大學(xué)物理常用高數(shù)基礎(chǔ)知識課件

補高等數(shù)學(xué)：

矢量（向量）代數(shù)

（同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版第7章第一、二節(jié)）一、矢量（向量）的概念及其表示

1.標(biāo)量與矢量（向量）

代數(shù)量：有大小和正負(fù)（溫度、時刻、電流、功、勢能……）既有大小又有方向（力、速度、加速度、力矩、動量……）標(biāo)量算術(shù)量（質(zhì)量、時間間隔、動能……）矢量：補高等數(shù)學(xué)：矢量（向量）代數(shù)

（同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第2.矢量的表示（1）圖示：有（方）向線段：長度是矢量的大小箭頭方向是矢量的方向（3）矢量的平行：a//b（箭頭指向可相同或相反）AB（1）（3）（4）矢量的相等：

——大小、方向（含指向）都相同所以，一般情況下，矢量可以任意平行移動，也稱自由矢量。（2）符號：粗（黑）體或加箭頭：a，b或（5）負(fù)矢量：-a（與a大小相同、方向（指向）相反）（4）（5）2.矢量的表示（1）圖示：有（方）向線段：長度是矢量的大小箭3.矢量的模：4.單位矢量：，僅用來表示方向。所以：注：空間直角坐標(biāo)系X、Y、Z軸的單位矢量分別為5.矢量的坐標(biāo)分解式（分量式）矢徑（向徑：從原點出發(fā)的矢量）一般地：其中，ax、ay、az或x、y、z分別稱為矢量在X、Y、Z軸上的分量或投影。而注意：分量是代數(shù)量（可正可負(fù)）！恒為正所以，矢徑或其末端的點P都可以用三個坐標(biāo)（x，y，z）來表示.則稱分矢量（分向量）3.矢量的模：4.單位矢量：，僅用來表示方向。注：空間直由

若P點（或矢徑）在YOZ平面上，則x=0；若P點（或矢徑）在ZOX平面上，則y=0；

若P點（或矢徑）在XOY平面上，則z=0。

若P點（或矢徑）在x軸上，則y=z=0；

若P點（或矢徑）在y軸上，則x=z=0；

若P點（或矢徑）在z軸上，則x=y=0。

若P點為原點，則x=y=z=0或P（x，y，z）可知：由若P點（或矢徑）在YOZ平面上6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向大?。菏笍降拇笮。阂话愕兀悍较颍悍较蚪?/p>

、

、

或方向余弦：7.已知矢量的模和方向角（或方向余弦）求矢量的分量注意：因為方向角可以是銳角或鈍角，因此方向余弦可正可負(fù)，所以矢量的分量也可正可負(fù)，是代數(shù)量。6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向大?。菏笍降拇笮。阂话愕囟?、矢量的加減法1.矢量相加的平行四邊形法則（見圖7-3）2.矢量相加的三角形法則（見圖7-2）3.多個矢量相加的多邊形法則（見圖7-5）5.矢量的減法因為：由矢量相加的三角形法則可得：即：從同一點出發(fā)作減矢量和被減矢量，則從減矢量的末端引向被減矢量末端的矢量即為所求的矢量。4.矢量的加法所滿足的運算規(guī)律（1）交換律：（2）結(jié)合律：二、矢量的加減法1.矢量相加的平行四邊形法則（見圖7-3）26.矢量加減的坐標(biāo)表示式6.矢量加減的坐標(biāo)表示式三、矢量與數(shù)量的乘法1.定義：模（大?。悍较虍?dāng)λ>0時（可視為）方向與相同當(dāng)λ

