結(jié)構(gòu)優(yōu)化導(dǎo)重準(zhǔn)則的理論與實(shí)踐

結(jié)構(gòu)優(yōu)化導(dǎo)重準(zhǔn)則的理論與實(shí)踐

0總結(jié)0.1反復(fù)迭代、算法、成像結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)采用計(jì)算機(jī)優(yōu)化技術(shù)和現(xiàn)代結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，優(yōu)化結(jié)構(gòu)，解決變形、壓力、剛度、強(qiáng)度、基頻率等結(jié)構(gòu)性能與結(jié)構(gòu)重量（質(zhì)量）成本的矛盾。結(jié)構(gòu)優(yōu)化包括以下兩個(gè)對稱模型。(1)在設(shè)計(jì)資源有限的條件下,盡量提高結(jié)構(gòu)性能.(2)在性能滿足要求前提下,盡量減少設(shè)計(jì)資源.結(jié)構(gòu)優(yōu)化的實(shí)質(zhì)是合理分配設(shè)計(jì)資源,如果設(shè)計(jì)資源是重量,則其實(shí)質(zhì)是重量在幾何空間及構(gòu)件間的合理分配.結(jié)構(gòu)優(yōu)化需要進(jìn)行“性能分析—產(chǎn)生新方案—結(jié)構(gòu)再分析—……”的反復(fù)迭代計(jì)算,逐步逼近最優(yōu)設(shè)計(jì).導(dǎo)重準(zhǔn)則的作用就是在優(yōu)化迭代中以“導(dǎo)重”來引導(dǎo)設(shè)計(jì)資源的分配,達(dá)到“各設(shè)計(jì)變量對應(yīng)的重量與導(dǎo)重成正比”的最優(yōu)狀態(tài).結(jié)構(gòu)優(yōu)化的主要特點(diǎn)是:作為目標(biāo)函數(shù)或約束函數(shù)的結(jié)構(gòu)性能是設(shè)計(jì)變量的高次非線性隱式函數(shù),要通過結(jié)構(gòu)有限元分析等現(xiàn)代數(shù)值分析方法才能求得,因而結(jié)構(gòu)優(yōu)化與一般機(jī)械優(yōu)化相比具有更高難度,須采用更有效的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法有兩類:數(shù)學(xué)規(guī)劃法和準(zhǔn)則法.一般的數(shù)學(xué)規(guī)劃包括:無約束規(guī)劃、線性規(guī)劃、二次規(guī)劃、非線性規(guī)劃、離散規(guī)劃等,其尋優(yōu)計(jì)算是根據(jù)當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)函數(shù)值與梯度等局部性態(tài)決定尋優(yōu)方向與步長,難以放開腳步,導(dǎo)致計(jì)算量大,收斂慢,優(yōu)化迭代前幾步效果不明顯.數(shù)學(xué)規(guī)劃法適用于求解變量數(shù)目較少的顯函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)與運(yùn)籌學(xué)優(yōu)化.對于機(jī)械中的單個(gè)構(gòu)件、運(yùn)動機(jī)構(gòu)與某些零部件優(yōu)化,由于目標(biāo)、約束函數(shù)可表為設(shè)計(jì)變量顯函數(shù),數(shù)學(xué)規(guī)劃尚可使用,但工程結(jié)構(gòu)的性能是設(shè)計(jì)變量的高次非線性隱函數(shù),需要通過計(jì)算量較大的有限元分析等數(shù)值分析才能求得,導(dǎo)致每次迭代需要較大計(jì)算量,而工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)希望能通過少數(shù)幾次迭代即獲得滿意解,并不追求沒有工程意義的絕對最優(yōu)解,所以一般的數(shù)學(xué)規(guī)劃已難適用.為更有效地求解工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化,發(fā)展出一類序列數(shù)學(xué)規(guī)劃法,其共性是將代表結(jié)構(gòu)性能的高次非線性隱函數(shù)表為非線性次數(shù)較低的顯式近似函數(shù)或容易計(jì)算的顯式非線性近似函數(shù),再利用一般數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解,將其解作為新設(shè)計(jì)點(diǎn)完成一次迭代,再對新設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析與敏度分析,構(gòu)成新的近似優(yōu)化問題,反復(fù)迭代,逐步逼近原優(yōu)化問題最優(yōu)解.