彈性力學(xué)的變分原理課件

變分原理---fromWikipedia&百度百科把一個(gè)物理問題用變分法化為求泛函極值（或駐值）的問題，后者就稱為該物理問題的變分原理。物理學(xué)的一條基本原理：力學(xué)中的虛功原理、最小勢能原理、最小余能原理、哈密頓原理等，電磁理論，幾何光學(xué)中的費(fèi)馬原理，量子力學(xué)等；變分法：變分法是處理泛函的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，和處理函數(shù)的普通微積分相對。變分法最終尋求的是極值函數(shù)：它們使得泛函取得極大或極小值。彈性力學(xué)的變分原理變分原理---fromWikipedia&百度百科為什么要在彈性力學(xué)中引入變分原理彈性力學(xué)變分原理是彈性理論的重要組成部分,通過古典變分學(xué)用功和能的觀點(diǎn)表述彈性力學(xué)基本理論，并發(fā)展成為彈性力學(xué)近似解法和當(dāng)代數(shù)值計(jì)算方法理論基礎(chǔ)的組成部分。變分原理已成為有限元法的理論基礎(chǔ)，而廣義變分原理已成為混合和雜交有限元的理論基礎(chǔ)。動機(jī)-Motivation為什么要在彈性力學(xué)中引入變分原理彈性力學(xué)變分原理是彈性理論的問題的引入彈性力學(xué)問題的兩種基本解法1、建立偏微分方程邊值問題（直接法）精確，但往往求解困難，有解答的問題有限問題的引入彈性力學(xué)問題的兩種基本解法1、建立偏微分方程邊值問問題的引入彈性力學(xué)問題的兩種基本解法2、建立變分方程：泛函極值問題，近似解法優(yōu)點(diǎn)：最終可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問題，化為代數(shù)方程，為近似解的尋求提供方便。也是數(shù)值方法的理論基礎(chǔ)。兩種方法具有等價(jià)性,且力學(xué)問題中的泛函多為能量,是標(biāo)量,應(yīng)用方便。門與窗戶，前門與后門問題的引入彈性力學(xué)問題的兩種基本解法2、建立變分方程：泛函極§11-1

變分法的預(yù)備知識數(shù)學(xué)上的變分法：求解泛函的極值方法（一般）彈性力學(xué)中的變分法：（具體）以能量為泛函，求能量泛函的極值方法，又稱能量法。嚴(yán)格地，能量法與變分法不盡相同，變分法含義更廣?！?1-1變分法的預(yù)備知識數(shù)學(xué)上的變分法：求解泛函的極值關(guān)于變分法的若干基本概念：一、函數(shù)與泛函1、函數(shù)函數(shù)是實(shí)數(shù)空間到實(shí)數(shù)空間的映射2、泛函是函數(shù)空間到實(shí)數(shù)空間的映射（實(shí)例）關(guān)于變分法的若干基本概念：一、函數(shù)與泛函1、函數(shù)函數(shù)是實(shí)數(shù)空例：設(shè)ｘ-ｙ面內(nèi)有給定的兩點(diǎn)Ａ和Ｂ，如圖所示，連接這兩點(diǎn)的任一曲線的長度為例：設(shè)ｘ-ｙ面內(nèi)有給定的兩點(diǎn)Ａ和Ｂ，如圖所示，連接這兩點(diǎn)的

顯然長度L依賴于曲線的形狀，也就是依賴于函數(shù)y(x)的形式。因此，長度Ｌ就是函數(shù)y(x)的泛函。一般情況下，泛函具有如下形式：顯然長度L依賴于曲線的形狀，也就是依賴于函數(shù)y二、函數(shù)的微分與變分1、自變量的微分dx2、函數(shù)的微分-因變量增量3、函數(shù)的變分-與微分對應(yīng)，仍為函數(shù)二、函數(shù)的微分1、自變量的微分dx彈性力學(xué)的變分原理ppt課件注意到：與(*)式比較，可見：即：結(jié)論：導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù)，或變分記號與求導(dǎo)記號可以互換。注意到：與(*)式比較，可見：即：結(jié)論：導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的三、泛函的變分一般情況下，泛函可寫為：1、按照泰勒級數(shù)展開法則，被積函數(shù)f的增量可以寫成上式中右邊的前兩項(xiàng)是f的增量的主部，定義為f的一階變分，表示為三、泛函的變分一般情況下，泛函可寫為：1、按照泰勒級數(shù)展開法2、再考察定義泛函I的變分2、再考察定義泛函I的變分結(jié)論：變分運(yùn)算和積分運(yùn)算可以交換次序與上式比較，可得：*導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù)結(jié)論：變分運(yùn)算和積分運(yùn)算可以交換次序與上式比較，可得：*導(dǎo)四、泛函的駐值與極值1、函數(shù)的駐值和極值---對比理解如果函數(shù)y(x)在x＝x0的鄰近任一點(diǎn)上的值都不大于或都不小于y(x0)，即

