜邊AB上，分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，得四邊形DECF。設DE=x，DF=y。（1）求AE用含y的代數(shù)式表示為：AE=？（2）求y與x之間的函數(shù)表達式，并求出x的取值范圍。（3）設四邊形DECF的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達式。4.拋物線的“三步取”作圖方法包括列表、描點和連線。需要注意以拋物線的頂點為中心取值，對稱取值，觀察圖像確定拋物線的開口方向和對稱軸。5.練習題：（1）求出函數(shù)y=x^2的頂點坐標，若點（a，4）在其圖像上，則a的值是多少？（2）若點A（3，m）是拋物線y=-x^2上的一點，則m=多少？（3）函數(shù)y=x^2與y=-x^2的圖像關于對稱，也可以認為y=-x^2是函數(shù)y=x^2的圖像繞旋轉得到。二次函數(shù)的圖象和性質，包括y=ax和y=ax+c，是研究二次函數(shù)y=ax+bx+c的基礎。在學習過程中，我們結合圖象從開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大（小）值、函數(shù)的增減性等方面進行記憶和分析。學習難點在于如何通過函數(shù)圖象概括出y=ax和y=ax+c的性質。函數(shù)圖象的繪制需要通過列表、描點和連線三個步驟完成。我們可以根據(jù)函數(shù)圖象來聯(lián)想函數(shù)的性質，并通過性質來分析函數(shù)圖象的形狀和位置。剎車距離與二次函數(shù)的關系也是學習的重點。在復習二次函數(shù)y=x^2和y=-x^2的性質后，引入了汽車剎車距離與速度的公式，分別繪制了晴天和雨天的函數(shù)圖象。在動手操作和探究中，我們繪制了y=2x^2和y=2x^2+1、y=3x^2和y=3x^2-1的函數(shù)圖象，并比較它們的性質得出結論。最后，在典型例題中，我們求解了開口向下的拋物線y=(m+1)x^2的m值，以及直線y=-2x+3與拋物線y=ax^2的交點和拋物線的對稱軸和頂點坐標。同時，我們還解決了如何計算一個拋物線形大門的高度h的問題。訓練題中給出了一個開口向下的拋物線y=-4x^2-4，要求求出當x=時的y值。2.當$m=0$時，$y=0$；當$m=-\frac{1}{2}$時，$y$有最小值$-\frac{3}{4}$；當$m=1$時，$y$有最大值$-\frac{3}{2}$。$y=-3mx^2-3x$是關于$x$的二次函數(shù)。3.拋物線$y=-3x^2$上兩點$A\left(x,-27\right)$，$B\left(2,-12\right)$，則$x=\pm\sqrt{3}$，$y=-27$。4.當$m=-2$時，拋物線$y=-\frac{1}{3}x^2+9$開口向下，對稱軸是$y=0$。在對稱軸左側，$y$隨$x$的增大而增大；在對稱軸右側，$y$隨$x$的增大而減小。5.拋物線$y=3x^2$與直線$y=kx+3$的交點為$\left(2,15\right)$，則$k=3$，$b=15$。6.已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為$y$軸，且經(jīng)過點$\left(-1,-2\right)$，則拋物線的表達式為$y=-x^2$。7.在同一坐標系中，圖象與$y=2x^2$的圖象關于$x$軸對稱的是$\textbf{(C)}$$y=-2x^2$。8.拋物線$y=-2x^2$的圖象開口向下，開口最大。10.二次函數(shù)$y=ax^2$與一次函數(shù)$y=ax+a$在同一坐標系中的圖象大致為一條開口向上的拋物線和一條直線，兩者的交點為原點。11.已知函數(shù)$y=ax^2$的圖象與直線$y=-x+4$在第一象限內(nèi)的交點和它與直線$y=x$在第一象限內(nèi)的交點相同，則$a=1$。13.$\triangleAOC$的面積為$\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=6$，二次函數(shù)圖象頂點與點$A$、$B$組成的三角形的面積為$\frac{1}{2}\cdot3\cdot\left(3-\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}$。14.（1）拋物線的表達式為$y=-\frac{1}{30}\left(x-10\right)^2+6$；（2）水位從警戒線到拱橋頂?shù)母叨葹?6-3=3$米，所需時間為$\frac{3}{2}=1.5$小時。15.見下圖。