基于gamma分布的多重分形小波模型

基于gamma分布的多重分形小波模型

1對(duì)多重分形特性的模擬1994年，le爵等人通過(guò)在etheret網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中的通信測(cè)量證明，現(xiàn)代數(shù)據(jù)通信業(yè)務(wù)中存在明顯的相似性現(xiàn)象。Feldmann等人進(jìn)一步的研究表明,雖然自相似特性從一定程度上描述了網(wǎng)絡(luò)通信流的復(fù)雜性,但實(shí)際網(wǎng)絡(luò)通信流并不是嚴(yán)格自相似的。因此僅僅用單一的Hurst參數(shù)來(lái)描述網(wǎng)絡(luò)流量的全部特性是不夠的多重分形特性對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能也有較大的影響,因此,對(duì)于有明顯多重分形特征的通信流建立多重分形模型具有重要意義。近年來(lái),許多學(xué)者針對(duì)網(wǎng)絡(luò)通信流的多重分形特性,提出了多重分形模型本文則是以普通的MWM2網(wǎng)絡(luò)流量特征的分析網(wǎng)絡(luò)流量的特性之所以復(fù)雜,是因?yàn)槠洳粌H在大時(shí)間尺度上表現(xiàn)出自相似和長(zhǎng)相關(guān)特性,同時(shí)在小時(shí)間尺度上又表現(xiàn)出多重分形特性。2.1漸進(jìn)二階自相似隨機(jī)過(guò)程的條件考察一個(gè)廣義平穩(wěn)過(guò)程X={X自相關(guān)函數(shù)記為:如果X={X由于二階自相似隨機(jī)過(guò)程的定義十分嚴(yán)格,通常實(shí)際中具有自相似的隨機(jī)過(guò)程都不是嚴(yán)格的二階自相似隨機(jī)過(guò)程,而屬于漸進(jìn)二階自相似隨機(jī)過(guò)程。如果滿足下面的條件:就稱其為漸進(jìn)二階自相似隨機(jī)過(guò)程。其中H?(0.5,1),稱為Hurst參數(shù),它表征相似性的強(qiáng)弱。H值越大,經(jīng)過(guò)時(shí)間平均后的隨機(jī)過(guò)程的方差減小速度越慢,業(yè)務(wù)流的相關(guān)性也就越強(qiáng)。估計(jì)H的方法很多,有方差-時(shí)間圖、R/S圖、Whittle方法等。2.2擴(kuò)大的單分形如前所述,在較大的時(shí)間尺度上,一般認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)流量是漸進(jìn)自相似的,但是在小的時(shí)間尺度上有所不同。為了量化在給定時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)流量的局部變化強(qiáng)弱,引入局部時(shí)間尺度的概念直觀上說(shuō),α(t)將單分形的分形指數(shù)(Hurst參數(shù))擴(kuò)展到多值,這樣需要了解α(t)取不同值的概率大小,才能了解流量的特征。用函數(shù)f(α)表示Holder指數(shù)為α的出現(xiàn)的頻率(概率)。f(α)被稱為多重分形頻譜。從前面的介紹可以發(fā)現(xiàn),單分形可以看作多重分形的特殊情況。如果對(duì)任意時(shí)刻Holder指數(shù)為常數(shù)H(Hurst參數(shù)),則簡(jiǎn)化為單分形。多重分形的構(gòu)造過(guò)程可以用層疊模型來(lái)描述,如圖1所示。對(duì)于一個(gè)分布于[0,1]區(qū)間上的集合I3在gama分布的基礎(chǔ)上建立了一系列波形小波模型3.1隨機(jī)信號(hào)函數(shù)多重分形小波模型是基于Haar小波變換的,Haar小波的母函數(shù)和尺度函數(shù)分別定義為:其中j是伸縮函數(shù),k是位移函數(shù),而且令U其中f(t)是隨機(jī)信號(hào),在文中指網(wǎng)絡(luò)業(yè)務(wù)流。很明顯,尺度系數(shù)與小波系數(shù)之間存在如下關(guān)系:MWM模型的核心思想就是用一個(gè)乘子A乘子AMWM模型的建模過(guò)程就可以描述為:首先得到最“粗”的尺度系數(shù)U3.2在gama分布的基礎(chǔ)上建立了一系列波形小波模型由3.1節(jié)介紹可知,對(duì)模型具有決定性影響的就是最“粗”的尺度系數(shù)“U3.2.1源流的尺度系數(shù)對(duì)于Haar小波而言,尺度系數(shù)等價(jià)于視頻流在某個(gè)尺度上的均值,因此考察最“粗”尺度的尺度系數(shù)的概率分布特性。選擇電影StarWars的一個(gè)片段本文描述的數(shù)據(jù)通信業(yè)務(wù)流都是指GOP序列。對(duì)StarWars的GOP序列數(shù)據(jù)作Haar小波變換,分解到第3級(jí),得到其第0級(jí)的最“粗”的尺度系數(shù)。普通的MWM對(duì)于最“粗”的尺度系數(shù)是采用正態(tài)分布進(jìn)行建模的。計(jì)算尺度系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)概率分布函數(shù),比較正態(tài)分布和Gamma分布分別擬合的結(jié)果,所得結(jié)果如圖2所示。由圖2可見(jiàn),相比較正態(tài)分布,Gamma分布能夠更好地?cái)M合源數(shù)據(jù)流的“粗”尺度系數(shù)分布,尤其很好地?cái)M合了尺度系數(shù)的邊緣分布。