測量誤差及其處理課件

第五章測量誤差的基本理論北方工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院第五章測量誤差的基本理論北方工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院§5-1概述一、測量誤差的概念人們對客觀事物或現(xiàn)象的認(rèn)識總會存在不同程度的誤差。這種誤差在對變量進(jìn)行觀測和量測的過程中反映出來，稱為測量誤差。二、觀測與觀測值的分類1．同精度觀測和不同精度觀測在相同的觀測條件下，即用同一精度等級的儀器、設(shè)備，用相同的方法和在相同的外界條件下，由具有大致相同技術(shù)水平的人所進(jìn)行的觀測稱為同精度觀測，其觀測值稱為同精度觀測值或等精度觀測值。反之，則稱為不同精度觀測，其觀測值稱為不同（不等）精度觀測值。

§5-1概述一、測量誤差的概念2§5-1概述二、觀測與觀測值的分類2．直接觀測和間接觀測為確定某未知量而直接進(jìn)行的觀測，即被觀測量就是所求未知量本身，稱為直接觀測，觀測值稱為直接觀測值。通過被觀測量與未知量的函數(shù)關(guān)系來確定未知量的觀測稱為間接觀測，觀測值稱為間接觀測值。3．獨(dú)立觀測和非獨(dú)立觀測各觀測量之間無任何依存關(guān)系，是相互獨(dú)立的觀測，稱為獨(dú)立觀測，觀測值稱為獨(dú)立觀測值。若各觀測量之間存在一定的幾何或物理條件的約束，則稱為非獨(dú)立觀測，觀測值稱為非獨(dú)立觀測值。(三角形三個內(nèi)角觀測則為非獨(dú)立觀測)§5-1概述二、觀測與觀測值的分類3§5-1概述三、測量誤差及其來源1．測量誤差的定義真值：客觀存在的值“X”（通常不知道）真誤差：真值與觀測值之差，即：真誤差=真值-觀測值

2．測量誤差的反映測量誤差是通過“多余觀測”產(chǎn)生的差異反映出來的。測量中不可避免產(chǎn)生誤差，如測量某段距離，往返測量若干次，這些重復(fù)測量值之間存在差異。這次多余觀測導(dǎo)致的差異事實上就是測量誤差。3．測量誤差的來源（1）測量儀器：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）觀測者：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗等。（3）外界環(huán)境條件：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等。

§5-1概述三、測量誤差及其來源4§5-1概述四、測量誤差的種類按測量誤差對測量結(jié)果影響性質(zhì)的不同，可將測量誤差分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。1．系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行的一系列觀測中，數(shù)值大小和正負(fù)符號固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。(計算改正、觀測方法、儀器檢校)例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差

ld

計算改正

鋼尺溫度誤差

lt

計算改正

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng)

操作時抵消(前后視等距)

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C

操作時抵消(盤左盤右取平均)

…………§5-1概述四、測量誤差的種類例：誤差5§5-1概述四、測量誤差的種類2．偶然誤差在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一系列觀測，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”，是由許多無法精確估計的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無常變化,以及環(huán)境的干擾等)。

偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，在實踐中發(fā)現(xiàn)具有統(tǒng)計學(xué)規(guī)律。偶然誤差舉例：儀器對中誤差,氣泡居中判斷、目標(biāo)瞄準(zhǔn)、度盤讀數(shù)等誤差,氣象變化等外界環(huán)境等影響觀測。3.粗差由于觀測者的粗心大意,或某種特別大的干擾而產(chǎn)生較大的誤差稱為“粗差”(俗稱錯誤)，應(yīng)避免和舍棄粗差。§5-1概述四、測量誤差的種類64、誤差處理原則7粗差