<center>\begin{tikzpicture}[scale=0.5]\draw[thick,->](-3,0)--(13,0)node[right]{$x$};\draw[thick,->](0,-1)--(0,13)node[above]{$y$};\draw[domain=-2.5:10.5,smooth,variable=\x,blue]plot({\x},{0.06*\x*\x+6});\draw[fill=black](0,6)circle(0.2)node[left]{$A$};\draw[fill=black](10,6)circle(0.2)node[right]{$B$};\draw[fill=black](5,9.25)circle(0.2)node[aboveright]{$C$};\draw[dashed](0,6)--(5,6)--(5,9.25)--(0,9.25);\draw[dashed](10,6)--(5,6);\draw[dashed](5,0)--(5,6);\draw[dashed](0,9.25)--(5,9.25);\draw[<->](0,-0.5)--(10,-0.5)node[midway,below]{$20$};\draw[<->](0,-1)--(5,-1)node[midway,below]{$10$};\draw[<->](5,-0.5)--(10,-0.5)node[midway,below]{$10$};\draw[<->](5,6.5)--(10,6.5)node[midway,above]{$5$};\draw[<->](5,9.75)--(10,9.75)node[midway,above]{$5$};\end{tikzpicture}</center>（1）拋物線的表達式為$y=0.06x^2+6$；（2）$\triangleAOC$的面積為$\frac{1}{2}\cdot5\cdot6=15$，二次函數(shù)圖象頂點與點$A$、$B$組成的三角形的面積為$\frac{1}{2}\cdot10\cdot6=30$，所求面積為$30-15=15$。1、在給定的直角坐標系中，畫出拋物線的圖像并求出其解析式；2、求支撐EF的長度；3、拱橋下的地面是一條雙向行車道（中間有一條寬2m的隔離帶），其中一條行車道是否能夠同時容納寬度為2m、高度為3m的三輛汽車并排行駛（忽略汽車之間的間隔）？請說明理由。知識點總結：1.求解拋物線的頂點和對稱軸的方法：（1）公式法：y=ax2+bx+c，頂點為（-b/2a，c-b2/4a），對稱軸為x=-b/2a；（2）配方法：將拋物線的解析式化為y=a(x-h)2+k的形式，頂點為（h，k），對稱軸為x=h；（3）拋物線的對稱性：拋物線在對稱軸上的點關于對稱軸對稱，對稱軸的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點即為頂點。2.二次函數(shù)的圖像和性質：（1）二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖像是一條拋物線，頂點為原點，對稱軸為y軸；（2）當a>0時，拋物線開口向上，頂點為最低點；（3）當a<0時，拋物線開口向下，頂點為最高點；（4）a越小，拋物線開口越大。3.圖像的平移：將二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖像進行平移，可得到y(tǒng)=ax2+c，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的圖像。根據(jù)上述知識點，我們可以對文章進行改寫和修正。例10、某玩具廠計劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出。已知生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本為R（元），每只售價為P（元），且R，P與x的表達式分別為R=500+30x，P=170-2x。(1)當日產(chǎn)量為多少時，每日獲利為1750元？解：每日獲利為收入-成本，即P*x-R*x=1750。代入P和R的表達式，得到-2x^2+140x-500=1750，化簡得到x^2-70x+625=0，解得x=5或x=65。因為每日最高產(chǎn)量為40只，所以實際產(chǎn)量為5只時才能獲得每日獲利1750元。(2)當日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？解：每日利潤為收入-成本，即P*x-R*x。代入P和R的表達式，得到利潤函數(shù)L(x)=-2x^2+140x-500。求導得到L'(x)=-4x+140，令L'(x)=0解得x=35，因為每日最高產(chǎn)量為40只，所以實際產(chǎn)量為35只時才能獲得最大利潤。此時最大利潤為L(35)=2450元。訓練題：1.拋物線y=-2x^2+6x-1的頂點坐標為(1.5,1.25)，對稱軸為x=1.5。2.如圖，若a<-1，b>0，c<-1，則拋物線y=ax^2+bx+c的大致圖象為下凹的拋物線，并且頂點在y軸左側。3.已知二次函數(shù)y=x^2-x+6，當x=0.5時，y最小=5.875；當x增大時，y隨之減小。4.拋物線y=2(x+1)^2-3向左平移1個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線表達式為y=2(x-1)^2。5.二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象如圖所示，則ac<0。6.已知點(-1,y1)、(-3,y2)、(2,y3)在函數(shù)y=3x^2+6x+12的圖象上，則y1>y2>y3。7.二次函數(shù)y=-x^2+2x-3的圖象的最高點是(-1,-4)，則b=2，c=-4。8.如圖，坐標系中拋物線是函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象，則正確的是b<a+c。9.函數(shù)y=ax^2+bx+c和y=ax+b在同一坐標系中，如圖所示，則正確的是a>0，b<0，c=0。