15.3互斥事件與獨(dú)立事件（原卷版）

互斥事件與獨(dú)立事件痔知識(shí)梳理一、互斥與對(duì)立事件1、互斥事件的定義在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A與8不可能同時(shí)發(fā)生，這時(shí)，我們稱(chēng)A,8為互斥事件。2、概率的加法公式如果事件A,5互斥，那么事件A+3發(fā)生的概率，等于事件A,5分別發(fā)生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B),這時(shí)概率滿(mǎn)足的第三個(gè)基本性質(zhì)。3、概率加法公式的推廣如果事件4,4,,45wM〃〉2)中任何兩個(gè)事件都是互斥事件，那么稱(chēng)事件4,4,…,4兩兩互斥,則PGV4+…+4)=p(A)+p(4)+…+尸(4)4、對(duì)立事件若互斥事件A,C中必有一個(gè)發(fā)生，這時(shí)，我們稱(chēng)A,C為對(duì)立事件，記作E=4或。=區(qū).對(duì)立事件A與N中必有一個(gè)發(fā)生，故A+入是必然事件。5、互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系區(qū)別(1)在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，而兩個(gè)對(duì)立事件必有一個(gè)發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生；(2)互斥事件可能是兩個(gè)事件，也可能是多個(gè)事件，而對(duì)立事件只能是兩個(gè)事件。聯(lián)系兩個(gè)事件時(shí)對(duì)立事件，則它們一定是互斥事件；兩個(gè)事件為互斥事件，它們未必是對(duì)立事件。6、隨機(jī)事件概率的常用性質(zhì)(1)P(A)=1-P(A);(2)當(dāng)時(shí)，P(A)<P(B)；(3)當(dāng)A,5不互斥時(shí),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)二、相互獨(dú)立事件1、相互獨(dú)立事件的定義般地，如果事件A是否發(fā)生不影響事件3發(fā)生的概率，那么稱(chēng)A,B為相互獨(dú)立事件。2、相互獨(dú)立事件的概率公式：A,5相互獨(dú)立oP(AB)=P(A)P(5)3、重要結(jié)論(1)若A,8相互獨(dú)立，則A與豆,A^B,N與否也都相互獨(dú)立。(2)獨(dú)立事件可以推廣到〃個(gè)事件的情形(neN,n>2),即若事件A?A,-，4相互獨(dú)立,那么P(A&4)=P(A)P(a)P(A)4、相互獨(dú)立事件與互斥事件的關(guān)系A(chǔ),B關(guān)系概率記法A,3互斥A,3相互獨(dú)立至少一個(gè)發(fā)生P(A+B)P(A)+P(B)1-P(A)P(B)同日找生P(AB)0都不發(fā)生P(AB)1-[P(A)+P(B)]恰有一個(gè)發(fā)生P(AB+AB)P(A)+P(B)P(A)P(B)+P(A)P(B)至多一個(gè)發(fā)生P(AB+AB+AB)11—P(A)P(5)'智常考題型題型1互斥事件與對(duì)立事件的判斷題型2互斥事件與對(duì)立事件的概率計(jì)］互斥事件與

獨(dú)立事件題型互斥事件與

獨(dú)立事件題型3事件獨(dú)立性的判斷題型4相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算題型5相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用'等題型精析題型一互斥事件與對(duì)立事件的判斷【例1】(2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)"事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（ ）A.事件1與事件3互斥B.事件1與事件2互為對(duì)立事件C.事件2與事件3互斥D.事件3與事件4互為對(duì)立事件【變式MJ（2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考三模）一個(gè)人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關(guān)系中，說(shuō)法正確的是（ ）A.事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對(duì)立事件B.事件”第一次擊中”與事件“第二次擊中”為互斥事件C.事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對(duì)立事件D.事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件【變式1-2］（2023?廣西柳州?柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書(shū)中任取兩本書(shū)，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（ ）A.至少有一本政治與都是數(shù)學(xué) B.至少有一本政治與都是政治C.至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué) D.