材料力學(xué)講義六二

材料力學(xué)講授:顧志榮第五章平面圖形的幾何性質(zhì)

同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院

顧志榮材料力學(xué)第五章平面圖形的幾何性質(zhì)

一靜矩、形心及相互關(guān)系二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑三平行移軸定理四轉(zhuǎn)軸定理五形心主軸、形心主矩第五章平面圖形的幾何性質(zhì)

為什么要研究平面圖形的幾何性質(zhì)材料力學(xué)的研究對(duì)象為桿件,桿件的橫截面是具有一定幾何形狀的平面圖形。桿件的承載能力,不僅與截面大小有關(guān),而且與截面的幾何形狀有關(guān)。第五章平面圖形的幾何性質(zhì)

課堂小實(shí)驗(yàn)相同的材料、相同的截面積,截面的幾何形狀不同,承載能力差異很大。第五章平面圖形的幾何性質(zhì)

研究平面圖形幾何性質(zhì)的方法:化特殊為一般實(shí)際桿件的橫截面第五章平面圖形的幾何性質(zhì)

平面圖形的幾何性質(zhì)包括:形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主慣性軸、主慣性矩等第五鈴章憑平面盛圖形廢的幾艦何性她質(zhì)一溪靜矩得、形成心及土相互不關(guān)系z(mì)yOdAyz圖形紙對(duì)于y軸的虹靜矩圖形裂對(duì)于z軸的益靜矩第五拋章蓬平面抵圖形狹的幾株何性沙質(zhì)/一敲靜矩叔、形城心及媽相互減關(guān)系定義AzyOdAyzzyOzCCyC分力撥之矩削之和合力爽之矩第五豪章納平面套圖形場(chǎng)的幾吸何性肢質(zhì)/一娃靜矩輕、形篩心及湯相互謀關(guān)系計(jì)算靜矩支與形湖心坐顫標(biāo)之頑間的來(lái)關(guān)系已知賣靜矩朗可以繁確定乏圖形禽的形嗽心坐撲標(biāo)已知護(hù)圖形擴(kuò)的形按心坐若標(biāo)可榴以確秧定靜商矩第五閑章奸平面拿圖形歌的幾村何性沒(méi)質(zhì)/一繞靜矩惱、形嗚心及雄相互緞關(guān)系第五巡壽章朝平面音圖形餐的幾閘何性駁質(zhì)/一盤靜矩佩、形北心及士相互度關(guān)系組合樓圖形默的靜蕩矩與幕形心刪計(jì)算性質(zhì):①靜矩喉是對(duì)溝某一用坐標(biāo)散軸定怪義的,靜矩彼與坐域標(biāo)軸誤有關(guān)②截奴面對(duì)副某一貍軸的慣靜矩妥等于糠零,則該兼軸必選通過(guò)聞形心蒼。③截面魂對(duì)通燈過(guò)形釋心軸愧的靜愧矩恒美等于陵零。啊即:第五描章偷平面解圖形壞的幾裂何性維質(zhì)/一度靜矩鬼、形協(xié)心及裹相互毀關(guān)系決定以因素:靜矩礙與截往面尺扛寸、纖形狀飽、軸號(hào)的位蒜置有照關(guān)。數(shù)值今范圍:可以勸為正蝴、或拼負(fù)、利或等鋒于零育。單吵位:慢mm3、cm3、m3第五希章約平面壯圖形量的幾槍何性奔質(zhì)/一影靜矩掠、形線心及衣相互毒關(guān)系例題帝試倍確定司圖示鈔梯形點(diǎn)面積構(gòu)的形情心位恐置，憶及其候?qū)Φ赘柽叺陌欖o矩外。解：圖形據(jù)對(duì)底占邊的拜靜矩形心抄位置abhzyOC1C2第五帶章尺平面抱圖形唉的幾助何性似質(zhì)/一毀靜矩恨、形冬心及持相互圖關(guān)系第五盡章祖平面將圖形堪的幾率何性扣質(zhì)二切慣鑒性矩哀、慣陳性積貝、極憂慣性獨(dú)矩與輪慣性獵半徑－圖形堂對(duì)y軸的慣性遇矩－圖形紀(jì)對(duì)z軸的慣性恢矩－圖形斧對(duì)y雪z軸的慣性謝積－圖形迫對(duì)O點(diǎn)的極慣繁性矩zyOdAyzA第五鹽章猛平面波圖形嘆的幾幅何性觀質(zhì)/二醋慣局性矩述、慣棍性積蛇、極刺慣性譜矩與質(zhì)慣性策半徑定義珍：－圖形執(zhí)對(duì)y軸的慣性云半徑－圖形袍對(duì)z軸的慣性鍛半徑zyOdAyz第五迷章衫平面術(shù)圖形月的幾壟何性域質(zhì)/二濤慣側(cè)性矩高、慣就性積凈、極唇慣性勢(shì)矩與劣慣性堤半徑定義癢：第五燦章皮平面沒(méi)圖形效的幾蹈何性章質(zhì)/二摟慣配性矩沙、慣妥性積坡、極怎慣性載矩與紡慣性盲半徑zyOdAyz計(jì)算酷：zyOdAyzA第五潑章棕平面償圖形五的幾桶何性婦質(zhì)/二膝慣遞性矩債、慣梨性積亡、極競(jìng)慣性校矩與滑慣性釘半徑慣性執(zhí)矩與洞極慣溝性矩蟻之間漏的關(guān)皂系：性撿質(zhì)梨：1、慣監(jiān)性矩謠和慣區(qū)性積讓是對(duì)木一定仍軸而懶定義買的，算而極孔慣矩袋，是街對(duì)點(diǎn)居定義恰的。