10.已知拋物線y=ax^2+bx+c經(jīng)過點A(4,2)和B(5,7)，且過點C(0,3)。(1)求拋物線的表達式；解：由過點A和B可得到兩個方程2=16a+4b+c，7=25a+5b+c。由過點C可得到另一個方程3=c。將這三個方程聯(lián)立解得a=1，b=-7，c=3，所以拋物線的表達式為y=x^2-7x+3。(2)用描點法畫出這條拋物線。解：將x從-2到8均勻取11個值，代入拋物線的表達式得到對應的y值，然后將這些點用平滑的曲線連接起來，即可得到拋物線的圖象。12.已知矩形的長大于寬的2倍，周長為12。從它的一個點作一條射線將矩形分成一個三角形和一個梯形，且這條射線與矩形一邊所成的角的正切值等于1/2。設梯形的面積為S，梯形中較短的底的長為x。求梯形面積關于x的函數(shù)表達式，并指出自變量x的取值范圍。13.某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品。據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單位每漲1元，月銷售量就減少10千克。針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請解答以下問題：（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。（2）設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的函數(shù)表達式。（3）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？14.如圖2-4-24，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，點D在BC上運動（不運動至B、C），DE∥CA，交AB于E。設BD=x，△ADE的面積為y。（1）求y關于x的函數(shù)表達式及自變量x的取值范圍。（2）△ADE的面積何時最大，最大面積是多少？（3）求當tan∠ECA=4時，△ADE的面積。15.已知：如圖2-4-25，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm。若△A′B′C′與△ABC完全重合，令△ABC固定不動，將△A′B′C′沿CB所在的直線向左以1cm/s的速度移動。設移動x秒后，△A′B′C′與△ABC的重疊部分的面積為y平方厘米。求：（1）y與x之間的函數(shù)關系；（2）幾秒鐘后兩個三角形重疊部分的面積等于8平方厘米？§2.5用三種方式表示二次函數(shù)知識點歸納：一、二次函數(shù)的三種表示方法：1、解析法（用函數(shù)表達式表示）、2、表格法3、圖像法表示方法優(yōu)點缺點解析法變量關系簡捷明了，便于分析計算需要通過計算，才能得到所需結果表格法能直接得到某些具體的對應值不能反映函數(shù)整體的變化情況，函數(shù)值只能是近似值圖像法直觀表示了變量間變化過程和變化趨勢表達式是基礎，是重點，表格是畫圖像的關鍵，圖像是在表達式和表格的基礎上對函數(shù)總體的概括和形象化的表達二、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式。認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？要求找到最大值，可以對純收益求導數(shù)，令導數(shù)為0，求得最大值對應的時間。假設市場售價為$p$，種植成本為$c$，時間為$t$，則純收益為$y=p*t-c*t$。對$y$求導數(shù)，得到導數(shù)為$p-c$，令導數(shù)為0，解得$p=c$。因此，當市場售價等于種植成本時，純收益最大。為了求出何時上市的西紅柿純收益最大，我們可以認定市場售價減去種植成本為純收益，然后對純收益求導數(shù)，令導數(shù)為0，求得最大值對應的時間。假設市場售價為$p$，種植成本為$c$，時間為$t$，則純收益為$y=p*t-c*t$。對$y$求導數(shù)，得到導數(shù)為$p-c$，令導數(shù)為0，解得$p=c$。因此，當市場售價等于種植成本時，純收益最大。某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程。下圖是該公司年初以來累積利潤S（萬元）與銷售時間t（月）之間的關系。（1）已知三個點的坐標，求累積利潤S（萬元）與時間t（月）之間的函數(shù)表達式。（2）求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元。（3）求第8個月公司所獲利潤是多少萬元。對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)，若自變量為任意實數(shù)，則取最值情況為：（1）當a>0,x=-b/2a時，y的最小值為-b^2/4a+c。（2）當a<0,x=-b/2a時，y的最大值為-b^2/4a+c。若自變量x的取值范圍為α≤x≤β(α≠β)，則取最值分a>0和a<0兩種情況，由α、β與-b/2a的大小關系確定。1.對于a>0：當α≤-b/2a≤β，因為對稱軸左側y隨x的增大而減小，所以y的最大值為y(α)，最小值為y(β)。