恰有1本政治與恰有2本政治【變式1-3】（2023春?廣東江門(mén)?高一鶴山市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（ ）A.至少有1個(gè)黑球與都是黑球 B.至少有1個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球C.至少有1個(gè)黑球與都是紅球 D.恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球題型二互斥事件與對(duì)立事件的概率計(jì)算［例2］（2023.全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）圍棋起源于中國(guó),是一種策略型兩人棋類(lèi)游戲，中國(guó)古時(shí)稱(chēng)“弈”，屬琴棋書(shū)畫(huà)四藝之一.現(xiàn)有一圍棋盒子中有多枚黑子和白子，若從中取出2枚都是黑子的概率是，都是白子的概率是，則從盒中任意取出2枚恰好一黑一白的概率是【變式2-1】（2023.全國(guó).高一專(zhuān)題練習(xí)）已知口袋內(nèi)有一些大小相同的紅球、白球和黃球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概率為，摸出的球是紅球或黃球的概率為，則摸出的球是黃球或白球的概率為（ ）A.0.7B,0.5C,0.3D.【變式2-2]（2023春?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）若隨機(jī)事件A,5互斥，A,B發(fā)生的概率均不等于。，且P（A）=2-〃，p（3）=4"5,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）【變式2-3]（2023.江蘇.高一專(zhuān)題練習(xí)）某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷(xiāo)售中,購(gòu)滿(mǎn)100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè),一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè),其余均為不中獎(jiǎng).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A,3,C,求：（1）事件A,B,。的概率；（2）1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；（3）1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.題型三事件獨(dú)立性的判斷[例3]（2022.高一課時(shí)練習(xí)）下列事件中a,B是相互獨(dú)立事件的是（ ）A.一枚硬幣擲兩次，A="第一次為正面"，3="第二次為反面”B.袋中有2白，2黑的小球,不放回地摸兩球，A=”第一次摸到白球，,3="第二次摸到白球”C.擲一枚骰子，A="出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)"3=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”D.4="人能活至1」20歲”，5="人能活至1」50歲”【變式3-1】（2022春?福建福州?高一?？计谀仈S一顆均勻骰子兩次，￡表示事件“第一次是奇數(shù)點(diǎn)”，F(xiàn)表示事件“第二次是3點(diǎn)"G表示事件”兩次點(diǎn)數(shù)之和是91H表示事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和是10”，則（）A.E與G相互獨(dú)立 B.￡與“相互獨(dú)立C.尸與G相互獨(dú)立 D.G與〃相互獨(dú)立【變式3-2]（2022.高一課時(shí)練習(xí)）（多選）有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件”第二次取出的球的數(shù)字是2”；丙表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是8”；丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則（ ）A.甲與丙不相互獨(dú)立 B.甲與丁不相互獨(dú)立C.乙與丙不相互獨(dú)立 D.丙與丁不相互獨(dú)立【變式3-3]（2022.高一單元測(cè)試）（多選）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子所得的樣本空間為Q={123,4,5,6},令事件A={2,3,5},B={1,2,3},C={1,2},則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的有（ ）A.A與3獨(dú)立B.A與。獨(dú)立C.B與。獨(dú)立D.Ccfi題型四相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算[例4]（2023.全國(guó).高一專(zhuān)題練習(xí)）出租車(chē)司機(jī)老王從飯店到火車(chē)站途中經(jīng)過(guò)六個(gè)交通崗，已知各交通崗信號(hào)燈相互獨(dú)立.