2、任何瓣平面侍圖形著對(duì)于榴通過(guò)鈔其形啄心的笛對(duì)稱朝軸和貢與此殊對(duì)稱預(yù)軸垂愛(ài)直的福軸的逐慣性穴積為束零。3、對(duì)椒于面京積相躺等的騎截面找，截句面相謝對(duì)于兇坐標(biāo)蠻軸分鬼布的國(guó)越遠(yuǎn)退，其愉慣性忠矩越春大。第五脆章窯平面宰圖形刷的幾橡何性先質(zhì)/二化慣盛性矩周、慣滋性積課、極撕慣性喚矩與已慣性架半徑?jīng)Q定青因素:截面椅形狀魯、尺款寸、邊軸的孔位置餃。數(shù)值喉范圍:慣性鎮(zhèn)矩、極慣壘性矩討和慣桌性半惑徑恒濟(jì)為銹正;慣性駕積可量以為剖正、咬為負(fù)版、為普零。單運(yùn)位:慣性懲矩、倚極慣汗性矩醬和慣咳性積剩的單牢位相同,均為mm4、cm4、m4慣性庫(kù)半徑:勤mm、cm、m第五嫌章邁平面碼圖形閣的幾已何性奏質(zhì)/一碰靜矩帝、形曉心及情相互椒關(guān)系例題呈矩鉤形截濱面慣性矩的計(jì)算hozybydy同理：第五逼章北平面去圖形罰的幾費(fèi)何性蟻質(zhì)/一抬靜矩堤、形怎心及旗相互形關(guān)系例題舞圓截條面慣掉性矩涌、極雞慣性技矩計(jì)天算ddACyz第五資章胳平面煤圖形托的幾弟何性繳質(zhì)/二巷慣冶性矩肢、慣刊性積診、極卷慣性確矩與燃慣性設(shè)半徑第五鵝章舅平面失圖形墨的幾議何性險(xiǎn)質(zhì)三揉平準(zhǔn)行移挪軸定圣理移軸糊定理是指疲圖形謠對(duì)于被互相專平行晴軸的破慣性而矩、其慣性哄積之竿間的陷關(guān)系互。即籌通過(guò)謀已知鐘圖形使對(duì)于敲一對(duì)鍛坐標(biāo)勵(lì)的慣擦性矩忘、慣裹性積督，求芒圖形欄對(duì)另屬一對(duì)配坐標(biāo)亮的慣賴性矩魄與慣菜性積發(fā)。第五糕章?lián)芷矫娑d圖形躲的幾掃何性罰質(zhì)/三仍平艷行移信軸定縮慧理zcycyzOadA在所收有相爺互平爛行的輕坐標(biāo)母軸中降，圖奶形對(duì)脖形心沙軸的萌慣性兔矩為齊最小炎，但點(diǎn)圖形拒對(duì)形服心軸冠的慣侮性積費(fèi)不一校定是圖最小第五肝章槽平面立圖形趣的幾匹何性個(gè)質(zhì)/三峽平舟行移運(yùn)軸定猜理應(yīng)用倒平行愉移軸楊定理綿應(yīng)注點(diǎn)意的尾問(wèn)題兩平睛行軸布中，紫必須雜有一揮軸為幕形心鋤軸,截面亞對(duì)任宇意兩孕平行軸挎的慣扮性矩壩間的繩關(guān)系,應(yīng)通誘過(guò)平今行的伯形心漁軸慣紫性矩倆來(lái)?yè)Q著算。第五批章遮平面猴圖形誼的幾咱何性權(quán)質(zhì)/三靠平濕行移兔軸定匠理例題座試斧求圖盡示三拍角形臥：（1）對(duì)z軸靜錫矩；柳（2）對(duì)z軸的蓬慣性膝矩；碗（3）對(duì)z1軸的介慣性咳矩。zb/2b/2h/2h/2Oyz1ydyzc例題頃圖劍示為鄰三個(gè)府等直伸徑圓偵相切六的組鍋合問(wèn)喚題,求對(duì)結(jié)形心強(qiáng)軸zc的慣故性矩.O1O2O3zcO2、O3到zc軸的岸距離O1到zc軸的懂距離四動(dòng)轉(zhuǎn)鵝軸定繡理第五貸章蹤蝶平面驢圖形訓(xùn)的幾流何性儲(chǔ)質(zhì)所謂轉(zhuǎn)軸選定理是研妙究坐非標(biāo)軸紗繞原喝點(diǎn)轉(zhuǎn)塌動(dòng)時(shí)記，圖妨形對(duì)樹(shù)這些敗坐標(biāo)僅軸的滑慣性作矩和雀慣性嘆積的捐變化矛規(guī)律煤。第五誘章榜平面榨圖形醫(yī)的幾疏何性放質(zhì)/四吳轉(zhuǎn)瘦軸定并理zyOz1y1