這里y(α)、y(β)分別是y在x=α與x=β時的函數(shù)值。當-≤α≤β，因為對稱軸右側y隨x的增大而增大，所以y的最大值為y(β)，最小值為y(α)。2.對于a<0：當α<β≤-b/2a，y的最大值為y(β)，最小值為y(α)。當-≤α≤β，y的最大值為y(α)，最小值為y(β)。綜上所述，求函數(shù)的最大、最小值，需比較三個函數(shù)值：y(α)、y(β)、y(-b/2a)。（1）若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）每件襯衫降低多少元時，商場平均每天盈利最多？3、能圍成面積比45平方米更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由。答：能圍成面積比45平方米更大的花圃。圍法是將花圃圍成一個正方形，面積為56.25平方米。因為正方形的面積最大，且4條邊相等，所以圍成正方形時面積最大。7、某通訊器材公司銷售一種市場需求較大的新型通訊產(chǎn)品，已知每件產(chǎn)品的進價40元，每年銷售該產(chǎn)品的總開支（不含進價）總計120萬元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關系。（1）求y關于x的函數(shù)關系式；（2）試寫出該公司銷售該種產(chǎn)品的年獲利z（萬元）關于銷售單價x（元）的函數(shù)關系式（年獲利=年銷售額-年銷售產(chǎn)品總進價-年總開支），當銷售單價x為何值時，年獲利最大？并求這個最大值；（3）若公司希望這種產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于40萬元，借助（2）中函數(shù)的圖像，請你幫助該公司確定銷售單價的范圍，在此情況下，要使產(chǎn)品銷售量最大你認為銷售單價應定為多少元？答：（1）y=50-2x（2）z=（50-2x）x-40（萬）當銷售單價x為25元時，年獲利最大，最大值為285（萬元）。（3）根據(jù)函數(shù)式z=（50-2x）x-40（萬），當銷售單價x較高時，年獲利較高；當銷售單價x較低時，年獲利較低。要使銷售獲利不低于40萬元，可列出不等式50x-2x^2-40≥40，化簡得x^2-25x+20≤0，解得5≤x≤20。在此情況下，為使產(chǎn)品銷售量最大，銷售單價應定為20元。8、如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x。已知AB=6，CD=3，AD=4。求（1）四邊形CGEF的面積S關于x的函數(shù)表達式和x的取值范圍。（2）當x取何值時，四邊形CGEF的面積S取得最小值。答：（1）由相似三角形可得：CE/CG=AE/AD=x/4，EF/CG=BF/AB=x/6。因此，CE=x^2/16，EF=x^2/36，CG=4+x，GF=6-x。由此可得四邊形CGEF的面積S=x^2/16+(10/3)x-4/3。x的取值范圍為0<x<3。（2）當x=2時，四邊形CGEF的面積S取得最小值，最小值為32/9。9、已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，得四邊形DECF，設DE=x，DF=y。(1)用含y的代數(shù)式表示AE。(2)求y與x之間的函數(shù)關系式，并求出x的取值范圍。(3)設四邊形DECF的面積為S，求出S的最大值。答：（1）由相似三角形可得：AE/AC=DF/BC=y/4，因此AE=2y。（2）由勾股定理可得：AB=√(AC^2-BC^2)=√48=4√3。又因為DE/AC=x/8，DF/BC=y/4，所以DE/DF=x/y=2，DE/AB=x/4√3，DF/AB=y/4√3。由此可得，x=2y，y/4√3=(4-x)/4，解得y=(16-2√3)x/(4+√3)，x的取值范圍為0<x<4。（3）四邊形DECF的面積S=1/2*DE*DF=(8-√3)x^2/(4+√3)。當x=4時，四邊形DECF的面積S取得最大值，最大值為16(2-√3)。沒有交點等價于拋物線與x軸相離。對于一次函數(shù)y=kx+n和二次函數(shù)y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖像l和G的交點，可以通過解方程組2個方程來確定交點的數(shù)量：①當方程組有兩組不同的解時，l與G有兩個交點；②當方程組只有一組解時，l與G只有一個交點；③當方程組無解時，l與G沒有交點。典型例題：例1、已知二次函數(shù)y=kx－7x－7的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍為多少？例2、拋物線y=ax^2+bx+c與x軸交于點A（-3,0），對稱軸為x=-1，頂點C到x軸的距離為2，求此拋物線的表達式。例3、有一個二次函數(shù)的圖像，三位學生分別說出了它的一些特點：甲：對稱軸是直線x=4；乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù)；丙：與y軸交點的縱坐標也是整數(shù)，且以這三點為頂點的三角形面積為3。請寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)表達式。例4、求下列二次函數(shù)的圖像與x軸交點坐標，并作草圖驗證。訓練題：1.拋物線y=a(x-2)(x