近世代數(shù)主要知識(shí)點(diǎn)課件

近世代數(shù)基礎(chǔ)補(bǔ)考復(fù)習(xí)練習(xí)王尚文近世代數(shù)基礎(chǔ)基本概念群論環(huán)和域近世代數(shù)基礎(chǔ)補(bǔ)考復(fù)習(xí)練習(xí)1第一章基本概念集合映射代數(shù)運(yùn)算結(jié)合律交換律分配律一一映射同態(tài)同構(gòu)、自同構(gòu)等價(jià)關(guān)系與集合分類第一章基本概念集合2第二章群論群的定義單位元、逆元、消去律有限群的另一定義群的同態(tài)變換群置換群循環(huán)群子群子群的陪集不變子群、商群同態(tài)與不變子群第二章群論群的定義3第三章環(huán)和域加群、環(huán)的定義交換律、單位元、零因子、整環(huán)除環(huán)、域無零因子環(huán)的特征子環(huán)、環(huán)的同態(tài)多項(xiàng)式環(huán)理想剩余類環(huán)、同態(tài)與理想最大理想第三章環(huán)和域加群、環(huán)的定義4集合的定義若干個(gè)固定事物的全體叫做一個(gè)集合簡稱集元組成一個(gè)集合的事物叫做這個(gè)集合的元素有時(shí)簡稱元一個(gè)沒有元素的集合叫做空集合集合的積令A(yù)1A2·········，An是n個(gè)集合，有一切從A1A2·········，An里順序取出的元素組（a1，a2，a3············，an）（ai∈Ai）所做成的集合叫做集合的積子集若集合b的每一個(gè)元素都屬于集合a，我們說，b是a的子集交集集合a和集合b的所有共同元所組成的集合就叫做a和b的交集并集由至少屬于集合a和b之一的一切元素組成的集合就叫做a和b的并集集合的定義若干個(gè)固定事物的全體叫做一個(gè)集合簡稱集子集5映射映射的定義假如通過一個(gè)法則Ф，對于任何一個(gè)A1×A2×······×An的元都能得到一個(gè)唯一的D的元d，那么這個(gè)法則叫做集合A1×A2×······×An到集合D的一個(gè)映射像逆象，映射的相同效果相同就行映射映射的定義假如通過一個(gè)法則Ф，對于任何一個(gè)A1×A6代數(shù)運(yùn)算

定義一個(gè)A×B到D的映射叫做一個(gè)A×B到D的代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算是一種特殊的映射描寫它的符號，也可以特殊一點(diǎn)，一個(gè)代數(shù)運(yùn)算我們用。來表示二元運(yùn)算假如。是一個(gè)A×A到A的代數(shù)運(yùn)算，我們說集合A是閉的二元運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算

定義一個(gè)A×B到D的映射叫做一個(gè)A×B到D的代數(shù)運(yùn)7分配律第一分配律b⊙（a+b）=（b⊙a(bǔ))+(b⊙a(bǔ)）第二分配律（a1+a2）b=（a1⊙b）+（a2⊙b）分配律第一分配律b⊙（a+b）=（b⊙8同態(tài)同態(tài)映射一個(gè)A到ǎ的映射l，叫做一個(gè)代數(shù)運(yùn)算∮和∮‘來說，A到ǎ的同態(tài)映射，假如，在∮之下不管a和b是A的哪兩個(gè)元，只要a→a′，b→b`就有a∮b→a′∮‘b`假如運(yùn)算1和1‘來說，有一個(gè)A到A’的滿射的同態(tài)映射存在，同態(tài)滿射同構(gòu)映射一一映射的同態(tài)映射就是一個(gè)同構(gòu)映射自同構(gòu)同態(tài)同態(tài)映射一個(gè)A到ǎ的映射l，叫做一個(gè)代數(shù)運(yùn)算∮和∮‘9等價(jià)關(guān)系與等價(jià)類

集合的等價(jià)關(guān)系假如～滿足以下規(guī)律Ⅰ反射律；a～a，不管a是A的哪個(gè)元。Ⅱ，對稱律:a～b＝>b～aⅢ，推移律：a～b，b～c=>a～c同余關(guān)系等價(jià)關(guān)系與等價(jià)類

