中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練突破：圓中常用的輔助線作法(含詳細(xì)解析)

中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練突破：圓中常用的輔助線作法(含詳細(xì)解析)專題訓(xùn)練——圓中常用的輔助線作法作法一：作半徑或直徑①作半徑（或直徑）：構(gòu)造等腰三角形或直角三角形1.如圖9-ZT-3，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C=30°，⊙O的半徑為5，若點(diǎn)P是⊙O上的一點(diǎn)，在△ABP中，PB=AB，則PA的長(zhǎng)為（）。答案：532.如圖9-ZT-2，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=60°，BC=63，則BC的長(zhǎng)為（）。答案：12π3.如圖9-ZT-3，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=60°，BC=23，則⊙O的面積為（）。答案：4π4.如圖9-ZT-4，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OAB=32°，則∠C=________。答案：68°5.如圖9-ZT-5，⊙O的半徑為6，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，且∠ACB=45°，則弦AB的長(zhǎng)是________。答案：6√2②連接過(guò)切點(diǎn)的半徑或直徑：見(jiàn)切線，連切點(diǎn)，得垂直6.如圖9-ZT-6，兩個(gè)同心圓的半徑分別為4cm和5cm，大圓的一條弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，則弦AB的長(zhǎng)為（）。答案：6cm7.如圖9-ZT-7，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點(diǎn)C，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且∠D=2∠A。（1）求∠D的度數(shù)；（2）若CD=2，求BD的長(zhǎng)。答案：（1）120°；（2）BD=4作法二：作弦心距：解決弦長(zhǎng)的計(jì)算與證明問(wèn)題8.一條排水管的截面如圖9-ZT-8所示，已知排水管的半徑OA=1m，水面寬AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時(shí)排水管水面寬為（）。答案：1.4m9.如圖9-ZT-9所示，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，則CD的長(zhǎng)為（）。答案：25作法三：構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角：見(jiàn)直徑想直角10.如圖9-ZT-10，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)。若∠DAB=40°，則∠ABC=________°。答案：50°11.如圖9-ZT-11，⊙O的直徑AB=12cm，C為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CP與⊙O相切于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作弦BD∥CP，連接PD。證明：連接AP，由題意可知，BP=BD，且∠BPD=∠APD=90°，故△BPD和△APD共邊BP，PD，且∠BPD=∠APD，故△BPD≌△APD，因此AD=BD=BP，又因?yàn)锽P=BD，所以P是BD的中點(diǎn)。求解：由題意可知∠C=∠D，又因?yàn)镻是BD的中點(diǎn)，所以BP=PD，故△BPD是等腰三角形，又因?yàn)锽C垂直于PD，所以BC平行于BD，故BCPD是平行四邊形，所以BCPD的面積為BC×PD=BC×BP=BC×BD/2。證明：連接OA，OB，OP，由題意可知，OD垂直于AB，且OD是半圓O的半徑，故OD=OA=OB，又因?yàn)椤螼AB=∠OBA=90°，所以△OAB是等腰直角三角形，故DE=EB，所以DE是半圓O的切線。求解：由題意可知∠BAC=30°，又因?yàn)椤鱋AB是等邊直角三角形，所以AB=OA=OB=√3，故AD=AB×sin∠BAC=√3/2。