由于求解顯式近似優(yōu)化問題無需進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析與敏度分析,計(jì)算量大大減少.序列非線性規(guī)劃法還可利用已有的多個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)分析與敏度分析信息,提高近似函數(shù)的近似程度,以提高優(yōu)化計(jì)算效率.利用多點(diǎn)信息的近似函數(shù)一度成為結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究熱點(diǎn)0.2.2導(dǎo)重準(zhǔn)則與導(dǎo)重法準(zhǔn)則法的關(guān)鍵是有預(yù)定的衡量結(jié)構(gòu)最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn),其優(yōu)點(diǎn)在于意義明確,收斂快,計(jì)算量小,迭代前幾步就可獲得較大改善.準(zhǔn)則法分為感性準(zhǔn)則法(滿應(yīng)力法等)與理性準(zhǔn)則法.感性準(zhǔn)則法是根據(jù)力學(xué)感性知識給出最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn),由于沒有從數(shù)學(xué)條件極值理論出發(fā)給出,對絕大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化,都不能得到最優(yōu)解.理性準(zhǔn)則法的準(zhǔn)則方程組是按照數(shù)學(xué)規(guī)劃的極值條件直接推導(dǎo)的.國內(nèi)外流行的虛功準(zhǔn)則法將結(jié)構(gòu)位移采用虛功表達(dá)的準(zhǔn)則法稱為虛功準(zhǔn)則法.虛功準(zhǔn)則法屬于理性準(zhǔn)則法,應(yīng)能找到最優(yōu)解,但其準(zhǔn)則方程成立的條件是:載荷對設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)必須為零,無論是靜定,還是靜不定結(jié)構(gòu),只要載荷隨設(shè)計(jì)變量變化,即對設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)不為零,虛功準(zhǔn)則方程均不能成立.這就使得對于航空航天器結(jié)構(gòu)、船舶車輛結(jié)構(gòu)、大型精密天線結(jié)構(gòu)、高速運(yùn)行的機(jī)械設(shè)備等以自重或慣性載荷為主要載荷的結(jié)構(gòu)優(yōu)化,由于準(zhǔn)則不準(zhǔn),虛功準(zhǔn)則法得到的解離最優(yōu)解相差甚遠(yuǎn).不能考慮結(jié)構(gòu)載荷對設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù),是虛功準(zhǔn)則無法彌補(bǔ)的先天性缺陷.八十年代前期,在天線結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究中,為克服虛功準(zhǔn)則法無法考慮自重載荷對設(shè)計(jì)變量導(dǎo)數(shù)的缺陷,作者提出了在有限設(shè)計(jì)資源條件下盡可能提高結(jié)構(gòu)性能優(yōu)化問題的導(dǎo)重準(zhǔn)則與導(dǎo)重法本文在以往工作基礎(chǔ)上,從結(jié)構(gòu)優(yōu)化基本形式出發(fā)給出了更加規(guī)范、更具一般性的導(dǎo)重與導(dǎo)重準(zhǔn)則數(shù)學(xué)表達(dá)與力學(xué)意義,使得導(dǎo)重準(zhǔn)則可適用于所有與結(jié)構(gòu)重量成線性關(guān)系的變量優(yōu)化,包括以截面積為變量的桿系結(jié)構(gòu)優(yōu)化、以厚度為變量的各類板(平面應(yīng)力板、抗彎板及一般板殼)結(jié)構(gòu)優(yōu)化和桿板組合結(jié)構(gòu)優(yōu)化以及以相對密度1優(yōu)化重量限制結(jié)構(gòu)的指南1.1拉格朗日函數(shù)具有單個(gè)性態(tài)約束———重量約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型為:式中設(shè)計(jì)向量X不但可包括桿截面積與板厚等構(gòu)件尺寸變量,還可包括幾何形狀變量與拓?fù)渥兞康?目標(biāo)函數(shù)f(X)可為任意結(jié)構(gòu)性態(tài)函數(shù),如精度、基頻、安全度、應(yīng)變能等,W(X)與W構(gòu)造拉格朗日函數(shù):式(1)所示優(yōu)化問題最優(yōu)解的庫恩-塔克必要條件是:在最優(yōu)解X即當(dāng)X1.2結(jié)構(gòu)優(yōu)化導(dǎo)重準(zhǔn)則從式(4)出發(fā)推導(dǎo)結(jié)構(gòu)最優(yōu)準(zhǔn)則,通過迭代控制保證庫恩-塔克條件(1)-(5)全部得到滿足.