新141單位圓與任意角的正弦函數(shù)余弦函數(shù)定義課件

§4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的概念及其性質單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義必備知識·自主學習1.單位圓在直角坐標系中,以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓,稱為單位圓.導思

1.正弦、余弦函數(shù)的自變量、函數(shù)值分別是什么?2.正弦、余弦函數(shù)的函數(shù)值如何計算?2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義(1)定義:如圖,在直角坐標系中,給定單位圓,對于任意角α,使角α的頂點與原點重合,始邊與x軸正半軸重合,終邊與單位圓交于點P(u,v),那么點P的縱坐標v是角α的正弦函數(shù)值,記作v=______;點P的橫坐標u是角α的余弦函數(shù)值,記作u=______.

sinαcosα(2)對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義的理解①定義中,α是一個任意角,同時它也可以是一個實數(shù)(弧度數(shù)).②角α的終邊與單位圓O交于點P(u,v),實際上給出了兩個對應關系,即實數(shù)α(弧度)對應于點P的縱坐標v正弦實數(shù)α(弧度)對應于點P的橫坐標u余弦③三角函數(shù)可以看成以實數(shù)為自變量,以單位圓上的點的坐標為函數(shù)值的函數(shù).角與實數(shù)是一對一的.角和實數(shù)與三角函數(shù)值之間是多對一的,如下圖.④sinα是一個整體,不是sin與α的乘積,單獨的“sin〞“cos〞是沒有意義的.3.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義的拓展任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義,實際上,我們可以把定義進一步拓展,通過角的終邊上任意一點的坐標來定義正弦、余弦函數(shù).設α是一個任意角,α的終邊上任意一點P的坐標是(x,y),它與原點的距離是r(r=>0),如圖那么,比值叫作α的正弦,記作sinα,即sinα=;比值叫作α的余弦,記作cosα,即cosα=.4.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域和值域正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的定義域為全體實數(shù),值域為[-1,1].【思考】對于任意角α,sinα,cosα都有意義嗎?提示:由三角函數(shù)的定義可知,對于任意角α,sinα,cosα都有意義.【根底小測】1.辨析記憶(對的打“√〞,錯的打“×〞)(1)假設sinα>0,那么角α的終邊在第一或第二象限. ()(2)假設sinα=sinβ,那么α=β. ()提示:(1)×.因為sinα>0,所以角α的終邊還有可能在y軸的正半軸上.(2)×.正弦值相等,但兩角不一定相等,如sin60°=sin120°,但60°≠120°2.假設角α的終邊與單位圓相交于點,那么sinα的值為 ()A.B.-C.D.-【解析】選B.利用任意角三角函數(shù)的定義可知,點到原點的距離為1,那么sinα==.3.(教材二次開發(fā):練習改編)P(3,4)是α終邊上一點,那么sinα等于 ()A. B. C. D.【解析】選C.因為r==5,所以sinα=關鍵能力·合作學習類型一利用正、余弦函數(shù)的定義求值(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)【題組訓練】1.設角α的終邊上有一點P(4,-3),那么2sinα+cosα的值是 ()A.- B.C.-或 2.P(-2,y)是角α終邊上一點,且sinα=-,那么cosα=______.

3.角α的終邊落在射線y=2x(x≥0)上,求sinα,cosα的值.【解析】1.選A.由三角函數(shù)的定義可知sinα==-,cosα==,所以2sinα+cosα=2×+=-.2.因為r=,所以sinα===-.所以y<0,所以y=-1,r=,所以cosα===-.答案:-3.方法一:設射線y=2x(x≥0)與單位圓的交點為P(x0,y0),那么解得即P,所以sinα=y0=,cosα=x0=.方法二:設點P(a,2a)是角α終邊上任意一點,其中a>0.因為r=|OP|==a(O為坐標原點),所以sinα===,cosα===.【解題策略】

求任意角的三角函數(shù)值的兩種方法方法一:根據(jù)定義,尋求角的終邊與單位圓的交點P的坐標,然后利用定義得出該角的正弦、余弦值.方法二:第一步,取點:在角α的終邊上任取一點P(x,y)(P與原點O不重合);第二步,計算r:r=|OP|=(r>0);第三步,求值:由sinα=,cosα=求值.類型二單位圓中的角(直觀想象)【典例】在直角坐標系的單位圓中,α=π.(1)畫出角α;(2)求出角α的終邊與單位圓的交點坐標;(3)求出角α的正弦函數(shù)值.【思路導引】(1)利用終邊相同的角找到α的終邊;(2)利用直角三角形中的邊角關系求交點坐標;(3)利用三角函數(shù)定義求正弦函數(shù)值.【解析】(1)因為α=π=2π+π,所以角α的終邊與π的終邊相同.以原點為角的頂點,以x軸非負半軸為角的始邊,逆時針旋轉π,與單位圓交于點P,那么角α如下圖.(2)因為α=π,所以點P在第二象限,由(1)知∠AOP=過點P作PM⊥x軸于點M.那么在Rt△OMP中,∠OMP=,∠MOP=,OP=1,由直角三角形的邊角關系,得OM=,MP=,所以得點P的坐標為.(3)根據(jù)正弦函數(shù)的定義有sin=.【解題策略】(1)先將角α表示為α=β+2kπ(-π<β≤π,k∈Z)的形式,那么角β的終邊即為角α的終邊,k為x軸的非負半軸逆(k>0)或順(k<0)時針旋轉的周數(shù).(2)求角α與單位圓的交點坐標,應利用角α的特殊性轉化為直角三角形的邊角關系求解,進而得角α的正弦、余弦值.【跟蹤訓練】1.角α的終邊和單位圓的交點為P,那么sinα=______,cosα=______.

