ARMAARIMA模型介紹及案例分析

BOX-JENKINS預(yù)測法1適用于平穩(wěn)時瞞三種基本模型AR(p)模型(AutoregressionModel)自回歸模型〃階自回歸模型：刃=c+0iyt-1+02刃?2+…++氐式中，刃為時間序列第匕時刻的觀察值，即為因變量或稱被解釋變量；y-i,刃-2,-，為時序X的滯后序列，這里作為自變量或稱為解釋變量；色是隨機誤差項；C,01,02,…，0卩為待估的自回歸參數(shù)。MA(q)模型(MovingAverageModel)移動平均模型q階移動平均模型：兒=〃+弓一也_0,et_20(iet_q式中，“為時間序列的平均數(shù)，但當｛開｝序列在0上下變動時，顯然“=0,可刪除此項；弓，弓7,…，為模型在第f期，第—1期，…，第—q期的誤差；◎，耳為待估的移動平均參數(shù)。ARMA(p,q)模型自回歸移動平均模型(AutoregressionMovingAverageModel)模型的形式為：X=c+0+gX-2+???+%)1“+弓一%-02et_20qe,_q顯然，ARMA(p.q)模型為自回歸模型和移動平均模型的混合模型。當q=0,時，退化為純自回歸模型AR(p):當p=0時，退化為移動平均模型MA(q)°2改進的ARMA模型ARIMAlp,d,q)模型這里的d是對原時序進行逐期差分的階數(shù)，差分的目的是為了讓某些非平穩(wěn)(具有一定趨勢的)序列變換為平穩(wěn)的，通常來說d的取值一般為0丄2。對于具有趨勢性非平穩(wěn)時序，不能直接建立ARMA模型，只能對經(jīng)過平穩(wěn)化處理，而后對新的平穩(wěn)時序建立ARMA(p.q)模型。這里的平文化處理可以是差分處理，也可以是對數(shù)變換，也可以是兩者相結(jié)合，先對數(shù)變換再進行差分處理。ARIMA(pdq)(P,D、Q)‘模型對于具有季節(jié)性的非平穩(wěn)時序(如冰箱的銷售量，羽絨服的銷售量)，也同樣需要進行季節(jié)差分，從而得到平穩(wěn)時序。這里的D即為進行季節(jié)差分的階數(shù);P,0分別是季節(jié)性自回歸階數(shù)和季節(jié)性移動平均階數(shù)；S為季節(jié)周期的長度，如時序為月度數(shù)據(jù)，則5=12,時序為季度數(shù)據(jù)，則S=4。在中的操作如下?必須要先打開一個數(shù)據(jù)源，才可以定義日期?數(shù)據(jù)T定義日期T選擇日期的起始點，此時變量欄中會出現(xiàn)日期變量。(3)模型在模型中，再加入除自身滯后時序變量以外的解釋變量X。3模型的識別模型的識別的本質(zhì)是確定ARIMA(p,d、q)(P,D、0)沖的p,d,q以及PQQ與S的取值。借助于自相關(guān)函數(shù)(AutoconelationFunction,ACF)以及自相關(guān)分析圖和偏自相關(guān)函數(shù)(PartialCorrelationFunction,PACF)以及偏自相關(guān)分析圖來識別時序特性，并進一步確定p、q、P、Qo3.1自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)是時間序列人乙，…X諸項之間的簡單相關(guān)。它的含義與相關(guān)分析中變量之間的簡單相關(guān)一樣，只不過它所涉及的是同一序列自身，因而稱作自相關(guān)。自相關(guān)程度的大小，用自相關(guān)系數(shù)度量。

n-k__工(兀-刃()￡-刃=t^-y)2

r=l式中，〃為樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)；R為滯后期；亍為樣本數(shù)據(jù)平均值。自相關(guān)系數(shù)*,可看作自變量R的函數(shù)，即自相關(guān)函數(shù)。它表示時間序列滯后￡個時間段的兩項之間相關(guān)的程度。如人表示每相鄰兩項間的相關(guān)程度；E表示每隔一項的兩個觀察值得相關(guān)程度。隨機序列自相關(guān)系數(shù)的抽樣分布，近似于以0為均值，1/亦為標準差的正態(tài)分布。自相關(guān)系數(shù)的95%置信區(qū)間為（-1.96b,1.96b）,此處b=l/J7。如果一個時間序列的自相關(guān)系數(shù)全部落入這個區(qū)間，則認為該序列是純隨機序列。