求和方法（精講）（原卷版）

6.4求和方法（精講）一．公式法：直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))二．裂項(xiàng)相消法（1）分式：分為可拆成偶數(shù)個同類因式相乘（2）根式：利用平方差公式進(jìn)行有理化三．錯位相減法或四．分組轉(zhuǎn)化求和法(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和．(2)若an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)，))且數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．五．并項(xiàng)求和法：一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．五．倒序相加法如果一個數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解1．并項(xiàng)求和時不能準(zhǔn)確分組；2．用錯位相減法求和時易出現(xiàn)符號錯誤，不能準(zhǔn)確“錯項(xiàng)對齊”；3．在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和時，要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對稱性，即前面剩多少項(xiàng)，后面就剩多少項(xiàng)，且前后對應(yīng)項(xiàng)的符號相反．考法一裂項(xiàng)相消求和【例1-1】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的公差為正數(shù)，且，若分別是等比數(shù)列的前三項(xiàng)．(1)分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)之和．【例1-2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．【例1-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義：對于任意一個有窮數(shù)列，第一次在其每相鄰的兩項(xiàng)間都插人這兩項(xiàng)的和，得到的新數(shù)列稱之為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項(xiàng)間插入這兩項(xiàng)的和稱之為二階和數(shù)列，以此類推可以得到n階和數(shù)列，如的一階和數(shù)列是，設(shè)它的n階和數(shù)列各項(xiàng)和為．(1)試求的二階和數(shù)列各項(xiàng)和與三階和數(shù)列各項(xiàng)和，并猜想的通項(xiàng)公式（無需證明）；(2)若，求的前n項(xiàng)和，并證明：．2．（2023·福建廈門·廈門外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）數(shù)列中，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.4．（2023·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時，．若對于任意，有，求的取值范圍．考法二錯位相減求和【例2】（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足，（）.記(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【一隅三反】1．（2023·河北滄州·滄縣中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列的前項(xiàng)積為!.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．考法三分組轉(zhuǎn)化求和【例3-1】（2023秋·寧夏銀川·高三?？计谀┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【例3-2】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，．(1)求；(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【一隅三反】1．（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測）設(shè)為公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2023·廣東深圳·校考二模）已知是等差數(shù)列，，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記，求.3．（2023·河南開封·校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．考法四并項(xiàng)求和【例4-1】（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【例4-2】（2023春·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，當(dāng)時，(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求【例4-3】（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.【一隅三反】1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知的面積為1，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為線段，，的中點(diǎn)，記的面積為；點(diǎn)G，H，I分別為線段，，的中點(diǎn)，記的面積為；…；以此類推，第n次取中點(diǎn)后，得到的三角形面積記為．(1)求，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（2023·河南南陽·南陽中學(xué)校考三模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.考法五倒序相加求和【例5】（2023春·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱．小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法正是借助了高斯算法．已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)以上提示探求：若，則（

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