先以桁架為例考慮結(jié)構(gòu)重量是設(shè)計(jì)變量線性函數(shù)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化.對具有N將上式寫為:稱為第n截面變量的容重,其中L而桁架結(jié)構(gòu)總重量為:引入約束條件求乘子λ:對于式(1)所示具有重量不等式約束W(X)≤W將式(17)代入式(13),得:上式具有簡捷明確的意義:“最優(yōu)結(jié)構(gòu)應(yīng)按各組構(gòu)件導(dǎo)重正比分配各組構(gòu)件的重量”.這就是結(jié)構(gòu)優(yōu)化導(dǎo)重準(zhǔn)則的基本闡述.由式(13)、(18)可得:此即求解最優(yōu)桁架結(jié)構(gòu)桿截面變量的準(zhǔn)則方程組.對于所有重量與設(shè)計(jì)變量成線性關(guān)系的結(jié)構(gòu)優(yōu)化,包括以截面積A當(dāng)設(shè)計(jì)變量為結(jié)構(gòu)幾何形狀變量b不再是不隨設(shè)計(jì)變量變化的常數(shù),這時(shí):稱為具有第n幾何形狀變量的第n組構(gòu)件的廣義重量,式中G上標(biāo)k、k+1表示迭代次數(shù).由于迭代收斂時(shí),設(shè)計(jì)變量幾乎不再變化,式(22)與以下各式均為準(zhǔn)確等式,即在最優(yōu)點(diǎn)X導(dǎo)重得:回代式(21),得:為結(jié)構(gòu)第n幾何形狀變量的廣義重量,可見上式仍廣義地符合“最優(yōu)結(jié)構(gòu)應(yīng)按照導(dǎo)重正比分配重量”的導(dǎo)重準(zhǔn)則.最后得到求解結(jié)構(gòu)幾何形狀變量的準(zhǔn)則方程組:1.3迭代解1.3.1結(jié)構(gòu)的敏度分析計(jì)算在求解導(dǎo)重準(zhǔn)則方程組之前,必須先計(jì)算導(dǎo)重與容重.它們均由位移、應(yīng)力等結(jié)構(gòu)性態(tài)或重量、基頻等結(jié)構(gòu)特性對設(shè)計(jì)變量的敏度(導(dǎo)數(shù))構(gòu)成,故必須先進(jìn)行敏度分析計(jì)算.導(dǎo)重法的敏度分析可通過計(jì)算結(jié)構(gòu)分析剛度方程對設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)來實(shí)現(xiàn),這樣就可避免位移利用虛功表達(dá)不能準(zhǔn)確求導(dǎo)的弊病,保證結(jié)構(gòu)優(yōu)化導(dǎo)重法的嚴(yán)密性1.3.2步長因子迭代算法式(19)與式(26)所示導(dǎo)重準(zhǔn)則方程組可歸結(jié)為形如X=F(X)的非線性方程組,可采用形如X只要適當(dāng)選取步長因子,即可保證迭代計(jì)算很快趨于收斂.作者對步長因子迭代算法可以保證迭代收斂的原理、步長因子取值范圍和步長因子取值方法等進(jìn)行了詳細(xì)理論探討,對此將另文介紹.1.3.3變量范圍控制利用式(27)進(jìn)行導(dǎo)重法迭代尋優(yōu)計(jì)算中還必須進(jìn)行變量范圍控制,即要實(shí)現(xiàn)優(yōu)化模型式(1)中的變量范圍約束X利用式(27)進(jìn)行迭代計(jì)算中控制諸變量x(1)當(dāng)x即可保證式(3)的成立.這是因?yàn)閷?dǎo)重準(zhǔn)則方程組就是由它推得的.其幾何意義如圖1(a)所示.(2)當(dāng)φ即可保證式(3)的成立.其幾何意義如圖1(b)所示.(3)當(dāng)φ即可保證式(3)的成立.其幾何意義如圖1(c)所示.可見,通過變量范圍控制,可使最優(yōu)解完全滿足庫恩-塔克條件中第(1)、(5)條件.2指南和指南的含義和不合理2.1重量等差限制的實(shí)現(xiàn)2.1.1領(lǐng)導(dǎo)人的重要性先看桿截面積、板厚度等構(gòu)件尺寸設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)重G再考慮總導(dǎo)重G的意義,由于總導(dǎo)重G=∑G2.1.2等式約束與等式約束雖然總導(dǎo)重G>0時(shí),總重量W增加可使目標(biāo)函數(shù)f進(jìn)一步改善,但由于有重量約束W(X)≤W由式(14)和式(15)可以看出:準(zhǔn)則方程組是按重量等式約束W(X)=W2.1.3類變量p式(17)表明,總導(dǎo)重G總是與重量約束乘子λ同號,所以可從乘子λ取值正負(fù)與目標(biāo)函數(shù)f、約束函數(shù)的關(guān)系進(jìn)一步深入剖析此問題.