假設(shè)老王在各交通崗遇到紅燈的概率都是:，則他遇到紅燈前127TOC\o"1-5"\h\z已經(jīng)通過(guò)了兩個(gè)交通崗的概率為（ ）127A， b— c—.24 *27 ,9【變式4-1】（2023?江蘇?高一專(zhuān)題練習(xí)）甲、乙、丙三名同學(xué)將參加2023年高考,根據(jù)高三年級(jí)半年來(lái)的各次測(cè)試數(shù)據(jù)顯示，甲、乙、丙三人數(shù)學(xué)能考135分以上的概率分別為g|和［設(shè)三人是否考135分以上相互獨(dú)立，則這三人在2023年高考中至少有兩人數(shù)學(xué)考135分以上的概率為.【變式4-2】（2023春遼寧本溪?高一?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)的“信息”“足球”“攝影'三個(gè)社團(tuán)考核挑選新社員，已知高一某新生對(duì)這三個(gè)社團(tuán)都很感興趣，決定三個(gè)考核都參加，假設(shè)他通過(guò)“信息”“足球”“攝影”三個(gè)社團(tuán)考核的概率依次為:，加，〃，且他是否通過(guò)每個(gè)考核相互獨(dú)立，若三個(gè)社團(tuán)考核他都通過(guò)的概率為5,至少通過(guò)一個(gè)社團(tuán)考核的概率為巳,貝［］〃1+冏=（）【變式4-3］（2023?江蘇?高一專(zhuān)題練習(xí)）（多選）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán),各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為..，則（ ）A.該棋手三盤(pán)三勝的概率為B.若比賽順序?yàn)榧滓冶?，則該棋手在贏得第一盤(pán)比賽的前提下連贏三盤(pán)的概率為C.若比賽順序?yàn)榧滓冶?，則該棋手連贏2盤(pán)的概率為D.記該棋手連贏2盤(pán)為事件A,則當(dāng)該棋手在第二盤(pán)與甲比賽P（力最大題型五相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用［例5］（2023春?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）在高中學(xué)生軍訓(xùn)表演中，學(xué)生甲的命中率為，學(xué)生乙的命中率為，甲乙兩人的擊互不影響，求：（1）甲乙同時(shí)射中目標(biāo)的概率；（2）甲乙中至少有一人擊中目標(biāo)的概率.【變式5-1】（2023?江蘇?高一專(zhuān)題練習(xí)）（1）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)4="第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)"5=”兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)"判斷事件A與事件B是否相互獨(dú)立，并說(shuō)明理由.(2)甲乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊考核測(cè)試，每人每次有兩次射擊機(jī)會(huì)，若兩次機(jī)會(huì)中至少有一次中靶，則考核通過(guò).已知甲的中靶概率是，乙的中靶概率是，甲乙兩人射擊互不影響.求兩人中恰有一人通過(guò)考核的概率.【變式5-2】(2023.江蘇.高一專(zhuān)題練習(xí))某電視臺(tái)舉行沖關(guān)直播活動(dòng)，該活動(dòng)共有四關(guān)，只有一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，參加活動(dòng)的選手從第一關(guān)開(kāi)始依次通關(guān)，只有通過(guò)本關(guān)才能沖下一關(guān).已知第一關(guān)的通過(guò)率為，第二關(guān)、第三關(guān)的通過(guò)率均為，第四關(guān)的通過(guò)率為，四關(guān)全部通過(guò)可以獲得一等獎(jiǎng)(獎(jiǎng)金為500元)，通過(guò)前三關(guān)就可以獲得二等獎(jiǎng)(獎(jiǎng)金為200元)，如果獲得二等獎(jiǎng)又獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金可以累加.假設(shè)選手是否通過(guò)每一關(guān)相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動(dòng).(1)求甲未獲得獎(jiǎng)金的概率；(2)求甲和乙最后所得獎(jiǎng)金之和為900元的概率.【變式5-3](2023?江蘇?高一專(zhuān)題練習(xí))為普及消防安全知識(shí),某學(xué)校組織相關(guān)知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為：,|；在第二輪比賽中，甲、乙勝JJ出的概率分別為:，,，甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)甲在比賽中恰好贏一輪的概率；(2)從甲、乙兩人中選1人參加比賽，派誰(shuí)參賽贏得比賽的概率更大？(3)若甲、乙兩