dAyzy1z1已知：Iy、Iz、Iyz、

求：Iy1、Iz1、Iy1z1第五紅章蹲平面恥圖形志的幾甜何性炮質(zhì)/四彈轉(zhuǎn)唇軸定贏理zyOz1y1

dAyzy1z1第五鍵章猾平面慈圖形擇的幾竭何性襲質(zhì)/四償轉(zhuǎn)授軸定毅理圖形齒對(duì)一攻對(duì)垂擋直軸串的慣兔性矩完之和昏與轉(zhuǎn)盡軸時(shí)的角朽度無(wú)果關(guān)，獅即在稠軸轉(zhuǎn)延動(dòng)時(shí)修，其糾和保生持不俯變。第五昏章膠平面歌圖形燥的幾課何性提質(zhì)/四欺轉(zhuǎn)盤軸定箱理zyOz0y0

0

0dAyzy0z0y0、z0－通過(guò)O點(diǎn)的幸主軸第五嚴(yán)章兇平面暈圖形盆的幾滑何性瘋質(zhì)/四燃轉(zhuǎn)爛軸定浩理當(dāng)

改變?cè)聲r(shí)，Iyl、Izl的數(shù)榴值也俊發(fā)生妖變化詠，而當(dāng)

=

0時(shí)，僚二者沃分別秀為極港大值猾和極食小值醒。Iy0、Iz0－主慣性械矩zyOz0y0

0

0dAyzy0z0第五竭章緞平面飄圖形弟的幾揮何性輔質(zhì)/四仙轉(zhuǎn)賞軸定摩理主慣塑性矩功：第五枕章塌平面蘭圖形狗的幾船何性蛙質(zhì)/四絨轉(zhuǎn)桃軸定長(zhǎng)理對(duì)于醉任意獲一點(diǎn)窯（圖段形內(nèi)趨或圖緞形外針）都絲式有主走軸，而通纖過(guò)形賀心的綁主軸泡稱為形心州主軸，圖鉛形對(duì)調(diào)形心主軸兩的Iy慣性誦矩稱往為形積心主粱慣性山矩，染簡(jiǎn)稱形心主矩。工隱程計(jì)攝算中蒼有意票義的針是形魄心主混軸與勞形心主矩倦。第五敲章堅(jiān)平面需圖形倘的幾照何性叔質(zhì)/四歲轉(zhuǎn)貍軸定闊理五住形橋心主擁軸、陜形心堅(jiān)主矩第五仔章完平面確圖形抗的幾嗓何性岸質(zhì)第五論章崗平面譯圖形絹的幾彈何性童質(zhì)/五酸形硬心主獵軸、遮形心筋主矩1主慣澇性軸秒、主肥慣性獻(xiàn)矩對(duì)于僻任何闖形狀詞的截唐面,總可攔以找毀到一朋對(duì)特亭殊的航直角解坐標(biāo),使截拍面對(duì)鑼于這銅一對(duì)澡坐標(biāo)菊軸的栽慣性米積等芒于零騎。慣月性積置等于室零的職一對(duì)絲式坐標(biāo)蚊軸就甚稱為賀該截炕面的植主慣攏性軸,而截秧面對(duì)脆于主堅(jiān)慣性身軸的乎慣性稻矩稱愁為主罰慣性稻矩。第五勸章餃平面皂圖形米的幾麥何性碼質(zhì)/五蛾形愿心主陽(yáng)軸、氏形心穗主矩2形心熊主慣蟻性軸招、形克心主捧慣性糊矩當(dāng)一勸對(duì)主掌慣性到軸的霜交點(diǎn)不與截糊面的炎形心著重合山時(shí),他們量就被牲稱為墊該截薯面的啞形心冠主慣鋸性軸推。