y(x)－y(x0)≤０或≥０（峰、谷）則稱函數(shù)y(x)在x＝x０處達(dá)到極大值或極小值。極值的必要條件為四、泛函的駐值與極值1、函數(shù)的駐值和極值---對比理解如果函極值必是駐值，但駐值不一定是極值。取極值的必要條件為，其充分條件由二階導(dǎo)數(shù)來判定極值必是駐值，但駐值不一定是極值。取極值的必要條件為2、泛函的駐值和極值2、泛函的駐值和極值其中：五、歐拉方程與自然邊界條件其中：五、歐拉方程與自然邊界條件因?yàn)槿●v值，所以因?yàn)槿●v值，所以為歐拉微分方程，可見上述泛函的駐值問題等同于歐拉微分方程邊值問題的解。如果問題是：為歐拉微分方程，可見上述泛函的駐值問題等同于歐拉微分方程邊值自變函數(shù)事先滿足的邊界條件稱為本質(zhì)邊界條件。實(shí)例自變函數(shù)事先滿足的邊界條件稱為本質(zhì)邊界條件。實(shí)例本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)：建立力學(xué)概念本章包含了非常多的力學(xué)概念，這些概念是有限元及其它力學(xué)分支中普遍用到的，需對其內(nèi)涵有一定了解公式的推導(dǎo)、證明過程理解思路即可公式推導(dǎo)較多、較繁，但本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)：建立力學(xué)概念本章包含了非常多的力學(xué)概念，這些概§11—2應(yīng)變能與余應(yīng)變能1.應(yīng)變能---物體因變形而儲存的能量。功和能的關(guān)系-熱力學(xué)定律：可逆過程外力做功動能、應(yīng)變能不可逆過程熱能、聲能耗散拉伸試樣發(fā)熱、與周圍環(huán)境熱交換聲子振動、聲波傳播§11—2應(yīng)變能與余應(yīng)變能1.應(yīng)變能---物體因變形在彈性力學(xué)中，僅研究可逆過程。對于靜力學(xué)問題，認(rèn)為外荷載對彈性體所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的應(yīng)變能，并貯存于彈性體內(nèi)。若卸去外荷載，彈性體將釋放出全部的應(yīng)變能，并恢復(fù)其未受載時(shí)的初始狀態(tài)。彈簧準(zhǔn)靜態(tài)加載在彈性力學(xué)中，僅研究可逆過程。對于靜力學(xué)問題，認(rèn)為外荷載對彈分析：從A狀態(tài)到B狀態(tài)外荷載做功的增量：彈性體應(yīng)變能增量:對于彈性靜力學(xué)問題，根據(jù)熱力學(xué)第一定律：分析：從A狀態(tài)到B狀態(tài)外荷載做功的增量：對于彈性靜力學(xué)問題，熱力學(xué)第一定律TheFirstLawofThermodynamics就是不同形式的能量在傳遞與轉(zhuǎn)換過程中守恒的定律，表達(dá)式為Q=△U+W。表述形式：熱量可以從一個(gè)物體傳遞到另一個(gè)物體，也可以與機(jī)械能或其他能量互相轉(zhuǎn)換，但在轉(zhuǎn)換過程中能量的總值保持不變。---From百度百科“物理名詞”連續(xù)介質(zhì)力學(xué)廣泛的應(yīng)用熱量與機(jī)械能的交換-蒸汽機(jī)有趣的發(fā)展歷史：邁爾(醫(yī)生)、赫姆霍茲、焦耳熱力學(xué)第一定律TheFirstLawofThermo微元體在某一應(yīng)變狀態(tài)獲得的應(yīng)變能增量為其中，為彈性體變形過程中的位移增量。利用高斯公式得：高斯公式微元體在某一應(yīng)變狀態(tài)獲得的應(yīng)變能增量為其中，為彈性體考慮到應(yīng)力張量的對稱性，有考慮到應(yīng)力張量的對稱性，有應(yīng)力張量對稱性廣義高斯公式啞標(biāo)可交換應(yīng)力張量對稱性廣義高斯公式啞標(biāo)可交換彈性力學(xué)的變分原理ppt課件定義：單位體積彈性體的應(yīng)變能(或稱應(yīng)變能密度)為與前式有：得比較定義：單位體積彈性體的應(yīng)變能(或稱應(yīng)變能密度)為與前式有：比較:此式稱為格林(Green)公式，它適用于一般材料，不局限于線彈性材料。由于彈性體的應(yīng)變能由其變形狀態(tài)唯一確定，它是狀態(tài)函數(shù)，與變形過程無關(guān)，故有比較:此式稱為格林(Green)公式，它適用于一般材料，不局在狀態(tài)