因此采用Gamma模型對(duì)最粗的尺度系數(shù)U最簡(jiǎn)單的Gamma模型為GAR(1)模型,定義為:其中ε由矩估計(jì)法,得出:由式(16),可知:所以Gamma分布的雙參數(shù)估計(jì)值為:參數(shù)ρ可由最小二乘法求出:這樣,就完成了對(duì)最“粗”的尺度系數(shù)U3.2.2尺度系數(shù)是非負(fù)的電為了確保輸出的結(jié)果是非負(fù)的,只要所有時(shí)間尺度的尺度系數(shù)是非負(fù)的就可以了。由式(14)可知,只要將A本文采用[-1,1]區(qū)間的Beta分布對(duì)乘子A其中B(·,·)為β函數(shù)。P3.2.3最粗時(shí)間尺度尺度系數(shù)的生成稱本文的模型為GammaMWM,其具體的建模步驟如下:(1)確定最“粗”的時(shí)間尺度,進(jìn)行Haar小波變換,運(yùn)用GAR(1)模型產(chǎn)生最“粗”時(shí)間尺度的尺度系數(shù)。(2)用[-1,1]上的Beta分布產(chǎn)生第j級(jí)的乘子A(3)如果已得到最“細(xì)”的尺度,則停止。輸出最“細(xì)”的尺度系數(shù)。否則令j=j+1,轉(zhuǎn)步驟(2)。4gamam模型特性檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)源與3.2.1節(jié)相同。首先分別由MWM模型和GammaMWM模型產(chǎn)生仿真通信業(yè)務(wù)流,然后與源數(shù)據(jù)流比較,分別檢驗(yàn)本文提出的GammaMWM模型的概率分布特性、自相似特性以及多重分形特性,并與傳統(tǒng)的MWM模型比較,驗(yàn)證本文GammaMWM模型的優(yōu)越性。4.1統(tǒng)計(jì)特性檢驗(yàn)首先驗(yàn)證GammaMWM模型數(shù)據(jù)對(duì)源數(shù)據(jù)流的擬合程度。圖3為模型數(shù)據(jù)與源數(shù)據(jù)流(StarWars)的概率密度分布圖;表1給出了模型數(shù)據(jù)與源數(shù)據(jù)流的各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)特性的比較。由表1的各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)特性,整體來(lái)看,本文GammaMWM模型無(wú)論在均值還是方差上,相比較MWM,更接近源數(shù)據(jù)流的統(tǒng)計(jì)特性。圖3中概率密度的比較,更加細(xì)節(jié)地突出了GammaMWM模型的優(yōu)點(diǎn)。GammaMWM模型相比較MWM仿真產(chǎn)生的數(shù)據(jù)流能夠更好地?cái)M合源數(shù)據(jù)流的分布,特別是能夠較好地?cái)M合數(shù)據(jù)流的邊緣分布。由圖3中可以看出,在區(qū)間[0,50000]之間的數(shù)據(jù),本文模型比MWM模型擬合的要好,這是因?yàn)?本文模型采用的是Gamma分布建模,而普通的MWM模型采用的是高斯分布建模,Gamma分布相比較高斯分布而言,更能很好地?cái)M合源數(shù)據(jù)流的邊緣分布。4.2自相關(guān)函數(shù)衰減特性本節(jié)驗(yàn)證GammaMWM模型是否能夠描述業(yè)務(wù)流的自相似特性。比較模型數(shù)據(jù)與源數(shù)據(jù)流的自相關(guān)函數(shù)曲線,如圖4所示。由圖4可見(jiàn),無(wú)論是本文GammaMWM模型還是MWM模型的數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)都是緩慢衰減的。仔細(xì)分析又發(fā)現(xiàn),隨著Lag的增大(Lag=50開始),MWM模型的自相關(guān)函數(shù)衰減加快,背離了源數(shù)據(jù)流的特性。而本文GammaMWM模型的自相關(guān)函數(shù)的衰減特性始終與源數(shù)據(jù)流相近,很好地?cái)M合了源數(shù)據(jù)流的自相似特性。表2則是計(jì)算出的各個(gè)數(shù)據(jù)流的自相關(guān)參數(shù)H?？梢钥闯?GammaMWM模型的H參數(shù)與源數(shù)據(jù)流比較接近。由此可見(jiàn),GammaMWM模型能夠較好地反應(yīng)源數(shù)據(jù)流的長(zhǎng)時(shí)相關(guān)特性。4.3多重分形仿真實(shí)驗(yàn)下面驗(yàn)證本文GammaMWM模型的多重分形特性。由2.1節(jié)討論可知,二階自相似隨機(jī)過(guò)程滿足式(3),對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)有:如果對(duì)隨機(jī)過(guò)程不同集合塊大小m下的方差取對(duì)數(shù),圖5則是以(lg(m),lg(Var(X下面用2.2節(jié)介紹的多重分形譜函數(shù)再次驗(yàn)證本文模型的多重分形特性。圖6給出了源數(shù)據(jù)流和模型產(chǎn)生的仿真數(shù)據(jù)的多重分形譜圖。由圖6可以看出,源數(shù)據(jù)流中α<1的區(qū)域較大,說(shuō)明源數(shù)據(jù)流含有較大的突發(fā)性。本文的模型與普通的MWM模型都體現(xiàn)了這種突發(fā)性。但是由圖6可以看出,在α>1的階段,本文的模型比MWM更接近源數(shù)據(jù)流的多重分形譜,能夠更好地描述業(yè)務(wù)流的多重分形特性。5基于gama分布的多重分形小波模型本文以普通的