恰當(dāng)方程與積分因子市公開課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

§2.3恰當(dāng)方程與積分因子

/ExactODEandIntegratingFactor/11/49內(nèi)容提綱/ContentsAbstract/積分因子本節(jié)要求/Requirements/

純熟掌握恰當(dāng)方程求解辦法

會(huì)用積分因子辦法求解非恰當(dāng)方程

§2.3ExactODEandIntegratingFactor22/49一、恰當(dāng)方程/ExactODE/特點(diǎn)：x，y處于同等地位，若視x為自變量，則y就是x函數(shù)；若視y為自變量，則x就是y函數(shù)。方程(2.3.1)稱為對(duì)稱形式方程。

§2.3ExactODEandIntegratingFactor33/49假如存在某一二元函數(shù)使得則方程（2.3.1）稱為恰當(dāng)方程（或全微分方程）。

稱u(x,y)為一種原函數(shù)。

§2.3ExactODEandIntegratingFactor44/49恰當(dāng)方程舉例55/49方程可寫成假如為恰當(dāng)方程則方程通解為u(x,y)=C其中C是任意常數(shù)。

§2.3ExactODEandIntegratingFactor66/49上式兩邊微分，77/49方程通解為

如

§2.3ExactODEandIntegratingFactor88/49方程各項(xiàng)通過重新組合后，能夠看出它是恰當(dāng)方程，

解通解為例

求解恰當(dāng)方程關(guān)鍵就是求原函數(shù)問題。

§2.3ExactODEandIntegratingFactor99/49問題如何判斷方程（2.3.1）是否為恰當(dāng)方程？假如方程（2.3.1）是恰當(dāng)方程，如何求滿足條件（2.3.2）函數(shù)u(x,y)，即方程（2.3.1）左端微分式原函數(shù)？

§2.3ExactODEandIntegratingFactor1010/49假設(shè)函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)連續(xù)可微，定理則方程（2.3.1）是恰當(dāng)方程充足必要條件是:此時(shí)，方程（2.3.1）通解為:（2.3.3）或(2.3.4)其中C是任意常數(shù)。

§2.3ExactODEandIntegratingFactor1111/49證明

必要條件即證（2.3.1）為恰當(dāng)方程時(shí)，有成立。若（2.3.1）是恰當(dāng)方程，則存在某一二元函數(shù)u(x,y)，使由條件知故

§2.3ExactODEandIntegratingFactor1212/49充足條件

即證若時(shí)，（2.3.1）是恰當(dāng)方程，即要找到一種二元函數(shù)u(x,y），使u(x,y）滿足下列方程組下列推證滿足上方程組u(x,y）一定存在。

§2.3ExactODEandIntegratingFactor1313/49從到x對(duì)方程組第一式進(jìn)行積分即

§2.3ExactODEandIntegratingFactor1414/49這就是所求方程（2.3.1）左端微分式一種原函數(shù)。故（2.3.1）通解為:如從方程組第二式出發(fā)，推證，還可得:

證畢注意：求解時(shí)，選擇要盡也許簡單，且使M,N故意義。

§2.3ExactODEandIntegratingFactor1515/49解1有故此方程為恰當(dāng)方程，由（2.3.3）式，得出通解為即例1

§2.3ExactODEandIntegratingFactor1616/49例1:求方程解2:記于是方程是恰當(dāng)方程。1717/49為確定中得到積分其中C為任意常數(shù).代入因此通解為將代入到等式1818/49

一般地說,在判斷方程為恰當(dāng)方程后，按照上面步驟求解是比較麻煩。在實(shí)際求解中，往往不采取這種直接積分辦法，而是采取所謂“分項(xiàng)組合”辦法。即先把那些本身已組成全微分項(xiàng)分出來，再把剩下項(xiàng)湊成全微分。但利用這種辦法需要熟記某些常用二元函數(shù)全微分公式。1919/49要熟記湊微分2020/49解3原方程可改寫為:故

§2.3ExactODEandIntegratingFactor2121/49例2：求方程解：記因此這是一種恰當(dāng)方程?，F(xiàn)用“分項(xiàng)組合”辦法來求方程通解。

通解。。由于2222/49為此把方程各項(xiàng)重新組合，寫成即或?qū)懗捎谑?，方程通解?/p>

這里C是任意常數(shù)。2323/49解

故為恰當(dāng)（全微分）方程。根據(jù)（2.3.4）式，（選用例3

通解為

§2.3ExactODEandIntegratingFactor2424/49二、積分因子/IntegratingFactor/問題：如何將非恰當(dāng)方程化為恰當(dāng)方程？

§2.3ExactODEandIntegratingFactor2525/491積分因子意義假如存在非零連續(xù)可微函數(shù)，使得為恰當(dāng)方程，則稱是方程（2.3.5）一種積分因子。此時(shí)，則是方程（2.3.5）通解。思考：求解非恰當(dāng)方程關(guān)鍵是求積分因子！

§2.3ExactODEandIntegratingFactor2626/49例如（i）可分離變量方程：不一定是恰當(dāng)方程，不過方程兩端乘以得到恰當(dāng)方程。因此，是可分離變量方程積分因子。（ii）方程有如下積分因子：等等。

§2.3ExactODEandIntegratingFactor2727/49這是由于：結(jié)論一種非恰當(dāng)方程積分因子有沒有窮多種！問題如何尋找積分因子?

§2.3ExactODEandIntegratingFactor2828/492謀求積分因子辦法

（1）觀測法：例1解方程解利用已知或熟悉微分式原函數(shù)求積分因子。

§2.3ExactODEandIntegratingFactor2929/49解將方程改寫為由此看出是積分因子，于是方程化為：故方程通解為例2解方程

§2.3ExactODEandIntegratingFactor3030/49（2）公式法若是方程積分因子則有即（2.58）利用積分因子滿足微分方程來求積分因子。恰當(dāng)方程反過來，滿足(2.58)函數(shù)一定是方程積分因子。若是方程積分因子充要條件滿足（2.58）

§2.3ExactODEandIntegratingFactor3131/49結(jié)論1：若有只與x有關(guān)積分因子充要條件是此時(shí)，這是由于反過來，可證滿足(2.58)，即有只與x

有關(guān)積分因子。（2.58）

§2.3ExactODEandIntegratingFactor3232/493333/493434/493535/493636/49例3試用積分因子法求解線性方程解是非恰當(dāng)方程。

§2.3ExactODEandIntegratingFactor3737/49

§2.3ExactODEandIntegratingFactor3838/49（3）分組組合法尋去合適和使得則原方程積分因子

§2.3ExactODEandIntegratingFactor3939/49

例4解方程解不是恰當(dāng)方程

§2.3ExactODEandIntegratingFactor4040/49

§2.3ExactODEandIntegratingFactor4141/49通解。解：這里方程不是恰當(dāng)方程。例5：求方程4242/49辦法1：由于或?qū)懗梢蚨?，方程通解為這里C為任意常數(shù)。有關(guān)積分因子且可取只與有關(guān)，故方程存在只與用乘方程兩邊，得到4343/49辦法2：將方程寫成容易懂得，上面方程左端有積分因子或由此得到因此，方程通解為但考慮到右端只與有關(guān)，故可取為方程積分因子。這里C為任意常數(shù)。4444/49辦法3：方程能夠改寫為這是齊次方程。令即方程通解為變量回代補(bǔ)充，代入得到???4545/49辦法4：把同樣可求得方程通解為方程變?yōu)榫€性方程看作自變量，看作未知函數(shù)，4646/49到此為止，我們已經(jīng)介紹了變量可分離、齊次、一