(1)當(dāng)λ>0時(shí),由式(4)-f/W=λ>0,可知目標(biāo)函數(shù)負(fù)梯度-f與約束函數(shù)梯度W方向相同,如圖2(a)所示,最優(yōu)解X(2)當(dāng)λ<0時(shí),由式(4)λ=-▽f/▽W(xué)<0,可知X點(diǎn)上目標(biāo)函數(shù)負(fù)梯度-▽f與約束函數(shù)梯度W方向相反,如圖2(b)所示,無約束最優(yōu)點(diǎn)X(3)由于原優(yōu)化問題是不等式約束W(X)≤W2.1.4優(yōu)重設(shè)計(jì)的定義那么怎么才能在G<0,λ<0的情況下,使設(shè)計(jì)點(diǎn)X向W(X)<W這樣做,既減輕了結(jié)構(gòu)總重量,實(shí)現(xiàn)了不等式約束,又能使目標(biāo)函數(shù)進(jìn)一步改善,稱之為優(yōu)重設(shè)計(jì);否則結(jié)構(gòu)總重量保持不變,稱之為保重設(shè)計(jì),它對應(yīng)于W=W優(yōu)重設(shè)計(jì)與“目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值對約束界的導(dǎo)數(shù)等于該約束的負(fù)乘子”的優(yōu)化理論完全一致:當(dāng)λ<0時(shí),目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值對該重量約束界的導(dǎo)數(shù)為正,最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)總重量W比原重量約束界W2.2標(biāo)準(zhǔn)的合理性2.2.1提出問題導(dǎo)重準(zhǔn)則指出:最優(yōu)結(jié)構(gòu)應(yīng)按各組構(gòu)件的導(dǎo)重正比分配結(jié)構(gòu)重量.對桿截面變量,當(dāng)G2.2.2重量最優(yōu)分配模型為了更深刻地揭示導(dǎo)重準(zhǔn)則的意義,換個(gè)觀察角度:對式(1)所示的原優(yōu)化問題,將設(shè)計(jì)變量換為各組構(gòu)件重量:[W這正是尋求各組構(gòu)件重量最優(yōu)分配方案的數(shù)學(xué)模型,與導(dǎo)重準(zhǔn)則直接相關(guān).其拉格朗日函數(shù)仍為L=f(X)+λ[W(X)-W由極值條件:這說明:作為最優(yōu)結(jié)構(gòu),當(dāng)目標(biāo)函數(shù)f隨各組構(gòu)件重量W上式兩端乘以W就是各組件重量的導(dǎo)重,由上式得:由重量約束:這與原導(dǎo)重準(zhǔn)則完全一致:最優(yōu)結(jié)構(gòu)應(yīng)按各組構(gòu)件的導(dǎo)重正比分配結(jié)構(gòu)重量.2.2.3貢獻(xiàn)率為什么最優(yōu)結(jié)構(gòu)要按式(39)所示G(1)在當(dāng)前各組構(gòu)件重量W(2)當(dāng)貢獻(xiàn)率(-ue3ecf/ue3ecW(3)對于貢獻(xiàn)率(-ue3ecf/ue3ecW可見,重量W2.3重量加權(quán)均方差按照導(dǎo)重準(zhǔn)則,最優(yōu)結(jié)構(gòu)應(yīng)按各組構(gòu)件導(dǎo)重正比分配各組構(gòu)件重量,不難推出“最優(yōu)結(jié)構(gòu)各組構(gòu)件導(dǎo)重與重量之比都應(yīng)等于結(jié)構(gòu)總導(dǎo)重與結(jié)構(gòu)總重量之比”的結(jié)論,即反之,各組構(gòu)件導(dǎo)重與各組構(gòu)件重量之比如果不等于結(jié)構(gòu)總導(dǎo)重與結(jié)構(gòu)總重量之比,就不是最優(yōu)結(jié)構(gòu).這樣各組構(gòu)件導(dǎo)重與各組構(gòu)件重量之比與結(jié)構(gòu)總導(dǎo)重與結(jié)構(gòu)總重量之比的重量加權(quán)均方差:就可作為實(shí)際結(jié)構(gòu)與最優(yōu)結(jié)構(gòu)偏離程度(或稱優(yōu)化程度)的度量.對同一結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題,該均方差越大,結(jié)構(gòu)越遠(yuǎn)離最優(yōu);該均方差越小,結(jié)構(gòu)越接近最優(yōu);均方差為零時(shí),結(jié)構(gòu)達(dá)到最優(yōu).式(46)中,為消除具有不同重量的不同結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題對該均方差的影響,引入無量綱量將其定義為結(jié)構(gòu)最優(yōu)性指標(biāo).可據(jù)此檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)的當(dāng)前設(shè)計(jì)方案與其最優(yōu)設(shè)計(jì)方案間的差距.