的應(yīng)變能密度為

、為0~、的某個(gè)中間狀態(tài)。積分代表增量不斷累積的過程在狀態(tài)的應(yīng)變能密度為、為0~

彈性體應(yīng)變能是狀態(tài)函數(shù)，故上式積分與路徑無關(guān)。對于線性問題，可假設(shè)在變形過程中應(yīng)力、應(yīng)變分量等比例增長。彈性體應(yīng)變能是狀態(tài)函數(shù)，故上式積分與路徑無關(guān)。2.余應(yīng)變能、余應(yīng)變能密度對于單向拉伸問題應(yīng)變能密度為引入另一標(biāo)量函數(shù)：即余應(yīng)變能密度余應(yīng)變能反轉(zhuǎn)自變、因變關(guān)系2.余應(yīng)變能、余應(yīng)變能密度對于單向拉伸問題應(yīng)變能密度為引一般地，應(yīng)變能密度和余應(yīng)變能密度滿足關(guān)系對于線彈性體一般地，應(yīng)變能密度和余應(yīng)變能密度滿足關(guān)系對于線彈性體§11-3廣義虛功原理容許位移容許應(yīng)變?nèi)菰S應(yīng)力虛位移虛應(yīng)變虛應(yīng)力虛位移原理虛應(yīng)力原理功互等原理§11-3廣義虛功原理容許位移容許應(yīng)變?nèi)菰S應(yīng)力虛位移虛應(yīng)§11-3廣義虛功原理一、真實(shí)位移、真實(shí)應(yīng)力和真實(shí)應(yīng)變即幾何連續(xù)條件§11-3廣義虛功原理一、真實(shí)位移、真實(shí)應(yīng)力和真實(shí)應(yīng)變即即平衡條件它們構(gòu)成彈性力學(xué)問題的解。即平衡條件它們構(gòu)成彈性力學(xué)問題的解。二、容許位移、容許應(yīng)變二、容許位移、容許應(yīng)變

只對應(yīng)于一個(gè)連續(xù)的位移場，但不一定對應(yīng)于一個(gè)平衡的應(yīng)力狀態(tài)，即與對應(yīng)的應(yīng)力不一定滿足平衡條件；而真實(shí)位移必對應(yīng)一個(gè)平衡的應(yīng)力狀態(tài)。容許位移和應(yīng)變不一定是真實(shí)的位移和應(yīng)變。但反之，真實(shí)的位移和應(yīng)變必然是容許的。比較只對應(yīng)于一個(gè)連續(xù)的位移場，但不一定對應(yīng)于一個(gè)3、容許應(yīng)力3、容許應(yīng)力比較與容許應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變與位移不一定滿足協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件，不保證物體內(nèi)部存在單值連續(xù)的位移場，但真實(shí)應(yīng)力對應(yīng)于單值連續(xù)的位移場。容許應(yīng)力不一定是真實(shí)的應(yīng)力。但反之，真實(shí)的應(yīng)力必然是容許的。比較與容許應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變與位移不一定滿足協(xié)調(diào)方程和位移邊界條4、虛位移、虛應(yīng)變彈性體平衡位置附近，幾何約束條件容許的微小位移，或兩組容許位移之差，稱為虛位移或位移的變分，記為4、虛位移、虛應(yīng)變彈性體平衡位置附近，幾何約束條件容許的微小5、虛應(yīng)力彈性體平衡位置附近，平衡條件所容許的微小應(yīng)力改變，或兩組容許應(yīng)力之差.但在位移邊界上引起一個(gè)容許的面力5、虛應(yīng)力彈性體平衡位置附近，平衡條件所容許的微小應(yīng)力改變，6、廣義虛功原理外力在容許位移上所做的功等于容許應(yīng)力在與該容許位移相應(yīng)的容許應(yīng)變上所做的功。簡述為，外力虛功等于內(nèi)力虛功。6、廣義虛功原理外力在容許位移上所做的功等于容許應(yīng)力在與該容證明：移項(xiàng)后

