2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理第一講兩個(gè)計(jì)數(shù)原理排列與組合課件理

第十一章

計(jì)數(shù)原理第一講兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合要點(diǎn)提煉

兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)1名稱完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類加法計(jì)數(shù)原理有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法.N=

種不同的方法.分步乘法計(jì)數(shù)原理需要兩個(gè)步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法.N=

種不同的方法.m+nm×n

注意

以上兩個(gè)原理可以推廣到多類或多步的情形.

兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)1

原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理聯(lián)系兩個(gè)計(jì)數(shù)原理都是對完成一件事的方法種數(shù)而言.區(qū)別一每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事.每步依次完成才算完成這件事(每步中的每一種方法都不能獨(dú)立地完成這件事).區(qū)別二各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的,既不能重復(fù)也不能遺漏.各步之間是相互依存的,缺一不可.辨析比較兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別

排列與組合考點(diǎn)21.排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列.組合合成一組.名稱定義排列數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同

的個(gè)數(shù),用符號

表示.

組合數(shù)

的個(gè)數(shù),用符號

表示.

排列組合2.排列數(shù)與組合數(shù)的概念

排列與組合考點(diǎn)23.排列問題與組合問題的識別方法名稱識別方法排列若交換某兩個(gè)元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響,則是排列問題,即排列問題與選取元素順序

.組合若交換某兩個(gè)元素的位置對結(jié)果沒有影響,則是組合問題,即組合問題與選取元素順序

.有關(guān)無關(guān)

排列與組合考點(diǎn)24.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)(n,m∈N*,且m≤n)公式性質(zhì)

×××√××√√考向掃描

兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用考向11.典例(1)[2016全國卷Ⅱ][理]如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(

)A.24 B.18 C.12 D.9(2)[2017天津高考][理]用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有

個(gè).(用數(shù)字作答)

B1080

兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用考向1

兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用考向1方法技巧1.利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理解決問題的步驟第一步,審清題意,弄清要完成的事件是怎樣的;第二步,分析完成這件事應(yīng)采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種;第三步,弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù);第四步,根據(jù)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理計(jì)算出完成這件事的方法種數(shù).2.在綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí),一般是先分類再分步,但在分步時(shí)可能又會用到分類加法計(jì)數(shù)原理.注意

(1)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確是分類還是分步.(2)分類要做到“不重不漏”.(3)分步要做到“步驟完整”.

兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用考向12.變式[2021福建漳州三模]《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作,其中記載了“勾股圓方圖”(如圖),用以證明勾股定理.現(xiàn)提供4種不同顏色給圖中5個(gè)區(qū)域涂色,規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域顏色不同,則不同的涂色方法種數(shù)為(

)A.36 B.48 C.72 D.96C

兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用考向1

排列問題考向23.典例有3名男生、4名女生,在下列各條件下,求不同的排列方法總數(shù).(1)排成前、后兩排,前排3人,后排4人;(2)全體排成一排,女生必須站在一起;(3)全體排成一排,男生互不相鄰;(4)全體排成一排,其中甲不站最左邊,也不站最右邊;(5)全體排成一排,其中甲不站最左邊,乙不站最右邊.

排列問題考向2

排列問題考向2

排列問題考向2直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算.優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置.捆綁法相鄰問題捆綁處理,即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列,同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列.插空法不相鄰問題插空處理,即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素的排列空位中.先整體,后局部“小集團(tuán)”排列問題中,先整體后局部.除法對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.間接法對于分類過多的問題,一般利用正難則反,等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法.方法技巧求解排列問題的常用方法

排列問題考向24.變式

(1)[2022深圳市模擬]某場演出有5個(gè)節(jié)目,若甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目間的先后順序已確定,則不同的排法有 (

)A.120種 B.80種 C.20種 D.48種(2)[2021安徽宿州質(zhì)檢]高三年級一層樓有A,B,C,D,E,F六個(gè)班排隊(duì)吃飯,A班必須排在第一位,且D,E班不能排在一起,則這六個(gè)班排隊(duì)吃飯的不同方案共有 (

)A.20種 B.56種 C.72種 D.40種CC

排列問題考向2

排列問題考向2

組合問題考向35.典例(1)[2021上海春季高考]某人某天運(yùn)動的總時(shí)長需要大于等于60分鐘,現(xiàn)有如下表所示的五項(xiàng)運(yùn)動可以選擇,則共有

種運(yùn)動組合方式.23A運(yùn)動B運(yùn)動C運(yùn)動D運(yùn)動E運(yùn)動7點(diǎn)~8點(diǎn)8點(diǎn)~9點(diǎn)9點(diǎn)~10點(diǎn)10點(diǎn)~11點(diǎn)11點(diǎn)~12點(diǎn)30分鐘20分鐘40分鐘30分鐘30分鐘(2)[2018全國卷Ⅰ][理]從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有

種.(用數(shù)字填寫答案)

16

組合問題考向3

組合問題考向3

組合問題考向3方法技巧

1.組合問題常見的兩類題型(1)“含”與“不含”的問題:“含”,則先將這些元素取出,再由剩下的元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中選取.(2)“至少”與“最多”的問題:解這類題的關(guān)鍵是理解“至少”與“最多”這兩個(gè)詞的含義.用直接法或間接法都可以求解這類題,當(dāng)用直接法處理較復(fù)雜時(shí),可用間接法處理.2.解決組合問題的幾種常見的方法:正難則反法、列舉法、隔板法和分類討論法.