<0時（可視為）方向與相反2.滿足的運算規(guī)律（1）與另一個數(shù)量相乘的結(jié)合律：3.矢量與數(shù)量相乘的坐標(biāo)表示式（2）分配律：三、矢量與數(shù)量的乘法1.定義：模（大?。悍较虍?dāng)λ>0時（四、兩矢量的標(biāo)量積（標(biāo)積、數(shù)量積、點積、點乘）1.定義：引入：恒力對作直線運動的物體所作的功：一般地：θ2.兩個推論：（1）（2）若兩非零矢量，則反之，若，則必有注意；“點”不能掉！四、兩矢量的標(biāo)量積（標(biāo)積、數(shù)量積、點積、點乘）1.定義：引入3.標(biāo)量積滿足的運算規(guī)律（1）交換律：（2）分配律：（3）滿足一定條件下的結(jié)合律（略）4.標(biāo)量積的坐標(biāo)（分量）表示式3.標(biāo)量積滿足的運算規(guī)律（1）交換律：（2）分配律：（3）滿一般地：大小：方向：垂直于所決定的平面，指向按的順序，用右（手）螺旋法則確定。五、兩矢量的矢量積（矢積、向量積、叉積、叉乘）1.定義：如力矩：大?。毫厥鞘噶?，方向沿轉(zhuǎn)軸，指向按的順序，用右（手）螺旋法則確定。注意；“×”不能掉！抽象出矢量積：大小：方向見上d

一般地：大?。悍较颍捍怪庇谒鶝Q定的平面，2.兩個推論：（1）（2）若兩個非零矢量，則：反之，若，則必有：3.滿足或不滿足的運算規(guī)律（1）不滿足交換律，而是：（2）滿足分配律：（3）滿足如下的結(jié)合律：2.兩個推論：（1）（2）若兩個非零矢量，4.矢量積的坐標(biāo)（分量）表示法和行列式表示法或4.矢量積的坐標(biāo)（分量）表示法和行列式表示法或5.矢量積（大小）的幾何意義以為鄰邊的平行四邊形的面積。作業(yè)：﹡閱讀《高等數(shù)學(xué)》P289—307﹡整理筆記或小結(jié)（點乘、叉乘對照）5.矢量積（大?。┑膸缀我饬x以為鄰邊的平行復(fù)習(xí)：標(biāo)量積和矢量積標(biāo)量積滿足交換律：大小：方向：垂直于所決定的平面，指向按的順序，用右（手）螺旋法則確定。矢量積不滿足交換律，而是：標(biāo)量積：矢量積：復(fù)習(xí)：標(biāo)量積和矢量積標(biāo)量積滿足交換律：大?。悍较颍捍怪庇谖⒎e分

（《高等數(shù)學(xué)》第二章第一、二、三、五節(jié)；

第四章第一、五節(jié)；第五章第一、二節(jié)）第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)的概念

實例：直線運動的速度直線取為s軸，則質(zhì)點在任一時刻t的位置s

（即動點的坐標(biāo)）是時間t的函數(shù)，記為：如勻速直線運動：若設(shè)對勻加速直線運動：若設(shè)0s則有則有微積分

（《高等數(shù)學(xué)》第二章第一、二、三、五節(jié)；下面求某一時刻t0的（瞬時）速度勻速運動：瞬時速度等于平均速度非勻速運動：

t0到t

時間段的平均速度：0st0ts0欲求t0的瞬時速度，可令t接近于t0，則此時平均速度的極限值就是t0時刻的瞬時速度。即稱為s對t的導(dǎo)數(shù)即：瞬時速度等于質(zhì)點的位置（坐標(biāo)）對時間的導(dǎo)數(shù)一般地，若y是x的函數(shù)，y