證明：移項(xiàng)后說明：1、證明中，涉及到平衡、幾何方程，并未涉及到物理方程。故在小變形及連續(xù)性條件下，適用于任何材料。2、容許應(yīng)力與容許位移、容許應(yīng)變可以是同一彈性體中不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，彼此獨(dú)立。3、（a）平衡條件、（b）幾何條件、（c）廣義虛功方程三者間的關(guān)系--由其中任兩個(gè)條件可得第三個(gè)。由（a）、（b)(c)已證明說明：1、證明中，涉及到平衡、幾何方程，并未涉由（b）、（c)(a)

表述為：若有一組內(nèi)外力，對于任意容許位移和相應(yīng)的容許應(yīng)變，使廣義虛功原理成立，則這組內(nèi)外力是平衡的。證明因?yàn)閺V義虛功原理幾何條件分部積分由（b）、（c)(a)彈性力學(xué)的變分原理ppt課件由（a）、（c)(b)類似可證明。

表述為：若有一組位移和應(yīng)變，對于任意容許應(yīng)力，使廣義虛功原理成立，則這組位移和應(yīng)變是可能的。關(guān)系：平衡條件幾何條件平衡條件幾何條件廣義虛功原理由（a）、（c)(b)7、虛位移原理-發(fā)生虛位移7、虛位移原理-發(fā)生虛位移由廣義虛功原理：并取再考慮廣義虛功原理由廣義虛功原理：并取再考慮廣義虛功原理虛位移原理外力虛功=內(nèi)力虛功即為：或稱：虛位移原理平衡方程＋應(yīng)力邊界條件虛位移原理外力虛功=內(nèi)力虛功即為：或稱：虛位移原理虛位移原理右端項(xiàng)代回到虛位移原理，即得分部積分拆分邊界虛位移是任意的，可得虛位移原理右端項(xiàng)代回到虛位移原理，即得分部積分拆分邊界虛位移8、虛應(yīng)力原理-發(fā)生虛應(yīng)力由廣義虛功原理：8、虛應(yīng)力原理-發(fā)生虛應(yīng)力由廣義虛功原理：由廣義虛功原理：外余虛功=內(nèi)余虛功再考慮廣義虛功原理邊條合并由廣義虛功原理：外余虛功=內(nèi)余虛功再考慮廣義虛功原理邊條合并表明在已知位移的邊界上，虛面力在真實(shí)位移上作的功，等于整個(gè)彈性體的虛應(yīng)力在真實(shí)應(yīng)變上作的功。即虛應(yīng)力原理。虛應(yīng)力原理幾何方程＋位移邊界條件表明在已知位移的邊界上，虛面力在真實(shí)位移上作的功，等于整個(gè)彈分部積分拆分邊界應(yīng)力張量對稱性移項(xiàng)再考慮虛應(yīng)力方程，可得由于變分的任意性分部積分拆分邊界應(yīng)力張量對稱性移項(xiàng)再考慮虛應(yīng)力方程，可得由于9、功的互等定理

廣義虛功方程應(yīng)用于同一彈性體兩種不同受力和變形狀態(tài)下的解答。9、功的互等定理廣義虛功方程應(yīng)用于同一彈性體若取第一種應(yīng)力，第二種位移和應(yīng)變，則：若取第二種應(yīng)力，第一種位移和應(yīng)變，則：故有交換啞標(biāo)彈性張量對稱性若取第一種應(yīng)力，第二種位移和應(yīng)變，則：若取第二種應(yīng)力，第一種注意：1、功的互等定理僅適用于線彈性體。2、可進(jìn)一步得到位移互等、反力互等定理。注意：1、功的互等定理僅適用于線彈性體。§11-4最小勢能原理、位移變分方程虛位移原理稱為位移變分方程，也稱Lagrange變分方程。§11-4最小勢能原理、位移變分方程虛位移原理稱為位移變表示：彈性體應(yīng)變能的變分等于外力虛功。另：外力大小和方向在過程中不變。表示：彈性體應(yīng)變能的變分等于外力虛功。另：外力大小和方向在對于線彈性體：