將時間序列的自相關(guān)系數(shù)繪制成圖，并標出一定的置信區(qū)間（通常釆用±2倍標準差作為置信區(qū)間的兩個端點），被稱作自相關(guān)分析圖。中的操作輸入變量數(shù)據(jù)；定義時間序列日期（數(shù)據(jù)=定義日期）分析=＞預(yù)測亠自相關(guān)（如下）；將要分析的變量從左側(cè)移入右側(cè)變量框中勾選自相關(guān)、偏自相關(guān)，轉(zhuǎn)換暫時不選（如果為非平穩(wěn)序列，可勾選差分/自然對數(shù)轉(zhuǎn)換，其中差分的階數(shù)需要根據(jù)自相關(guān)圖形來確定，通常為0丄2）未進行差分處理，由圖可知兒乎一半的自相未進行差分處理，由圖可知兒乎一半的自相關(guān)系數(shù)未進入置信區(qū)間，說明該序列非平穩(wěn)，此時需要進行差分處理，即在重復(fù)第2步時，差分選項選擇1或2。3?2偏自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù)是時間序列X，在給定了匕，牟2,…X-葉的條件下，X與匚之間的條件相關(guān)。由于它需要考慮排除其他滯后期的效應(yīng)，因而被稱為偏自相關(guān)。偏自相關(guān)系數(shù)血計算公式如下。偏自相關(guān)系數(shù)血?，可看作自變量k的函數(shù)，即偏自相關(guān)函數(shù)，-a它用以測量當剔除其他滯后期=的干擾的條件下，乙與乙樣之間相關(guān)的程度。與自相關(guān)系數(shù)類似，同樣可以采用偏自相關(guān)分析圖來對模型進行識別。3.3ARIMA模型的參數(shù)確定Stepl：判斷時序是否平穩(wěn)，若不平穩(wěn)，經(jīng)過若干次逐期差分或季節(jié)差分使其平穩(wěn)，則可確定d和D。對于社會經(jīng)濟現(xiàn)狀，一般d和D的數(shù)值取0,1或2。若自相關(guān)系數(shù)ACF隨著滯后期（一般設(shè)為16）增大，而迅速趨于0,則認為該時序是平穩(wěn)的。若自相關(guān)系數(shù)ACF隨著滯后期增大，自相關(guān)系數(shù)ACF不趨于0,則認為該時序是非平穩(wěn)的。更具體地說，若隨著時滯k的增大，自相關(guān)系數(shù)ACF緩慢減小，說明隨著序列兩項間隔的提前，相關(guān)程度變?nèi)?，則序列具有趨勢性；若對于季度數(shù)據(jù)或月度數(shù)據(jù)，當滯后期為4（或12）,8（24）等時，自相關(guān)系數(shù)ACF顯著地部位0,即在隨機區(qū)間之外，則意味著該時序具有季節(jié)性。如果時序具有趨勢性，那么需要進行逐期差分，由逐期差分的次數(shù)決定d的取值；如果序列具有季節(jié)性，那么要進行季節(jié)差分，由季節(jié)差分次數(shù)決定D的值。農(nóng)軸履民收人農(nóng)軸履民收人左側(cè)圖形為未經(jīng)過差分處理的某城市農(nóng)村居民收入的ACF圖，可以看出自相關(guān)系數(shù)并未迅速趨于0,說明該時序是非平穩(wěn)的。右側(cè)為該序列的線性圖，也正說明了該時序是有明顯的上升趨勢的，需要進行差分處理。Step2：經(jīng)差分平穩(wěn)后，確定時序所適合的模型，其依據(jù)如下表所示。ARMA（p、q）序列特征表模型AR(P)⑷ARMA^p.q)自相關(guān)函數(shù)拖尾指數(shù)衰減和（或）正弦衰減截尾拖尾指數(shù)衰減和（或）正弦衰減偏自相關(guān)函數(shù)截尾（階）拖尾指數(shù)衰減和（或）正弦衰減拖尾指數(shù)衰減和（或）正弦衰減關(guān)王的取值當不包括時滯k=n（或4）,24（或8）,p取落入隨機區(qū)間之外的偏相關(guān)系數(shù)PACF的個數(shù)或與0有顯著差異的PACF的個數(shù)，q取落入隨機區(qū)間之外的自相關(guān)系數(shù)ACF的個數(shù)或與0有顯著差異的ACF的個數(shù)。當僅觀察時滯k=n（或4）,24（或8）,p取顯著不為0的PACF的個數(shù),q取顯著不為0的季節(jié)自相關(guān)數(shù)目。4案例分析4.1數(shù)據(jù)準備某城市農(nóng)村居民收入數(shù)據(jù)(1980-2015年)單位：元對36年農(nóng)村居民收入建立B-J模型，并預(yù)測2016年的收入情況。4.2時序分析Stepl：將數(shù)據(jù)輸入到中，并定義變量的精度為小數(shù)點后兩位；Step2：定義日期。數(shù)據(jù)——定義日期——輸入“1980”因為本次數(shù)據(jù)沒有季節(jié)性，所以只需要選擇年份為1980年，如下圖。

