微分方程模型數(shù)學(xué)建模課件

數(shù)學(xué)建摸課程數(shù)學(xué)建摸課程1微分方程建模的思想和方法微分方程建模的簡(jiǎn)單實(shí)例微分方程的平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性主要內(nèi)容

案例

第三章微分方程方法22023年8月18日微分方程建模的思想和方法微分方程建模的簡(jiǎn)單實(shí)例微32023年8月18日

第三章微分方程方法微分方程是研究函數(shù)變化規(guī)律的有力工具，有著廣泛和實(shí)際的應(yīng)用。微分方程建模主要有以下三種方法：根據(jù)已知規(guī)律建模利用高等數(shù)學(xué)中的微元分析法建模利用模擬近似法建模32023年8月5日第三章微分方程方法微分方程是研究42023年8月18日開普勒三大定律：太陽系每一顆行星的軌道皆以太陽為一焦點(diǎn)的橢圓;行星的向徑在單位時(shí)間掃過的面積是一個(gè)常數(shù)；行星運(yùn)動(dòng)周期之平方與平均距離之立方成正比。《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)》2005.1242023年8月5日開普勒三大定律：太陽系每一顆行星的軌道皆動(dòng)態(tài)模型描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過程分析對(duì)象特征的變化規(guī)律預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來性態(tài)研究控制對(duì)象特征的手段根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目的和問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程52023年8月18日動(dòng)態(tài)模型描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過程分析對(duì)象特征62023年8月18日

一、微分方程建模的思想和方法

凈變化率=輸入率-輸出率當(dāng)我們用微觀的眼光觀察實(shí)際問題時(shí)一般遵循如下的模式（1）根據(jù)已知規(guī)律：利用數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、化學(xué)等經(jīng)過實(shí)踐檢驗(yàn)的規(guī)律和定理；（2）利用微元法（3）利用模擬近似法：在社會(huì)科學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)的學(xué)科中一些現(xiàn)象的規(guī)律性我們不太清楚，需要在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際現(xiàn)象。如此建立的模型從數(shù)學(xué)上求解或分析后再與實(shí)際對(duì)比，觀察看這個(gè)模型是否能夠模擬、近似這些現(xiàn)象。62023年8月5日一、微分方程建模的思想和方法凈變化率72023年8月18日

1.估計(jì)死亡時(shí)間

二、微分方程建模的簡(jiǎn)單實(shí)例在凌晨1時(shí)警察發(fā)現(xiàn)一具尸體，測(cè)得尸體的溫度是29℃，當(dāng)時(shí)環(huán)境的溫度是21℃.1h后尸體溫度下降到27℃，若人體正常的體溫是37℃，估計(jì)死亡時(shí)間。72023年8月5日1.估計(jì)死亡時(shí)間二、微分82023年8月18日

二、微分方程建模的簡(jiǎn)單實(shí)例

1.估計(jì)死亡時(shí)間解方程得：T(t)=29時(shí)，t=2.4094這時(shí)求得的t是死者從死亡時(shí)間到尸體被發(fā)現(xiàn)所經(jīng)歷的時(shí)間。因此可得，死者的死亡時(shí)間大致在前一天晚上的10：35.82023年8月5日二、微分方程建模的簡(jiǎn)單實(shí)例92023年8月18日

2.湖水的污染問題如圖所示是一個(gè)容量為2000m3的一個(gè)小湖的示意圖，通過小河A，水以0.1m3/s的速度流入，以相同的流量湖水經(jīng)過B流出。在上午11:05時(shí)，因交通事故一個(gè)盛有毒性化學(xué)物質(zhì)的容器傾翻，在圖中X點(diǎn)處注入湖中。在采取緊急措施后，于11:35事故得到控制，但數(shù)量不詳?shù)幕瘜W(xué)物質(zhì)Z已瀉入湖中，初步估計(jì)Z的量在5～20m3之間。請(qǐng)建立一個(gè)模型，通過它來估計(jì)湖水污染程度隨時(shí)間的變化并估計(jì)：（1）湖水何時(shí)到達(dá)污染高峰？（2）何時(shí)污染程度可降至安全水平（不大于0.05%）。