對x的導(dǎo)數(shù)：下面求某一時刻t0的（瞬時）速度勻速運動：瞬時速度等于平均速注：（1）在某一個點的導(dǎo)數(shù)記為：（2）導(dǎo)數(shù)的意義：函數(shù)隨自變量的變化率。二、常用的導(dǎo)數(shù)公式：注：（1）在某一個點的導(dǎo)數(shù)記為：（2）導(dǎo)數(shù)的意義：函數(shù)隨自變?nèi)⒑瘮?shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)三、函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例如：作簡諧振動的質(zhì)點的位置x是時間t的函數(shù)：四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例如：作簡諧振動的質(zhì)點的位置x是時例1求勻速直線運動的速度：若設(shè)求勻加速直線運動的速度：若設(shè)則：則有0sts0所以速度：例2所以速度：例1求勻速直線運動的速度：求勻加速直線運動的速度：則：則有0五、高階導(dǎo)數(shù)例如：直線運動的速度是時間的導(dǎo)數(shù)而加速度又是速度隨時間是變化率即導(dǎo)數(shù)，所以可得：或這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù)。一般地，y對x的二階導(dǎo)數(shù)為：類似地，可定義三階、四階…導(dǎo)數(shù)，統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。例：勻速直線運動加速度五、高階導(dǎo)數(shù)例如：直線運動的速度是時間的導(dǎo)數(shù)而加速度又是速度又如，勻加速直線運動：例1：例2：又如，勻加速直線運動：例1：例2：六、微分1.微分的概念：dy、dx（以及前面的ds、dt）都叫做微分。所以，也稱微商（二微分之商）ll'dlll'dl<0冷縮：注：物理上也常指一個量（分成無限多份）其中（無限小的）一份：lLdl微分的含義：微小（無限?。┰隽?。如熱脹：六、微分1.微分的概念：dy、dx（以及前面的ds、dt）都2.微分和導(dǎo)數(shù)的幾何意義dx、dy分別是曲線上某點x、y坐標(biāo)的微小增量；而導(dǎo)數(shù)是曲線這一點處切線的斜率。3.函數(shù)的微分公式（等于導(dǎo)數(shù)公式乘以自變量的微分）（見P115—116）4.微分的運算法則、和、差、積、商的微分、復(fù)合函數(shù)的微分（與導(dǎo)數(shù)類似，見P116）（見P115圖2-11）2.微分和導(dǎo)數(shù)的幾何意義dx、dy分別是曲線上某點x、yP117例3：例4：例5：P117例3：例4：例5：第二節(jié)積分一、不定積分的概念原函數(shù)：設(shè)F（x）的導(dǎo)（函）數(shù)是f（x），即那么，F(xiàn)（x）就稱為f（x）的原函數(shù)。例如即積分是已知導(dǎo)（函）數(shù)求原函數(shù)，而求導(dǎo)（微分）是已知原函數(shù)求導(dǎo)（函）數(shù)，所以積分是微分的逆運算。所以，定義不定積分：+C第二節(jié)積分一、不定積分的概念那么，F(xiàn)（x）就稱為f（x例1：例2：例1：例2：例3：求作勻速直線（取為s軸，且t=0時，

s=s

0）的質(zhì)點在任意時刻t的位置。解：即s是v的原函數(shù)，所以：代入上式，得C=s0，所以例3：求作勻速直線（取為s軸，且t=0時，解：即s是v的原二、常用積分表（詳見P186）例：二、常用積分表（詳見P186）例：三、定積分

1.定積分的意義求連續(xù)分布的無限多個無限小部分之和。幾何意義：求曲邊梯形的面積（即曲線所圍成的圖形的面積）?？偯娣e：n越多，小面積之和越接近曲邊梯形的面積，當(dāng)，量變到質(zhì)變：求法：分成很多個（n個）小矩形，任一小矩形的面積Oxyab稱積分表達(dá)式，a稱積分的下限，b稱積分的上限。其中三、定積分

1.定積分的意義求連續(xù)分布的無限多個無限小部分之又如：求變速直線運動（v=v（t））的路程：

將路程分成很多小段，每一小段內(nèi)可近似看成勻速：0s令求極限，即得總路程為：又如：求變速直線運動（v=v（t））的路程：

將路程分成2.定積分的計算——牛頓-萊布尼茨公式若f（x）的一個原函數(shù)是F（x），則定積分：例1：例2：例3：2.定積分的計算——牛頓-萊布尼茨公式若f（x）的一個原函P238例5求汽車制動距離。已知：解：勻變速P238例5求汽車制動距離。已知：解：勻變速四、積分的性質(zhì)（常數(shù)可提出積分號外）（交換上下限變號）四、積分的性質(zhì)（常數(shù)可提出積分號外）（交換上下限變號）（6）平均值的求法——定積分中值定理如平均速度：一般地，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的平均值：所以，平均值的求法：注意：一般