Step3：繪制其時序圖，觀察其是否平穩(wěn)。分析一一預(yù)測一一序列圖125COOD-100C003-?篦居民收入75COOD-50CO03-25COO3-03--2S0125COOD-100C003-?篦居民收入75COOD-50CO03-25COO3-03--2S0■2S8-2S6-254■232■230■2呂6■2006-2S4-2D02也。0脅-199819961994I-992-L99O49861986-1984A98Q丄980此時可以看出該曲線有明顯上升趨勢，為非平穩(wěn)序列，需要進行差分平穩(wěn)化。同時，也可以繪制自相關(guān)圖形（操作：分析一一預(yù)測一一自相關(guān)）來觀察其趨勢，如下圖。農(nóng)村國民收入1234農(nóng)村國民收入12345670?10111213141510延起數(shù)目由上面IT相關(guān)系數(shù)圖可知，隨著延遲數(shù)目的增加,系數(shù)并沒有顯著的趨近于o,且許多數(shù)值較大的系數(shù)落在了置信區(qū)間之外,說明該時間序列并非平穩(wěn)血4.3差分平穩(wěn)化對時間序列進行差分平穩(wěn)，并繪制相關(guān)系數(shù)圖和偏自相關(guān)系數(shù)圖如下。操作為：分析一一預(yù)測一一自相關(guān)（勾選：1階差分）

&村圧民畋人&村圧民畋人從右側(cè)圖形可以看出，在滯后期k=3之后，自相關(guān)函數(shù)衰減，并且均在置信區(qū)間范圍之內(nèi)，因此可以認為該序列平穩(wěn)了。IQ-農(nóng)鬥慝民收入再觀察變換后的序列的偏自相關(guān)函數(shù)圖，如下圖。IQ-農(nóng)鬥慝民收入□t-R——?JHHnlIn,huu?05-其中理=較大，其他并沒有明顯趨于0,可以認為在K=3后拖尾，而自相關(guān)函數(shù)可以看做是K=3后截尾，也可以看做為拖尾。（自拖,偏拖）—-AR/MA模型,（H截,偏拖）一~M4模型,因此,經(jīng)過一階差分變換后的農(nóng)村居民收入所選定的模型為丄3）或4/?/M4（0丄3）°分別對兩個模型進行擬合和預(yù)測，比較其精度。4.4建立ARIMA模型4.4.1ARIMA(3,13)模型Stepl：菜單欄：分析一一預(yù)測一創(chuàng)建模型個別稹型穢*計量B錨估計廻)個別稹型穢*計量B錨估計廻)叵殘恙自相矣酋數(shù)(ACE)(F)殘盍部分自用關(guān)函數(shù)(PA￡F；?(C)V顯示預(yù)測佰(§)夾曼341yew.noiperioeic[YEAR」方未廻：：ARIXU桟型発毘：AR1UA(3.夾曼341yew.noiperioeic[YEAR」方未廻：：ARIXU桟型発毘：AR1UA(3.13)E5!?桜型iF估朗耐網(wǎng)一個個憲結(jié)花：活裁妙館黛內(nèi)酌瞬—M?芙在變量欄中，將農(nóng)村居民收入移入因變量框中；方法選擇ARIMA模型，點擊右側(cè)“條件”，輸入自回歸，差分和移動平均數(shù)的值。Step2：確定輸出的統(tǒng)計量和相關(guān)信息。魚旳m序刃逢模務(wù)變星gSS|豳輜出過涵保存送項叼按棋型顯亓披合度呈、Ljung-Eox統(tǒng)計雖和離群值的^S(D)「擬合度雖0平穢的R方住)0平陶絕對課差｛目SIR方(R>0親大統(tǒng)対課差百分比電)0均方根誤羞(Q)E］最大纟色劉誤差兇□平均絕對魅E分岀(巳□插準化的BIO(L)「比較棋舸統(tǒng)計毎SJ擬臺優(yōu)度￡)E殘走呂相矣函數(shù)?CF)(A)殘恙邰分自相矣函數(shù)(PACF)(U)過匝間序列過匝間序列逢模器■孌量統(tǒng)計量囹表輸出過濾保存迭項「棋型比鏤廈O平穩(wěn)的R方O平穩(wěn)的R方(X)□旦方(R)O均方根誤差@)n平均絶對誤差百分比吃)…平均絕對誤差(見＞□最大絶對誤差型)□標準化的BIC(N)0殘差自相兵函數(shù)(ACF)(y)..