導(dǎo)重準(zhǔn)則“最優(yōu)結(jié)構(gòu)應(yīng)按各組構(gòu)件導(dǎo)重正比分配各組構(gòu)件重量”是按式(1)所示具有單性態(tài)約束—重量約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型推得的,實(shí)際上對于重量為目標(biāo)的單性態(tài)約束結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型:同樣可推得完全相同的導(dǎo)重準(zhǔn)則“最優(yōu)結(jié)構(gòu)應(yīng)按各組構(gòu)件導(dǎo)重正比分配各組構(gòu)件重量”.即對于0.1中所述合理分配設(shè)計(jì)資源的兩類對偶結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題,如果設(shè)計(jì)資源是結(jié)構(gòu)重量,其實(shí)質(zhì)就是重量的合理分配,導(dǎo)重準(zhǔn)則既是衡量這種分配是否最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn),又是優(yōu)化迭代中引導(dǎo)設(shè)計(jì)資源合理分配的迭代計(jì)算的基礎(chǔ).3計(jì)算3.1總結(jié)作者采用導(dǎo)重法對直徑8m到25m的多個(gè)天線結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)3.2結(jié)果分析與對比圖3為某天線1/4骨架結(jié)構(gòu)簡圖,給出了足夠詳細(xì)的數(shù)據(jù),讀者可據(jù)此對本例進(jìn)行驗(yàn)算.該天線結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題是:在結(jié)構(gòu)重量不超過給定值的前提下,最小化在鋁面板和支撐骨架自重作用下反射面精度目標(biāo)函數(shù),該精度函數(shù)為天線反射面各點(diǎn)變形后相對其最佳吻合拋物面半光程差的均方根值,具體表達(dá)見文獻(xiàn)[14,15].圖4給出了采用步長因子迭代的虛功法和導(dǎo)重法的優(yōu)化迭代曲線,可看出導(dǎo)重法優(yōu)化效果明顯優(yōu)于虛功法,迭代第一步就達(dá)到了虛功法的最好結(jié)果.如果設(shè)計(jì)變量除與重量成線性關(guān)系的桁架桿5個(gè)截面積外還包括與重量成非線性關(guān)系的4個(gè)環(huán)高,優(yōu)化效果更好.表1給出了桿截面與環(huán)高同時(shí)優(yōu)化時(shí)設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)的迭代計(jì)算結(jié)果.迭代收斂后,導(dǎo)重準(zhǔn)則得到滿足,即達(dá)到了各組構(gòu)件重量與導(dǎo)重成正比的最優(yōu)狀態(tài).尤其值得注意的是:本例在優(yōu)化迭代中出現(xiàn)了總導(dǎo)重小于零的情況,為此采用優(yōu)重設(shè)計(jì),不僅使天線表面精度目標(biāo)函數(shù)進(jìn)一步改善,而且使結(jié)構(gòu)總重量從1.2665噸下降到1.0141噸,減輕結(jié)構(gòu)重量20%,驗(yàn)證了本文3.1.4中通過優(yōu)重設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)不等式約束理論與方法的正確性與可行性.大多數(shù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化中重量等設(shè)計(jì)資源與性能是相互制約的,即最優(yōu)結(jié)構(gòu)的性能越好,需要的重量等設(shè)計(jì)資源越多,例如在一般情況下最優(yōu)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度越高,所需結(jié)構(gòu)重量越大,如以結(jié)構(gòu)剛強(qiáng)度為優(yōu)化目標(biāo),重量約束總是要臨界的,不存在導(dǎo)重小于零要作優(yōu)重設(shè)計(jì)情況.但在本例中由于結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)函數(shù)是吻合精度,結(jié)構(gòu)重量既是使精度目標(biāo)改善的設(shè)計(jì)資源,又是導(dǎo)致變形增大吻合精度目標(biāo)函數(shù)劣化的載荷,并非結(jié)構(gòu)越重精度目標(biāo)越優(yōu),最優(yōu)結(jié)構(gòu)的重量不等式約束不一定臨界.這就是總導(dǎo)重小于零須作優(yōu)重設(shè)計(jì)的道理.4結(jié)構(gòu)優(yōu)化的指導(dǎo)意義(1)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)質(zhì)是合理分配設(shè)計(jì)資源,如果設(shè)計(jì)資源是結(jié)構(gòu)重量,