2.在直角坐標系的單位圓中,α=-π.(1)畫出角α;(2)求出角α的終邊與單位圓的交點坐標;(3)求出角α的正弦、余弦值.【解析】1.根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義知,sinα=-,cosα=.答案:-2.(1)因為α=-π=-2π-,所以角α的終邊與-的終邊相同,如圖,以原點為角的頂點,以x軸的非負半軸為角的始邊,順時針旋轉π,與單位圓交于點P,那么角α如下圖.(2)因為α=-π,所以點P在第四象限.由(1)知,∠AOP=,過點P作PM⊥x軸于點M,那么在Rt△MOP中,∠OMP=,∠MOP=,OP=1,由直角三角形的邊角關系,得OM=,MP=,所以得點P的坐標為.(3)根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義,得sin=-,cos=.1.假設角α的終邊過點,那么cosα的值為 ()

A. B. C. D.【解析】選A.易知點在單位圓上,故cosα=.課堂檢測·素養(yǎng)達標2.角α的終邊經(jīng)過點P(-b,4)且cosα=-,那么b的值為 ()【解析】選A.因為r=,cosα===-.所以b=3.3.角α的終邊上一點的坐標為,那么角α的最小正值為______.

【解析】由題意知,角α的終邊上一點的坐標為,所以cosα==.又α的終邊在第四象限,所以α的最小值為.答案:π4.(教材二次開發(fā):練習改編)設a=sin105°·cos230°,b=sin2·cos1,那么 ()>0,b>0 >0,b<0<0,b>0 <0,b<0【解析】選C.因為sin105°>0,cos230°<0,所以a=sin105°·cos230°<0.因為0<1<<2<π,所以sin2>0,cos1>0,所以b=sin2·cos1>0.5.角α的終邊與單位圓相交于點Ρ(a,b),假設sinα=-,求a,b的值,并說明α是第幾象限角.【解析】由正弦函數(shù)的定義可知b=sinα=-.又a2+b2=1,所以a2=1-b2=,所以a=±.故a=±,b=-.當a=,b=-時,點P在第四象限,此時角α是第四象限角;當a=-,b=-時,點P在第三象限,此時角α是第三象限角.四單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義【根底通關一水平一】(15分鐘30分)1.sinα=,cosα=-,那么角α所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.由sinα=得角α的終邊在第一或第二象限;由cosα=-得角α的終邊在第二或第三象限.綜上,角α所在的象限是第二象限.課時素養(yǎng)評價2.假設α是第二象限角,那么點P(sinα,cosα)在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.因為α是第二象限角,所以cosα<0,sinα>0.所以點P在第四象限.3.點A(x,y)是-300°角終邊與單位圓的交點,那么的值為()【解析】選=cos(-300°)=cos(-360°+60°)=cos60°=,y=sin(-300°)=sin(-360°+60°)=sin60°=.所以=.4.求值sin420°cos750°+sin(-690°)·cos(-660°)=_______.

【解析】原式=sin(360°+60°)cos(720°+30°)+sin(-720°+30°)cos(-720°+60°)=sin60°cos30°+sin30°cos60°=×+×=1.答案:15.如果α的終邊過點(2sin30°,-2cos30°),那么sinα的值等于.

【解析】因為2sin30°=2×=1,-2cos30°=-2×=-,所以α的終邊過點(1,-),所以sinα==.答案:-6.點M是單位圓上的點,以射線OM為終邊的角α的正弦值為-,求cosα的值.【解析】設點M的坐標為(x,y).由題意,可知sinα=-,即y=-.因為點M在單位圓上,所以x2+y2=1,即x2+=1,解得x1=或x2=-.所以cosα=或cosα=-.【能力進階一水平二】(20分鐘40分)一、單項選擇題(每題5分,共15分)1.如圖,過原點的直線與單位圓交于P,Q兩點,其中P點在角的終邊上,那么P點的橫坐標是 ()

【解析】選=-.2.假設α=-5,那么 ()α>0,cosα>0 α>0,cosα<0α<0,cosα>0 α<0,cosα<0【解析】選A.因為-5(弧度制)為第一象限角,所以其正弦、余弦值都是正的,即sinα>0,cosα>0.3.點P(cos2018°,sin2018°)所在的象限是 ()A.一 B.二 C.三 D.四【解析】選C.2018°=5×360°+218°,即角2018°與角218°的終邊相同,218°=180°+38°,所以角218°在第三象限,即角2018°也在第三象限.所以cos2018°<0,sin2018°<0,所以點P在第三象限.【補償訓練】角α的終邊過點P(-8m,-6sin30°),且cosα=-,那么m的值為()A.- B. C.- D.【解析】選B.因為r=,所以cosα==-,所以m>0,所以=,即m=.二、多項選擇題(共5分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)4.假設角α的終邊上有一點P(-4,a),且sinα·cosα=,那么a的值為 ()A.4 B. C.-4 D.-【解題指南】先利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義列出關系式,再代入式子解方程.【解析】選CD.依題意,可知sinα=,cosα=.又sinα·cosα=,所以=,即a2+16a+16=0,解得a=-4或-.【補償訓練】α的終邊經(jīng)過點(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,那么a的取值可以是 ()

【解析】選ABC.由題意知解得-2<a≤3.【光速解題】把答案代入正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義檢驗.三、填空題(每題5分,共10分)5.角α的終邊上的點P(x,y)滿