歿差部分自相笑函數(shù)(PACf)(F)單個棋型圖O殘差自相矣曲數(shù)(ACF)(A)□O殘差自相矣曲數(shù)(ACF)(A)□殘差部分自相笑函數(shù)(PA￡F}(C)-每離:圖顯示的內(nèi)容0觀察值（2）a預(yù)測值◎）a^fig-爲測f扁置信區(qū)間電）?????????????????????????????????????????????????????????S1擬合值的蚩信區(qū)何（◎????????????????????????????????????????????????????????I其中擬合值和置信區(qū)間可備選，根據(jù)需要選擇二如果需要預(yù)測下一年的數(shù)據(jù)值，必須要在變量欄中的時間變量下再加入一個年份值，否則不會顯示預(yù)測值，如下圖。農(nóng)村居民收入YEARDATE7182.53201020109104.00201120118864.852012201210013.032013201311547.002014201412736.002015201520162016-201720172018201820192019-20202020模型結(jié)果分析挨型類型狽型ID農(nóng)枸居呂收入鯉」ARIMA(3,1.3)俟型摘要擬合均fBSE環(huán)值眾大佰百分位5102550759095平場fER方.493493.493493493493493493.493R方.990990.990.990.990990990990990.990RMSE386.308386.308386.308386.308386.308386.308386.308386.308386.308386.308MAPE16.077160T716.07716.07T16.0771607T16.077160TT1607716.077MsxAPE1BW4184.924184.924184.924184.924184.824184.924184.924184.924184.924MftE246.295246295246.295246.295246.295246295246295246295246295246.295MaxAE1039.15410391541039.1541039.1541039.1541039.1541039.15410391541039.1541039.154正忠化的BIC12.6241262412.62412.62412.6241262412624126241262412.624楔型統(tǒng)計量棋型預(yù)測孌雖數(shù)模型似合統(tǒng)計星Ljung-BoxQ(13)畫群值較平穩(wěn)的R方R方統(tǒng)計星DFSig農(nóng)村居民收入?模型」0.493.9908.61912.7350模型20162017201820192020農(nóng)村居民收入?模型預(yù)測13387.9014788.5216131.2516917.7717934.30UCL14157.7715818.3017462.3418828.4120398.32LCL12618.0313758.7414800.1515007.1315470.29值的非缺失值縮可用的晟后一個時間段或諳求預(yù)測時間段的結(jié)束日期（以較早者為準）結(jié)東。對于每個模型'預(yù)測都在諳求的預(yù)測時間段范圉內(nèi)的晟后一個非缺失值之后開始'在所有預(yù)測值的非缺失值縮可用的晟后一個時間段或諳求預(yù)測時間段的結(jié)束日期（以較早者為準）結(jié)東。值為?？梢钥吹侥Ｐ偷腞平方為，平穩(wěn)的R方為，說明模型的擬合效果較好，預(yù)測值為。—觀炯但—擬合伯?UCLLCL—預(yù)刊4.4.2ARIMA(0,1亠模型步驟和上面基本一致，只是在創(chuàng)建模型的時候，把條件中的自回歸p值改為

0,運算結(jié)果如下。10農(nóng)柯居民收入棋卻」ARIM/CU.3)模型摘要規(guī)合統(tǒng)計星均體SE醫(yī)小伯晶大體旨分位5102550759095平兔的R方.385.365365.365.365.365.365365.305365R方.99B.9BB988.999988.989.9BB989.99B988RMSE410.945410.945410.945410.945410.945410.945410.945410.945410.945410945MftPE25.31826.3182631826.3182631826.31826.3182631826.31826318MaxAPE135.373135.373135.373135.373135.373135.373135.373135.373135.373135.373MftE28^.70028T.7002877