證明：連接AE，BE，DF，由題意可知，AE是△ABC的角平分線，所以∠ABE=∠DBF，又因?yàn)椤螪BF=∠DAC，所以∠ABE=∠DAC，故△ABE和△DAC相似，所以DE/AC=EB/AB，即DE=EB×AC/AB，又因?yàn)镋B=EF，所以DE=EF×AC/AB，又因?yàn)镋F是直徑，所以DE=AC，即DE是⊙O的切線。證明：連接PC，PB，由題意可知，OC是⊙O的半徑，且OC⊥PA，所以∠OCP=90°，又因?yàn)镻C=4，OC=3，所以O(shè)P=5，又因?yàn)椤螼PC=∠OCP，所以△OPC是等腰三角形，故PB=PC=4，又因?yàn)镺B是⊙O的半徑，所以O(shè)B=3，又因?yàn)椤螼BC=90°，所以BC=√7，又因?yàn)椤螦PB=2∠OCP=120°，所以∠BPC=∠BAC=30°，故△BPC是30-60-90三角形，所以BP=2PC=8，又因?yàn)镺C=3，所以CE=2OC=6。刪除無(wú)法理解的句子，改寫(xiě)每段話：4.解析：連接OB，根據(jù)三角形OAB的特點(diǎn)，可以得到∠C=∠AOB/2=58°。5.答案：62。6.解析：連接OC和OA。因?yàn)榇髨A的弦AB與小圓相切，所以O(shè)C⊥AB，因此AC=BC=AB。在直角三角形AOC中，OA=5cm，OC=4cm，所以AC=sqrt(OA^2-OC^2)=3cm，AB=2AC=6cm。7.解析：(1)連接OC，因?yàn)镺A=OC，所以∠A=∠OCA。由于PD與⊙O相切于點(diǎn)C，所以O(shè)C⊥PD，即∠OCD=90°，因此∠D=1/2×90°=45°。所以∠COD=∠D，因此OC=CD=2。由勾股定理得OD=sqrt(2^2+2^2)=2sqrt(2)，因此BD=OD-OB=2sqrt(2)-2。8.解析：作OE⊥AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，連接OC。因?yàn)锳B=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，所以AE=0.6m，OE=0.8m。水管水面上升了0.2m，所以O(shè)F=0.8-0.2=0.6(m)，CF=OC^2-OF^2=0.8m，CD=1.6m。9.解析：作OH⊥CD于點(diǎn)H，連接OC。因?yàn)镺H⊥CD，所以HC=HD。因?yàn)锳P=2，BP=6，所以AB=8，OA=4，OP=OA-AP=2。在直角三角形OPH中，∠OPH=30°，所以O(shè)H=OP=1。在直角三角形OHC中，OC=4，OH=1，所以CH=OC^2-OH^2=15，CD=2CH=30。10.答案：70。11.證明：連接OP。因?yàn)镃P與⊙O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)P⊥CP。因?yàn)锽D∥CP，所以O(shè)P⊥BD，因此OP是BD的垂線。證明：(1)連接AD，由題意可知點(diǎn)P為BD的中點(diǎn)，因此BD=2DP，又因?yàn)锽D∥CP，所以△DPC與△BAD全等（ASA），故CO=AB=12cm，CB=OA=6cm。又因?yàn)镺P=6cm，所以CP=√(CO2-OP2)=3√7cm。由BD∥CP可知PE=OE=3cm，因此四邊形BCPD的面積為63×3=183(cm2)。(2)連接BD，OD，OE。因?yàn)锳B為半圓O的直徑，所以∠ADB=∠BDC=90°。在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn)，因此DE=BE。在△OBE和△ODE中，OB=OD，OE=OE，BE=DE，因此△OBE≌△ODE（SSS），所以∠ODE=∠ABC=90°，即OD⊥DE。又因?yàn)镺D是半圓O的半徑，所以DE是半圓O的切線。解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，因此BC=AC/2=4。又因?yàn)镈E=BE=EC，所以△DEC為等邊三角形，即DC=DE=2，因此AD=AC-DC=6。證明：連接BG，作直徑DG。因?yàn)辄c(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，所以AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠DAC。又因?yàn)椤螱=∠BAD，∠BDM=∠DAC，所以∠BDM=∠G。因?yàn)镈G為⊙O的直徑，所以∠GBD=90°，因此∠G+∠BDG=90°，即∠BDM+∠BDG=90°。因此∠MDG=90°，即直線DM是⊙O的切線。(1)證明：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥PB于點(diǎn)D，連接OC。因?yàn)镻A切⊙O于點(diǎn)C，所以O(shè)C⊥PA。又因?yàn)辄c(diǎn)O在∠APB的平分線上，所以O(shè)C=OD，因此OD是⊙O的半徑，