集合的等價(jià)關(guān)系假如～滿足以下規(guī)律10群的定義群的第一定義一個(gè)不空集合G對于乘法的代數(shù)運(yùn)算來說做成一個(gè)群，假如ⅰG對于這個(gè)乘法來說是閉的ⅱ結(jié)合律成立：a（bc）=（ab）c對于G的任意的三個(gè)元a，b，c都對；ⅲ對于G的任意兩個(gè)元a，b來說，方程ax=b和ya=b都在G里有解群的第二定義ⅰG對乘法是閉的ⅱ結(jié)合律成立：a（bc）=(ab)c對于G里的任意元都對ⅲG里至少存在一個(gè)左單位元e，能讓ea=a對G中的任意a都成立ⅳ對于G的每個(gè)元a，在G里至少存在一個(gè)左逆元a‘能讓a’a=e群的定義群的第一定義群的第二定義11單位元、逆元、消去律單位元一個(gè)群的唯一的能使ea=ae=a的元e叫做群的單位元逆元一個(gè)群的每一個(gè)元a來說，在群里存在一個(gè)而且只存在一個(gè)元a‘，能使a’a=aa’=e消去律若ax=ax’，那么x=x’若ya=y’a，那么y=y’單位元、逆元、消去律單位元一個(gè)群的唯一的能使ea=ae=12群的同態(tài)

定理假定G與G’對于它們的乘法來說同態(tài)，那么G’也是一個(gè)群注意假如G’和G同態(tài)，那么不一定是群定理2假定G和G’是兩個(gè)群。在G到G’的一個(gè)同態(tài)映射下，G的單位元e的象是G’的單位元，G的元a的逆元a’的象是a的象的逆元在一個(gè)同構(gòu)映射下，兩個(gè)單位元互相對應(yīng)，相互對應(yīng)的元的逆元相互對應(yīng)。群的同態(tài)

定理假定G與G’對于它們的乘法來說同13變換群

定理1假定G是集合A的若干個(gè)變換所做成的集合，并且G包含恒等變換ε，若是對乘法（ζ：a→aζ，λ：a→a?那么a→（a?)?）來說做成一個(gè)群，那么G只包含A的一一變換。變換群一個(gè)集合的若干個(gè)一一變換對于以上規(guī)定的乘法做成的一個(gè)群叫做A的一個(gè)變換群定理2一個(gè)集合的所有一一變換做成一個(gè)變換群定理3任何一個(gè)群都同一個(gè)變換群同構(gòu)證明，假定G是一個(gè)群，G的元是a，b，c·······我們在G里任意取出一個(gè)元x來，那么?x：g→gx=g?x是集合的一個(gè)變換。因?yàn)榻o了G的任意元g，我們能夠得到一個(gè)唯一的G的元g?x。這樣由G的每個(gè)元x，可以得到G的一個(gè)變換?x。我們把所有這樣的來的G的變換放在一起，做成一個(gè)集合G’={a’，b‘，c’·······}那么x→x’是G到G’的滿射，但消去律x≠y=>gx≠gy告訴我們?nèi)魓≠y，那么x’≠y’，所以x→x’是一一映射。在進(jìn)一步看，是同構(gòu)映射所以任何群和一個(gè)變換群同構(gòu)

變換群

定理1假定G是集合A的若干個(gè)變換所做成的集合，并14置換群一個(gè)有限集合的一一變換叫做置換一個(gè)有限集合的若干個(gè)置換群做成的一個(gè)群叫做置換群。定義一個(gè)包含n個(gè)元的集合的全體置換做成的群叫做對稱群sn定理1n次對稱群sn的階是n！定義sn的一個(gè)把a(bǔ)i1變到ai2·····························而使得其余的元，假如還有的話，不變的置換，叫做一個(gè)k-循環(huán)置換定理2每一個(gè)n個(gè)元的置換?都可以寫成若干個(gè)互相沒有共同數(shù)字的循環(huán)置換的乘積。定理3每個(gè)有限群都與一個(gè)置換群同構(gòu)

置換群一個(gè)有限集合的一一變換叫做置換15循環(huán)群

定義若一個(gè)群G的每一個(gè)元都是G的某個(gè)固定元a的乘方，我們就把G叫做循環(huán)群，我們也可以說，G是由元a生成的，并且用符號G=（a）來表示。a叫做G的一個(gè)生成元定理假定G是一個(gè)由元a所生成的循環(huán)群。那么G的構(gòu)造完全可以由a的階來決定a的階若是無限，那么G與整數(shù)加群同構(gòu)a的階若是一個(gè)有限整數(shù)n，那么G與n的剩余類加群同構(gòu)循環(huán)群

定義若一個(gè)群G的每一個(gè)元都是G的某個(gè)固定元a的16子群

定義一個(gè)群的一個(gè)子集H叫做G的一個(gè)子群，假如H對于G的乘法來說做成一個(gè)群做成子群的必要條件;⑴,a，b∈H=>ab∈H⑵a∈H=>a’∈H定理做成子群的充分必要條件a，b∈H=》ab’∈H一個(gè)群的不空有限子集H作成G的一個(gè)子群的充分必要條件是：a，b∈ab∈H子群