組合問題考向36.變式男運(yùn)動員6名,女運(yùn)動員4名,其中男、女隊(duì)長各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比賽,在下列情形中各有多少種選派方法?(1)男運(yùn)動員3名,女運(yùn)動員2名;(2)至少有1名女運(yùn)動員;(3)隊(duì)長中至少有1人參加;(4)既要有隊(duì)長,又要有女運(yùn)動員.

組合問題考向3

組合問題考向3

分組與分配問題考向4角度1整體均分問題7.典例教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育,在全國重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生,并在其畢業(yè)后將其分到相應(yīng)的地區(qū)任教.現(xiàn)需將6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校去任教,有

種不同的分派方法.90

分組與分配問題考向4角度2部分均分問題8.典例

將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人,每人至少1本的不同分法共有

種.(用數(shù)字作答)1560

分組與分配問題考向4

分組與分配問題考向4角度3不等分問題9.典例若將6名教師分到3所中學(xué)任教,其中一所1名,一所2名,一所3名,則有

種不同的分法.360

分組與分配問題考向4整體均分組部分均分組解題時(shí)要注意重復(fù)的次數(shù)是均分組數(shù)的階乘數(shù),即若有m組元素個(gè)數(shù)相等,則分組時(shí)應(yīng)除以m!,分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組,就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù).不等分組只需先分組,后排列,注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等.方法技巧分組、分配問題的求解策略(1)分組問題屬于“組合”問題,常見的分組問題有以下三種.

分組與分配問題考向4(2)分配問題屬于“排列”問題,常見的分配問題有以下三種.①相同元素的分配問題,常用“隔板法”求解.對于將n個(gè)相同元素分成m組,每組至少一個(gè),求分配方案個(gè)數(shù)的問題,采用隔板法求解,步驟如下:(i)定個(gè)數(shù),確定元素的個(gè)數(shù)、分成的組數(shù);(ii)定空位,把所有元素一字排開,確定有幾個(gè)空,n個(gè)元素可形成(n-1)個(gè)空;(iii)插隔板,分成m組,每組至少一個(gè),只需放(m-1)個(gè)隔板,即從(n-1)個(gè)空中,選(m-1)個(gè)空放隔板;

分組與分配問題考向4

分組與分配問題考向410.變式(1)[2021全國卷乙][理]將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有(

)A.60種 B.120種 C.240種 D.480種(2)[2022安徽省名校聯(lián)考]某學(xué)校指派6名教師對數(shù)學(xué)試卷的選擇題、填空題和解答題這三種題型都進(jìn)行改編,且每種題型至多指派3名教師,每位老師只改編一種題型,則不同的分派方法種數(shù)是 (

)A.180 B.270 C.360 D.450(3)有5個(gè)大學(xué)保送名額,計(jì)劃分到3個(gè)班級,每班至少一個(gè)名額,有

種不同的分法.CD6

分組與分配問題考向4

分組與分配問題考向4

排列與組合的綜合應(yīng)用考向511.典例(1)[2022山東省濟(jì)寧市模擬]某單位組織了一場混合雙打比賽,現(xiàn)從6名男乒乓球愛好者和5名女乒乓球愛好者中各選2名進(jìn)行一場混合雙打比賽,則不同的選擇方法有 (

)A.150種 B.300種C.450種 D.600種(2)[2018浙江高考]從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字,一共可以組成

個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)1260B

排列與組合的綜合應(yīng)用考向5

排列與組合的綜合應(yīng)用考向5方法技巧排列組合綜合問題,一般采用先選后排策略.求解這類問題的關(guān)鍵點(diǎn)如下:1.確定分類,先確定是否需要分類,若需分類,分類時(shí)務(wù)必不重不漏;2.先“選”后“排”,對于每一類,均需要先選定元素,再將這些元素進(jìn)行排列;3.計(jì)數(shù),利用分步乘法計(jì)數(shù)原理,得出每一類的排列數(shù),利用分類加法計(jì)數(shù)原理,將各類排列數(shù)相加.

排列與組合的綜合應(yīng)用考向512.變式(1)某校畢業(yè)典禮上安排