由此可見，在滿足幾何條件的所有可能的位移中，實(shí)際存在的位移使總勢能變分為零，即：使總勢能泛函取駐值。進(jìn)一步可以證明，對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，，這個(gè)駐值為極小值。又因?yàn)榻饩哂形ㄒ恍?，由此可以?dǎo)出：對于線彈性體：由此可見，在滿足幾何條件的所有可能最小勢能原理：在所有變形可能的位移中，實(shí)際存在的位移使總勢能取最小值。它等價(jià)于平衡方程和應(yīng)力邊界條件。證明如下：最小勢能原理：在所有變形可能的位移中，實(shí)際存在的位移使總勢能必要性也成立。所以變分問題的歐拉方程為平衡方程，自然邊界條件為應(yīng)力邊界條件。必要性也成立。所以變分問題的歐拉方證明是極小值對于線彈性體，其總勢能為總勢能泛函證明是極小值對于線彈性體，其總勢能為總勢能泛函又：Taylor展開又：Taylor展開對于穩(wěn)定平衡，應(yīng)力存在變分由：而：得：所以各向同性彈性體對于穩(wěn)定平衡，應(yīng)力存在變分由：而：得：所以各向同性彈性體§11－5最小余能原理、應(yīng)力變分方程1、在第二節(jié)已經(jīng)證明了同樣，可以證明證明如下§11－5最小余能原理、應(yīng)力變分方程1、在第二節(jié)已經(jīng)證明彈性力學(xué)的變分原理ppt課件2、由虛應(yīng)力原理即應(yīng)力變分方程2、由虛應(yīng)力原理即應(yīng)力變分方程3、由于是邊界Su上給定的已知函數(shù)，所以右端項(xiàng)中變分可以移到積分號前面，并記

由此可見，在所有靜力可能的應(yīng)力中，實(shí)際存在的應(yīng)力使彈性體的總余能泛函取駐值，進(jìn)一步可以證明，對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個(gè)駐值為極小值。又解具有唯一性，由此可以導(dǎo)出最小余能原理：在所有靜力可能的應(yīng)力中，實(shí)際存在的應(yīng)力使彈性體的總余能取最小值。

得到:彈性體總余能3、由于是邊界Su上給定的已知函數(shù)，所以右端項(xiàng)中證明最小余能原理等價(jià)于幾何方程和位移邊界條件。為零，僅為公式推導(dǎo)方便證明最小余能原理等價(jià)于幾何方程和位移邊界條件。為零，僅為公反之，必要性也成立

變分問題的歐拉方程為幾何方程，自然邊界條件為位移邊界條件。反之，必要性也成立變分問題第一節(jié)變分法的預(yù)備知識第二節(jié)應(yīng)變能與余應(yīng)變能第三節(jié)廣義虛功原理第四節(jié)最小勢能原理位移變分方程第五節(jié)最小余能原理應(yīng)力變分方程第八節(jié)基于最小勢能原理的近似計(jì)算第九節(jié)基于最小余能原理的近似計(jì)算數(shù)學(xué)工具基本概念一般原理推論應(yīng)用第一節(jié)變分法的預(yù)備知識第二節(jié)應(yīng)變能與余應(yīng)變能第三最小勢能原理：在所有變形可能的位移中，實(shí)際存在的位移使總勢能取最小值。最小余能原理：在所有靜力可能的應(yīng)力中，實(shí)際存在的應(yīng)力使彈性體的總余能取最小值。

找到變形可能的位移

表示出彈性體的總勢能或其變分

研究總勢能泛函駐值條件

找到靜力可能的應(yīng)力

表示出彈性體的總余能或其變分

研究總余能泛函駐值條件最小勢能原理：在所有變形可能的位移中，實(shí)際存在的位移使總勢能§11-8基于最小勢能原理的近似計(jì)算基于最小勢能原理，如果能夠列出所有變形可能的位移，其中使總勢能取最小值的那個(gè)位移，就是真實(shí)的位移。問題在于：我們不可能列出所有變形可能的位移，一般只能選其中的一組，故解具有近似性。但：如果事先給出的變形可能位移中含有真解的形式，則一定可以求出真解。§11-8基于最小勢能原理的近似計(jì)算基于最小勢能原理，如果1.Ritz法不失一般性,設(shè)可能位移為上式所示的位移總能滿足位移邊界條件

1.Ritz法不失一般性,設(shè)可能位移為上式所示的位移總能求位移的問題求系數(shù)Ａm,Ｂm,Ｃm其中,含有應(yīng)變能和位移的變分,如何實(shí)現(xiàn)?改變函數(shù)組合中不同函數(shù)的權(quán)重或貢獻(xiàn)求位移的問題求系數(shù)Ａm,Ｂm,Ｃm其中,含有應(yīng)代入,有:代入,有:m＝１，２，３，…關(guān)于Ａm,Ｂm,Ｃm的3m個(gè)線性代數(shù)方程組

m＝１，２，３，…關(guān)于Ａm,Ｂm,Ｃm的3m個(gè)線性代數(shù)方程組2.伽遼金法

由:得到:2.伽遼金法由:得到:如果選擇的位移不僅滿足位移邊界條件，而且還滿足應(yīng)力邊界條件，則上式成為如果選擇的位移不僅滿足位移邊界條件，而且還滿足應(yīng)力邊界條件，關(guān)于Ａm,Ｂm,Ｃm的