定義一個(gè)群的一個(gè)子集H叫做G的一個(gè)子群，假如H對于G17子群的陪集a～b當(dāng)且僅當(dāng)ab’∈H時(shí)是一種等價(jià)關(guān)系a～‘b當(dāng)且僅當(dāng)b’a∈H是也是等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系的類是右陪集Ha第一種情況由～’所決定的類是左陪集第二種情況一個(gè)右陪集的個(gè)數(shù)和左陪集的個(gè)數(shù)相等它們或者都是無限大或者都是有限并且相等子群的陪集等價(jià)關(guān)系的類是右陪集由～’所決定的類是左陪一個(gè)右陪18子群的陪集續(xù)指數(shù)一個(gè)群的子群的右陪集的個(gè)數(shù)叫做H在G里的指數(shù)假定H是一個(gè)有限群G的子群，那么H的階n和它在G里的指數(shù)j都能整除G的階N并且N=nj一個(gè)有限群的任一元a的階n都能整除G的階子群的陪集續(xù)指數(shù)一個(gè)群的子群的右陪集的個(gè)數(shù)叫做H在G里19不變子群、商群

定義一個(gè)群G是一個(gè)子群N叫做一個(gè)不變子群，假如對于G的每個(gè)元a來說，都有Na=aN一個(gè)不變子群的一個(gè)左(右)陪集叫做N的一個(gè)陪集一個(gè)群G的一個(gè)子群是一個(gè)不變子群的充要條件是：aNa’=N對于任意元a都成立充要條件a∈G，n∈N=>ana‘∈N商群一個(gè)不變子群N的陪集所做成的群叫做一個(gè)商群G/N有限群時(shí)G的階/N的階=G/N的階不變子群、商群

定義一個(gè)群G是一個(gè)子群N叫做一個(gè)不變子群20同態(tài)、不變子群一個(gè)群G同他的每一個(gè)商群G/N同態(tài)同態(tài)映射的核：假定&是一個(gè)群G到另一個(gè)群G’的一個(gè)同態(tài)映射。G’的單位元e’在&之下的所有逆象所做成的G的子集就叫做同態(tài)映射的核。定理假定G與G’是兩個(gè)群，并且G與G’同態(tài)，那么這個(gè)同態(tài)映射的核N是G的一個(gè)不變子群，且G/N≌G’同態(tài)、不變子群一個(gè)群G同他的每一個(gè)商群G/N同態(tài)21加群、環(huán)的定義加群一個(gè)交換群叫做一個(gè)加群環(huán)一個(gè)集合叫做一個(gè)環(huán)1R是加群對于一個(gè)叫做加法的代數(shù)運(yùn)算來說做成一個(gè)交換群2R對于另一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來說是閉的3這個(gè)乘法適合結(jié)合律：a（bc）=（ab）c不管a，b，c是R的哪三個(gè)元兩個(gè)分配律都成立a（b+c）=ab+ac（b+c）a=ba+ca加群、環(huán)的定義加群一個(gè)交換群叫做一個(gè)加群22交換律、單位元、零因子、整環(huán)交換環(huán)一個(gè)環(huán)假如ab=ba不管ab是環(huán)的哪兩個(gè)元單位元ea=ae=a一個(gè)環(huán)未必有單位元零因子若環(huán)里a≠0，b≠0但ab=0那么a是左零因子b右零因子整環(huán)一個(gè)環(huán)叫做整環(huán)如果1.乘法適合交換律：ab=ba.R有單位元1：1a=a1=aR沒有零因子ab=0=>a=0或b=0交換律、單位元、零因子、整環(huán)交換環(huán)一個(gè)環(huán)假如23除環(huán)、域除環(huán)1，R至少包含一個(gè)而不等于零的元2，R有單位元3，R的每一個(gè)不等于零的元有一個(gè)逆元域一個(gè)交換除環(huán)叫做一個(gè)域在一個(gè)沒有零因子的環(huán)里所有不等于零的元對于加法來說的階都一樣的一個(gè)無零因子的環(huán)里的非零元的相同的階叫做環(huán)的特征整環(huán)除環(huán)域的特征或是無限大或是一個(gè)素?cái)?shù)除環(huán)、域除環(huán)1，R至少包含一個(gè)而不等于零的元224子環(huán)、環(huán)的同態(tài)一個(gè)非空子集作成子環(huán)的