線性代數(shù)矩陣的初等變換與初等矩陣課件

一、初等變換二、初等矩陣三、求逆矩陣的初等行變換法下頁第5節(jié)矩陣的初等變換與初等矩陣一、初等變換二、初等矩陣三、求逆矩陣的初等行變換法下頁第5節(jié)15.1初等變換

交換第i行與第j行記為ri

rj

.15-1-11-2131-93738-111-2131-937r2

r4———15-1-138-11

定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.例如下頁第5節(jié)矩陣的初等變換與初等矩陣5.1初等變換交換第i行與第j行記為ri2-113-1

交換第i列與第j列記為ci

cj

.15-1-11-2131-93738-11c1

c3———5-2-98-13711113例如下頁5.1初等變換定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.-113-1交換第i列與第j列記為c3

用數(shù)k乘以第i行記為kri

.15-1-11-2131-93738-114r2———44-8121-15-113-973-181例如下頁5.1初等變換定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.用數(shù)k乘以第i行記為kri.15-4

用數(shù)k乘以第i列記為kci

.15-1-11-2131-93738-114c3———-4412-415-11-231-97381例如下頁5.1初等變換定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.用數(shù)k乘以第i列記為kci.15-5

第i行的k倍加到第j行記為rj+kri

.15-1-11-2131-93738-11r3-3r1———15-1-11-2131-9370-724例如下頁5.1初等變換

定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第i行的k倍加到第j行記為rj+kri.6

第i列的k倍加到第j列記為cj+kci

.15-1-11-2131-93738-11c3+c1———024215-11-231-97381例如下頁5.1初等變換

定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第i列的k倍加到第j列記為cj+kci.7定義2

對(duì)單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣（或初等方陣）.

初等矩陣有下列三種：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

=E(2,4)

例如，下面是幾個(gè)4階初等矩陣：1000010000100001E=0001100000100100r2

r4———=E(2,4)

1000010000100001E=0001100000100100c2

c4———下頁5.2初等矩陣定義2對(duì)單位矩陣E施以一次初等變換得到的8=E(3(4))

1000010000100001E=00401000010000014r3———=E(3(4))

1000010000100001E=00401000100000014c3———下頁定義2

對(duì)單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣（或初等方陣）.

初等矩陣有下列三種：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

5.2初等矩陣?yán)?，下面是幾個(gè)4階初等矩陣：=E(3(4))1000010000100001E=0049=Er(2,4(k))

1000010000100001E=010k100000100001r2+kr4———=Ec(2,4(k))1000010000100001E=100000010001010kc2+kc4———下頁

定義2

對(duì)單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣（或初等方陣）.

初等矩陣有下列三種：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

5.2初等矩陣?yán)纾旅媸菐讉€(gè)4階初等矩陣：=Er(2,4(k))1000010000100001E10

初等矩陣都是可逆的，且它們的逆矩陣仍是初等矩陣.初等矩陣的可逆性E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)).

E(i(k))-1=E(i(k-1))；E(i,j)-1=E(i,j)；

這是因?yàn)椋醯染仃嚨男辛惺揭礊?,要么為-1,要么為k(k≠0).其逆陣分別為:下頁初等矩陣都是可逆的，且它們的逆矩陣仍是初等矩11

定理1

設(shè)A是一個(gè)m

n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n

階初等矩陣.E(1,2)A=

=與交換A的第一行(列)與第二行(列)所得結(jié)果相同.AE(1,2)==

例如，設(shè)下頁定理1設(shè)A是一個(gè)mn矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換12

定理1

設(shè)A是一個(gè)m

n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n

階初等矩陣.E(1(3))A=

=與A的第一行(列)乘以3所得結(jié)果相同.AE(1(3))==

例如，設(shè)下頁定理1設(shè)A是一個(gè)mn矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換13=與第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得結(jié)果相同.=例如，設(shè)E(1,3(2))A=

AE(1,3(2))=下頁

定理1

設(shè)A是一個(gè)m

n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n

階初等矩陣.=與第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得結(jié)果相同.=例如，145.3求逆矩陣的初等變換方法定理2

若n階矩陣A可逆，則可以通過初等行變換將A化為單位矩陣.

