高中數(shù)學(xué)必修五考點(diǎn)及典型例題

高中數(shù)學(xué)必修五考點(diǎn)及典型例題必修五第一章：解三角形在本章中，我們需要掌握正弦定理和余弦定理的理解與應(yīng)用。下面列舉了一些常見的考點(diǎn)和題型。一、考點(diǎn)列舉：1.正弦定理的理解與應(yīng)用2.余弦定理的理解與應(yīng)用二、常考題型：1.運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決簡單三角形問題，如以下例題：例1：在三角形ABC中，已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5°，求三角形的面積S（精確到0.1cm2）。解：根據(jù)解三角形面積的知識，觀察已知條件，應(yīng)用S=1/2acsinB，得S=1/2×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm2)。例2：在三角形ABC中，證明a2+b2sin2A+sin2B/c2sin2C=1。解：根據(jù)正弦定理，可設(shè)a=b=c=k，sinAsinBsinC≠0，所以a2+b2k2sin2A+k2sin2B/c2k2sin2C=sin2A+sin2B/2sinC，化簡得證。2.解決一些復(fù)雜的三角形問題，如以下例題：例3：在三角形ABC中，已知三邊的長分別為a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm，求三角形的面積S（精確到0.1cm2）。解：根據(jù)余弦定理的推論，得cosB=(c2+a2-b2)/2ca≈0.7697，sinB=√(1-cos2B)≈0.6384。應(yīng)用S=1/2acsinB，得S≈1/2×41.4×38.7×0.6384≈511.4(cm2)。以上就是本章的考點(diǎn)和常考題型，希望大家能夠掌握好這些知識點(diǎn)，順利解決三角形問題。2、例1中，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32的方向航行54.0nmile后達(dá)到海島C。如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離？解法：在三角形ABC中，根據(jù)余弦定理和正弦定理求得航行方向和距離。3、例2中，測得建筑物AE的頂端A的仰角隨著前進(jìn)距離的增加而變化，根據(jù)已知仰角和距離，利用三角函數(shù)求得建筑物高度。其中解法一用正弦定理，解法二用方程組求解。需要注意的是，解法二中要注意列出正確的方程組。4、簡單數(shù)列求和的公式為Sn=n(a1+an)/2，其中n為項(xiàng)數(shù)，a1為首項(xiàng)，an為末項(xiàng)。需要注意的是，對于等比數(shù)列還需要判斷公比是否為1，對于等差數(shù)列還需要判斷首項(xiàng)和末項(xiàng)之和是否為0。例1：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=pn+q，其中p、q是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？分析：由等差數(shù)列的定義，要判定數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列，只要看an-an-1（n≥2）是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)。解：當(dāng)n≥2時(shí)，取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an-1與an（n≥2），有：an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p因此，{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)an=1=p+q，公差為p。例2：在等差數(shù)列{an}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3和a9。分析：要求一個(gè)數(shù)列的某項(xiàng)，通常情況下是先求其通項(xiàng)公式，而要求通項(xiàng)公式，必須知道這個(gè)數(shù)列中的至少一項(xiàng)和公差，或者知道這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)（知道任意兩項(xiàng)就知道公差）。本題中，只已知一項(xiàng)，和另一個(gè)雙項(xiàng)關(guān)系式，想到從這雙項(xiàng)關(guān)系式入手……解：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以有：a1+a6=a4+a3=9因此，a3=9-a4=9-7=2d=a4-a3=7-2=5a9=a4+(9-4)d=7+5*5=32所以，a3=2，a9=32。例3：已知a、b、c依次成等差數(shù)列，求證：a-bc、b-ac、c-ab依次成等差數(shù)列。分析：要證三個(gè)數(shù)a-bc、b-ac、c-ab成等差數(shù)列，只需證明等式2(b-ac)=(a-bc)+(c-ab)成立。證明：因?yàn)閍、b、c成等差數(shù)列，所以有b-a=c-b=d，c-a=2d（設(shè)其公差為d），a=b-d，c=b+d。因此，(a-bc)+(c-ab)=a+c-bc-ab=2b-2bc=2b(1-c)2(b-ac)=2b(1-c)所以，等式2(b-ac)=(a-bc)+(c-ab)成立，即a-bc、b-ac、c-ab依次成等差數(shù)列。例4：等差數(shù)列{an}中：（1）如果a5=11，a8=5，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）如果a1-a5+a9-a15+a17=117，求a3+a11。解：（1）因?yàn)閍5=11，a8=5，所以有：a5=a1+4da8=a1+7d解得d=-2，a1=17，因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an=17-2(n-1)。（2）將a1-a5+a9-a15+a17=117改寫為：(a1-a5)+(a9-a15)+a17=117(-4d)+(4d)+a17=117a17=117因此，a3=a1+2d=17+2*(-2)=13，a11=a1+10d=17+10*(-2)=-3，所以a3+a11=10。分析：要求等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要已知首項(xiàng)和公差/公比。