可降階高階微分方程課件

可降階高階微分方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4節(jié)一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程8/19/20231可降階高階微分方程機(jī)動目錄上頁下頁解法：特點：一、y(n)

=f(x)型微分方程2/108/19/20232解法：特點：一、y(n)=f(x)型微分方程2/1例1.解:

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8/19/20233例1.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、y"

=f(x,y')型微分方程特點：解法：因變量換元8/19/20234設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通例2.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8/19/20235例2.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、y"=f(y,y')型微分方程特點：解法：8/19/20236令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解機(jī)例3.求解代入方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故所求通解為解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8/19/20237例3.求解代入方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故所求通例4.解初值問題解:令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8/19/20238例4.解初值問題解:令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與x軸圍成的三角形面例5.二階可導(dǎo),且上任一點P(x,y)

作該曲線的切線及x軸的垂線,區(qū)間[0,x]上以解:于是在點P(x,y)處的切線傾角為

,滿足的方程.積記為(99考研)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8/19/20239為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與x軸圍成的三角形面例5.再利用y(0)=1得利用得兩邊對x求導(dǎo),得定解條件為方程化為利用定解條件得得故所求曲線方程為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8/19/202310再利用y(0)=1得利用得兩邊對x求導(dǎo),得定內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8/19/202311內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令機(jī)動思考與練習(xí)1.方程如何代換求解?答:令或一般說,用前者方便些.均可.有時用后者方便.例如,2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?答:(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2)遇到開平方時,要根據(jù)題意確定正負(fù)號.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8/19/202312思考與練習(xí)1.方程如何代換求解?答:令或一般說,用速度大小為2v,方向指向A,提示:設(shè)t時刻

B位于(x,y),如圖所示,則有去分母后兩邊對x求導(dǎo),得又由于設(shè)物體

A從點(0,1)出發(fā),以大小為常數(shù)v備用題的速度沿y軸正向運動,物體B從(–1,0)出發(fā),試建立物體B的運動軌跡應(yīng)滿足的微分方程及初始條件.①機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8/19/202313速度大小為2v,方向指向A,提示:設(shè)