證：

因?yàn)锳可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全為0,不妨設(shè)a11≠0.將A的第一行元素乘以1/a11,再將變換后的第一行的(-ai1)倍加到第i行，i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化為零，得如下形式矩陣B1:由定理1知，

其中Fi是對(duì)應(yīng)初等矩陣.一直進(jìn)行下去，最終把A化成了單位矩陣E.

同理可得B2:

下頁

即B2的第二行第二列元素化為1,第二列的其它元素全化為零.5.3求逆矩陣的初等變換方法定理2若n階矩陣A可逆，則15

推論

方陣A可逆的充分必要條件是A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積.下頁

證（必要性）假設(shè)A可逆，由定理2，A經(jīng)有限次初等行變換可化為單位陣E,即存在初等矩陣

使

而

是初等矩陣.

（充分性）如果A可表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積，因?yàn)槌醯染仃嚩际强赡娴?，而可逆矩陣的乘積仍然可逆的，所以A是可逆矩陣.

推論方陣A可逆的充分必要條件是A可以表示為有限個(gè)16利用初等行變換求逆矩陣的方法(要求：熟練掌握)

構(gòu)造一個(gè)n×2n矩陣(A|E)，對(duì)矩陣(A|E)作初等行變換，當(dāng)左部A變成單位矩陣E時(shí)，右部單位矩陣E則變成A-1.即下頁若,則可知，當(dāng)通過初等行變換將矩陣A變成E時(shí)，經(jīng)過同樣的變換把E變成了A-1.于是有即一般地有利用初等行變換求逆矩陣的方法(要求：熟練掌握)構(gòu)造一個(gè)17解：例1.若矩陣A可逆,則矩陣(A|E)可經(jīng)初等行變換化為(E|A-1).下頁解：例1.若矩陣A可逆,則矩陣(A|E)可經(jīng)初等行變18-0.5r2???-r3下頁-0.5r2???-r3下頁19例2.

設(shè)

求解從而解矩陣方程AX＝B則得X＝A-1B例2.設(shè)求解從而解矩陣方程AX＝B20例3．

求矩陣A=的逆矩陣.12-301210-512-301210-5100010001解：10110001-2-21002-2301—r2-2r1r3+3r110110001-2-2100027-21—r3-2r2100-2.51-0.50105-110027-21—r2+r3r1-0.5r3—100-2.51-0.50105-110013.5-10.5，-2.553.51-1-1-0.510.5A-1=.r3

0.5下頁(AE)=例3．求矩陣A=21一、矩陣的秩的概念二、初等變換求矩陣的秩下頁第6節(jié)矩陣的秩一、矩陣的秩的概念二、初等變換求矩陣的秩下頁第6節(jié)矩陣的22

定義1設(shè)A是m╳n矩陣，在A中任取k行k列(1≤k≤min{m,n})，位于k行k列交叉位置上的k2個(gè)元素，按原有的次序組成的k階行列式，稱為A的k階子式.如矩陣

第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素組成的一個(gè)二階子式為

三階子式共有4個(gè)

下頁6.1矩陣的秩的概念第6節(jié)矩陣的秩定義1設(shè)A是m╳n矩陣，在A中任取k行k列(1≤23

定義2

若矩陣A有一個(gè)r階子式不為零，而所有r+1階子式(如果存在的話)全等于零，則r稱為矩陣A的秩，記作r(A).規(guī)定零矩陣的秩為零.

易見：（1）若A是m╳n矩陣，則r(A)≤min{m,n}.

（2）若m╳n矩陣A中有一個(gè)r階子式不等于零，則r(A)≥r；若所有r+1階子式全等于零，則r(A)≤r.

（3）r(A)=r(AT).（4）r(kA)=r(A)，k≠0.（5）對(duì)n階方陣A，若|A|≠0，則r(A)=n,稱A為滿秩矩陣;若|A|=0，則r(A)<n,稱A為降秩矩陣.結(jié)論：n階方陣A可逆的充分必要條件是A滿秩.下頁定義2若矩陣A有一個(gè)r階子式不為零，而所有r+1階子24例1.

求下列矩陣的秩.

解:C的最高階子式三階子式全部都等于零，即

但二階子式

所以

下頁例1.求下列矩陣的秩.解:C的最高階子式三階子式全25例2.

求下列矩陣的秩.

解:顯然

C所有的四階子式和五階子式全都等于零但存在三階子式

所以

下頁例2.求下列矩陣的秩.解:顯然C所有的四階子式和五