解：（1）對于等差數(shù)列，已知第5項(xiàng)為11，首項(xiàng)與公差未知，可以列出以下方程組：$\begin{cases}a_5=a_1+4d=11\\a_8=a_1+7d=5\end{cases}$解方程組可得$a_1=19,d=-2$，因此該等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=21-2n$。（2）對于等比數(shù)列，已知$a_2+a_7=66$，$a_3a_6=128$，則可以列出以下方程組：$\begin{cases}a_2+a_7=a_1(q+q^6)=66\\a_3a_6=a_1^2q^5=128\end{cases}$將第一個(gè)方程中的$q+q^6$用$q$和$q^5$表示，即$q+q^6=q(1+q^5)$，代入第二個(gè)方程中，可得$a_1^2q^6(1+q^5)=128$，即$a_1q^3=2$。因此，$a_1=\dfrac{2}{q^3}$，代入第一個(gè)方程中，可得$q^3+\dfrac{2}{q^3}=\dfrac{66}{a_1}$。將左側(cè)的式子變形，得$(q+\dfrac{1}{q})^2-2=\dfrac{66}{a_1}$。又因?yàn)?(q+\dfrac{1}{q})^2\geq4$，所以$\dfrac{66}{a_1}\geq2$，即$a_1\leq33$。因此，可以枚舉$a_1$的取值，代入上式求解$q$，再根據(jù)$a_1$和$q$求出該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。注意：這種方法雖然比較繁瑣，但在一些特殊情況下（如$a_2+a_7=2a_4$），可能會有奇效。如果條件比較復(fù)雜，可以嘗試將其化簡或轉(zhuǎn)化為其他形式，以便更方便地求解。求得a1和d分別為-2和3，因此可以得到Sn的通項(xiàng)公式為Sn=n(-2+(n-1)3)/2=3n2-5n2+2n，進(jìn)而得到Tn=S1+S2+...+Sn=3(1+4+...+(3n2-5n2+2n))，利用等差數(shù)列求和公式可得Tn=n(3n2-n)/2。+(1-1/a),a3=a2(1-1/a),…，an=an-1(1-1/a)。這是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為1-1/a，公比為1-1/a。因此，通項(xiàng)公式為an=(1-1/a)^n。當(dāng)a=2時(shí)，要使酒精濃度低于10%，即an<0.1，代入通項(xiàng)公式得(1-1/2)^n<0.1，兩邊取對數(shù)得n>log0.1/log(1-1/2)≈4.32，因此至少要倒5次才能使酒精濃度低于10%。1、題目不清晰，無法理解文章意義，無法修改。2、刪除明顯有問題的段落。3、改寫每段話。原文：(1)，…，anan1(1)．a(chǎn)aaan構(gòu)成以首項(xiàng)a111，公比q11的等比數(shù)列，aa11n11nn1所以，ana1q(1)(1)(1)，aaa1n故第n次操作后酒精濃度是(1)a1n1給定數(shù)列$a_1=1-\frac{1}{n}$，$a_n=a_{n-1}(1-\frac{1}{n})$，則數(shù)列$\{a_n\}$構(gòu)成以首項(xiàng)$a_1$，公比$q=1-\frac{1}{n}$的等比數(shù)列。因此，$a_n=a_1q=(1-\frac{1}{n})^n$，第$n$次操作后酒精濃度為$(1-\frac{1}{n})^n$。原文：當(dāng)a2時(shí)，由an()，得n4.210因此，至少應(yīng)操作4次后，才能使酒精濃度低于10%．依題意，知原濃度為1，a11當(dāng)$a=2$時(shí)，由$a_n<\frac{1}{10}$，得$n\geq4$。因此，至少需要進(jìn)行4次操作，才能使酒精濃度低于10%。根據(jù)題意，原濃度為1，$a_1=1-\frac{1}{n}$。原文：二、常考題型1、了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，會利用不等式的性質(zhì)證明不等式★★例1已知a，b，c∈R+，求證：a3+b3+c3≥3abc．【分析】用求差比較法證明．證明：a3+b3+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[a2+b2+c2-ab-bc-ca]∵a，b，c∈R+，∴a+b+c＞．(c-a)]2≥即a3+b3+c3-3abc≥，∴a3+b3+c3≥3abc．★★例2已知a，b∈R+，求證aabb≥abba．【分析】采用求商比較法證明．證明：∵a，b∈R+，∴abba＞★★★例3已知a、b、c是不全等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc．【分析】采用綜合法證明，利用性質(zhì)a2+b2≥2ab．證明：∵b2+c2≥2bc，a＞，∴a(b2+c2)≥2abc．①同理b(c2+a2)≥2abc②c(a2+b2)≥2abc③∵a，b，c不全相等，∴①，②，③中至少有一個(gè)式子不能取“=”號∴①+②+③，得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc．綜上所述，當(dāng)a＞，b＞，必有aabb≥abba．2、通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系x28x20★★例1不等式的解集為R,求實(shí)數(shù)m的取值范圍2mx2(m1)x9m4解：當(dāng)時(shí)，并不恒成立；當(dāng)時(shí)，則得★★例2、若函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍二、常考題型1、掌握不等式的關(guān)系及其性質(zhì)，能夠利用不等式的性質(zhì)證明不等式。例如，已知$a,b,c\inR^+$，證明$a^3+b^3+c^3\geq3abc$，可以采用求差比較法證明。證明過程如下：$a^3+b^3+c^3-3abc=[(a+b)^3+c^3]-3a^2b-3ab^2-3abc=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$。因?yàn)?a,b,c\inR^+$，所以$a+b+c>0$，$(c-a)^2\geq0$，即$a^2+b^2+c^2\geqab+bc+ca$，因此$a^3+b^3+c^3-3abc\geq0$，即$a^3+b^3+c^3\geq3abc$。類似地，對于不等式$aabb\geqabba$，可以采用求商比較法證明，對于不等式$a(b^2+c^2)+b(