復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)課件

3.3泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)3.3泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)3.3泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)

通過(guò)對(duì)冪級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓的內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)?，F(xiàn)在我們來(lái)研究與此相反的問(wèn)題，就是：任何一個(gè)解析函數(shù)是否能用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示？這個(gè)問(wèn)題不但有理論意義，而且很有實(shí)用價(jià)值.3.3泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)通過(guò)對(duì)冪級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)，我們3.3.1泰勒級(jí)數(shù)3.3.1泰勒級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)課件其中z在C的內(nèi)部,，而在C上取值,C取逆時(shí)針正方向.故從而因?yàn)楦鶕?jù)其中z在C的內(nèi)部,，而在C上取值,C取逆時(shí)針正方向.故從復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)課件復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)課件3.3.2將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法例3.3.1

在的鄰域上把展開(kāi)。解：函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)而故在領(lǐng)域上的泰勒級(jí)數(shù)寫(xiě)為易求收斂半徑無(wú)限大3.3.2將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法例3.3.1在例3.3.2

在的鄰域把和展開(kāi)。解：函數(shù)的前四階導(dǎo)數(shù)分別為由上可見(jiàn)其四階導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)本身，因此其高階導(dǎo)數(shù)是前四階導(dǎo)數(shù)的重復(fù)。且在有故有例3.3.2在的鄰域把同樣的方法，可求得在鄰域上的泰勒級(jí)數(shù)容易求得上面兩個(gè)泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑為無(wú)限大。即Z在全復(fù)平面上取值只要有限，上面兩個(gè)級(jí)數(shù)就收斂。同樣的方法，可求得在例3.3.3

在的鄰域把展開(kāi)。解：多值函數(shù)的支點(diǎn)在現(xiàn)在展開(kāi)中心并非支點(diǎn)，在它的鄰域上，各個(gè)單值互相獨(dú)立，可以比照單值函數(shù)的方法展開(kāi)，先計(jì)算系數(shù)

……于是可寫(xiě)成在鄰域上的泰勒級(jí)數(shù)例3.3.3在的鄰域把可以求得上式的收斂半徑為1。因此上式n＝0的那一個(gè)單值分支叫作的主值?？梢郧蟮蒙鲜降氖諗堪霃綖?。因此上式n＝0的那一個(gè)單值分支叫例3.3.3

在的鄰域把展開(kāi)（m不是正整數(shù)）。解：先計(jì)算展開(kāi)系數(shù)……例3.3.3在的鄰域把易求其收斂半徑為1，故式中在許多的單值分支中，n＝0那一支即的那一個(gè)叫作的主值。上式也就是指數(shù)為非整數(shù)的二項(xiàng)式定理。易求其收斂半徑為1，故式中在許多的單值分支中，n＝0那一支即二、當(dāng)較復(fù)雜時(shí)，求比較麻煩。根據(jù)泰勒展式的唯一性，因此通常用間接展開(kāi)法，即利用基本展開(kāi)公式及冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、代換、逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分等將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，基本展開(kāi)公式如下：二、當(dāng)較復(fù)雜時(shí)，求解：利用有解：利用復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)課件復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)課件復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)課件解：解：解：解：補(bǔ)充泰勒展開(kāi)的方法1、替換法補(bǔ)充泰勒展開(kāi)的方法1、替換法解：第二式中令即可解：第二式中令即可2、加減法2、加減法3、多項(xiàng)式乘或除解：將上面兩式直接相乘即可。3、多項(xiàng)式乘或除解：將上面兩式直接相乘即可。解：利用則解：利用則復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)課件4、化成微分方程法解：于是對(duì)上逐次求導(dǎo)有令則依次可得到4、化成微分方程法解：于是對(duì)上逐次求導(dǎo)有令3.4解析延拓3.4解析延拓復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)課件復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)課件復(fù)變函