二、微分方程建模的簡(jiǎn)單實(shí)例ABXABX小湖示意圖92023年8月5日2.湖水的污染問題如圖所示是102023年8月18日

2.湖水的污染問題

二、微分方程建模的簡(jiǎn)單實(shí)例102023年8月5日2.湖水的污染問題二、微112023年8月18日

2.湖水的污染問題

二、微分方程建模的簡(jiǎn)單實(shí)例112023年8月5日2.湖水的污染問題二、微Z取不同值時(shí)的濃度C（30）和時(shí)間TZ/m3C(30)/m3T/min50.00239552100.00478738150.00717918200.009561014Z取不同值時(shí)的濃度C（30）和時(shí)間TZ/m3C(30)/m3132023年8月18日

三、微分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性微分方程所描述的是物質(zhì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，實(shí)際中，人們只能考慮影響該過程的主要因素，而忽略次要的因素，這種次要的因素稱為干擾因素。干擾因素在實(shí)際中可以瞬時(shí)地起作用，也可持續(xù)地起作用。

問題：在干擾因素客觀存在的情況下，即干擾因素引起初值條件或微分方程的微小變化，是否也只引起對(duì)應(yīng)解的微小變化？有限區(qū)間的穩(wěn)定性、無限區(qū)間的穩(wěn)定性、漸進(jìn)穩(wěn)定性、擾動(dòng)下的穩(wěn)定性。實(shí)際中，對(duì)于很多問題的微分方程模型并不需要求其一般解，而是需要求其某種理想狀態(tài)下的解，這種解稱為平衡點(diǎn)。132023年8月5日三、微分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性微142023年8月18日

三.微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

１．平衡點(diǎn)的概念142023年8月5日三.微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性152023年8月18日

三.微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

１．平衡點(diǎn)的概念問題：如何來斷別平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性呢？152023年8月5日三.微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性162023年8月18日

三.微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

１．平衡點(diǎn)的概念162023年8月5日三.微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性172023年8月18日

三.微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性2.一階方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性為什么？172023年8月5日三.微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性182023年8月18日

三.微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性3.平面方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性182023年8月5日三.微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性192023年8月18日

三.微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性3.平面方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性192023年8月5日三.微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性202023年8月18日

戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題

１．問題的提出由于國(guó)與國(guó)之間和地區(qū)之間的種族歧視、民族矛盾、利益沖突、歷史遺留問題等原因造成了局部戰(zhàn)爭(zhēng)和地區(qū)性武裝沖突時(shí)有發(fā)生，有的長(zhǎng)期處于敵對(duì)狀態(tài)，必然會(huì)導(dǎo)致敵對(duì)雙方的軍備競(jìng)賽，軍事裝備現(xiàn)已成為決定戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)的重要因素．軍事裝備:軍事實(shí)力的總和，主要包括武器裝備、電子信息裝備、軍事兵力、軍事費(fèi)用等．

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的特點(diǎn)是多兵種的協(xié)同作戰(zhàn)，根據(jù)不同兵種的特點(diǎn),在不同的區(qū)域參加戰(zhàn)斗，都對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)果產(chǎn)生一定的影響．202023年8月5日戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題１．212023年8月18日

戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題

１．問題的提出現(xiàn)在要求建立數(shù)學(xué)模型討論的問題：

(1)分析研究引起軍備競(jìng)賽的因素，并就諸多因素之間的相互關(guān)系進(jìn)行討論；

(2)在多兵種的作戰(zhàn)條件下，對(duì)作戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)勢(shì)進(jìn)行評(píng)估分析.（3）分析研究作戰(zhàn)雙方的兵力消耗，并預(yù)測(cè)初始總兵力和戰(zhàn)斗力變化對(duì)作戰(zhàn)結(jié)果的影響。212023年8月5日戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題１．222023年8月18日

戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題2.模型的假設(shè)222023年8月5日戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題232023年8月18日

戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3.模型的建立與求解232023年8月5日戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3242023年8月18日

戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3.模型的建立與求解特征方程為：p>0,q>0穩(wěn)定，q<0不穩(wěn)定.242023年8月5日戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3252023年8月18日

戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3.模型的建立與求解252023年8月5日戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3262023年8月18日

戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3.模型的建立與求解262023年8月5日戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3272023年8月18日

戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3.模型的建立與求解272023年8月5日戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3282023年8月18日

戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3.模型的建立與求解問題(2):在多兵種的作戰(zhàn)條件下，對(duì)作戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)勢(shì)進(jìn)行評(píng)估分析.

282023年8月5日戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3292023年8月18日

戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3.模型的建立與求解292023年8月5日戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3302023年8月18日

戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3.模型的建立與求解蘭徹斯特多兵種作戰(zhàn)模型．302023年8月5日戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3312023年8月18日

戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3.模型的建立與求解問題(3)作為思考題,參見蘭徹斯特作戰(zhàn)模型.312023年8月5日戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題3322023年8月18日

SARS(嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥,俗稱:非典型肺炎)是21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病．SARS的爆發(fā)和蔓延給部分國(guó)家和地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了一定的影響，人們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測(cè)和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性．傳染病模型

１．問題的提出322023年8月5日SARS(嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥,描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻預(yù)防傳染病蔓延的手段按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型

傳染病模型1.問題的要求2023年8月18日33描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預(yù)報(bào)傳染病已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為

模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?2023年8月18日34已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為

2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為

,且使接觸的健康人致病建模

~日接觸率SI模型2023年8月18日35每個(gè)每天可使λs(t)個(gè)健康人變成病人模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時(shí)刻

(日接觸率)tm

Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大2023年8月18日36日接觸率λ表示該地區(qū)的衛(wèi)生水平，λ越小表示衛(wèi)生水平越高。所以改善保健設(shè)施、提高衛(wèi)生水平可以推遲傳染病高潮的到來。模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時(shí)刻(日模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為

~日治愈率建模

~日接觸率1/

~感染期

~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。2023年8月18日37模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感i0i0接觸數(shù)

=1～閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/

i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例？idi/dt01

>10ti

>11-1/

i0t

1di/dt<02023年8月18日38di/dt=0的穩(wěn)定平衡點(diǎn)i0i0接觸數(shù)=1～閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率

,

接觸數(shù)

=/建模需建立的兩個(gè)方程2023年8月18日39模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SSIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)2023年8月18日40對(duì)于病愈免疫移出者SIR模型無法求出在相平面消去dt相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析2023年8月18日41消去dt相軌線的定義域相軌線11si0si101DSIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減

相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S02023年8月18日42si101DSIR模型相軌線及其分析傳染SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段

(日接觸率)衛(wèi)生水平

(日治愈率)

醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/

的估計(jì)降低s0提高r0提高閾值1/

降低

(=

/

)

,

群體免疫2023年8月18日43SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水SIR模型被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1

i0

0,s0

1

小,s0

1提高閾值1/

降低被傳染人數(shù)比例xs0-1/

=

2023年8月18日44SIR模型被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1452023年8月18日SARS的傳播問題

１．問題的提出

請(qǐng)你對(duì)SARS的傳播建立數(shù)學(xué)模型，要求說明怎樣才能建立一個(gè)真正能夠預(yù)測(cè)，以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠信息的模型，這樣做的困難在哪里？并對(duì)疫情傳播所造成的影響做出估計(jì).452023年8月5日SARS的傳播問題１．問題462023年8月18日

實(shí)際中，SARS的傳染過程為：“易感人群→病毒潛伏人群→