而邀截面里對(duì)于涂形心干主慣養(yǎng)性軸脊的慣腔性矩呆就稱惠為形箏心主砍慣性訂矩。第五愧章既平面惱圖形從的幾壟何性壩質(zhì)/五縫形綠心主咳軸、濕形心叉主矩(1訊)如果平面攪圖形絕有一狡條對(duì)孫稱軸,則此諒軸必蕉定是停形心鼓主慣佩性軸,而另啞一條吃形心主慣處性軸補(bǔ)通過(guò)邪形心,并與胖此軸詞垂直.觀察諒法確間定形井心主洞軸的無(wú)位置:第五領(lǐng)章慘平面服圖形常的幾她何性用質(zhì)/五堵形匯心主寇軸、淹形心忍主矩(2傍)如果他平面餃圖形追有兩亮條對(duì)右稱軸,則此扔兩軸俘都為馳形心頓主慣魄性軸.第五催章興平面羽圖形由的幾夸何性杰質(zhì)/五四形附心主眠軸、欄形心密主矩(3他)如果趕平面秒圖形大具有護(hù)三條蘭或更煎多條咳對(duì)稱娘軸,那么迅通過(guò)胞證明突后可棉以知衣道:過(guò)該笨圖形窄形心咬的任忽何軸堤都是搖形心崗主慣鵲性軸,而且馳該平嘴面圖犁形對(duì)用于其乳任一獸形心劉慣性饞軸的妻慣性澆矩都廳相等。第五蟲章恢平面趟圖形奴的幾置何性攻質(zhì)/五匯形垃心主伙軸、更形心蹲主矩對(duì)于脾沒(méi)有吧對(duì)稱勺軸的療截面,其形料心主抖慣性蓮軸的頭位置沈通過(guò)轉(zhuǎn)軸戚定理確定。第五披章偏平面箭圖形渾的幾柏何性妥質(zhì)/五址形勉心主莫軸、烘形心救主矩(1躁)矩形粱截面健的形路心主趁慣性她矩常見(jiàn)張截面閥的形安心主浪矩:(2嚷)圓形給截面乎的形聯(lián)心主厭慣性標(biāo)矩例題：求圖示截面形心軸YC和ZC的慣性矩解：1.取參考軸Z2.求形心則a1＝2鳳cm待，a2＝2語(yǔ)cm抽。3.求對(duì)形心軸的慣性矩Zz2zcz1yc1cc26cm2cm6cm2cmy1y2a2a1yc12（yc）在下婆列關(guān)占于平云面圖瘡形的困結(jié)論腰中，忘（紡）邀是錯(cuò)品誤的鐘。A.圖形盞的對(duì)貓稱軸嬸必定搭通過(guò)邁形心漿；B.圖形以兩個(gè)街對(duì)稱福軸的拆交點(diǎn)屢必為給形心治；D.使靜求矩為滿零的迷軸必當(dāng)為對(duì)宜稱軸銅。C.圖形扛對(duì)對(duì)榆稱軸則的靜造矩為兆零；D在平逐面圖輛形的妖幾何赴性質(zhì)顏中，鞏（顧）的崖值可致正、抱可負(fù)敞、也圍可為筍零。A.靜矩羽和慣螞性矩疾；B.極慣栗性矩循和慣亞性矩賄；C.慣性后矩和確慣性伙積；D.靜矩懼和慣撲性積抽。D課程趴練習(xí)里題圖示湖任意驚形狀遼截面摟，它拐的一撇個(gè)形絨心軸zc把截何面分掌成Ⅰ和Ⅱ兩部殼分，慰在以跌下各揪式中電，（農(nóng)）一聚定成布立。ⅠⅡZCC課程偏練習(xí)抽題

圖a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面積。設(shè)它們對(duì)對(duì)