—

細(xì)心觀測，用多余觀測和幾何條來件來發(fā)現(xiàn)，將含有粗差的觀測值剔除。系統(tǒng)誤差

—

找出發(fā)生規(guī)律，用觀測方法和加改正值等方法抵消。偶然誤差

—

用多余觀測減少其影響，利用幾何條件檢核，用“限差”來限制。

§5-1概述四、測量誤差的種類4、誤差處理原則7粗差—細(xì)心觀測，用多余觀測和幾何7§5-1概述四、測量誤差的種類

幾個概念:準(zhǔn)確度：(測量成果與真值的差異，取決于系統(tǒng)誤差的大?。┚埽┒龋?觀測值之間的離散程度，取決于偶然誤差的大?。?/p>

最或是值：（最接近真值的估值，最可靠值）；

測量平差：（求解最或是值并評定精度）?！?-1概述四、測量誤差的種類8§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)例如，在相同條件下對某一個平面三角形的三個內(nèi)角重復(fù)觀測了358次，由于觀測值含有誤差，故每次觀測所得的三個內(nèi)角觀測值之和一般不等于180°，按下式算得三角形各次觀測的真誤差

i，然后對三角形閉合差i進(jìn)行分析。分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測次數(shù)很多時，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯?！?-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)9§5-1概述誤差區(qū)間(‘’)負(fù)誤差正誤差個數(shù)相對個數(shù)個數(shù)相對個數(shù)0.0～0.2450.126460.1280.2～0.4400.112410.1150.4～0.6330.092330.0920.6～0.8230.064210.0590.8～1.0170.047160.0451.0～1.2130.036130.0361.2～1.460.01750.0141.4～1.640.01120.0061.6以上00.00000.000總和1810.5051770.495§5-1概述誤差區(qū)間(‘’)負(fù)誤差正誤差個數(shù)相對個數(shù)個數(shù)10§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的四個特性：（1）有界性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度，即偶然誤差是有界的；（2）單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會大；（3）對稱性：絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等；（4）補(bǔ)償性：在相同條件下，對同一量進(jìn)行重復(fù)觀測，偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨于零，即§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)11§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱于y軸。各條形頂邊中點(diǎn)連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律?！?-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)12§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：當(dāng)觀測次數(shù)n無限增多(n→∞)、誤差區(qū)間d

無限縮小(d→0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線,這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性?！?-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)13

正態(tài)分布曲線以及標(biāo)準(zhǔn)差和方差14在統(tǒng)計理論上如果觀測次數(shù)無限增多(n→∞)，而誤差區(qū)間dΔ又無限縮小，則頻率直方圖成為一條光滑的曲線，在統(tǒng)計學(xué)中稱為偶然誤差的“正態(tài)分布曲線”,其數(shù)學(xué)方程式為：式中參數(shù)σ稱為“標(biāo)準(zhǔn)差”,其平方σ

2

稱為“方差”,方差為偶然誤差(真誤差)平方的理論平均值：標(biāo)準(zhǔn)差的計算式：正態(tài)分布曲線以及標(biāo)準(zhǔn)差和方差14在統(tǒng)計理論上如果觀14§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差處理方式§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)15§5-2衡量精度的指標(biāo)

一、精度精確度是準(zhǔn)確度與精密度的總稱。對基本排除系統(tǒng)誤差，而以偶然誤差為主的一組觀測值，用精密度來評價該組觀測值質(zhì)量的優(yōu)劣。精密度簡稱精度。二、中誤差用標(biāo)準(zhǔn)差衡量測量觀測成果的精度，在理論上是嚴(yán)格和合理的。但在實際測量工作中，不可能對某一量進(jìn)行無窮多次觀測。因此，定義：根據(jù)有限次觀測的偶然誤差，用標(biāo)準(zhǔn)差計算式求得的稱為“中誤差”?！?-2衡量精度的指標(biāo)一、精度16§5-2衡量精度的指標(biāo)

二、中誤差某觀測值真值X已知；（設(shè)在相同觀測條件下，對任一個未知量進(jìn)行了n次觀測，其觀測值分別為、、，n個觀測值的真誤差、、。為了避免正負(fù)誤差相抵消和明顯地反映觀測值中較大誤差的影響，通常是以各個真誤差的平方和的平均值再開方作為評定該組每一觀測值的精度的標(biāo)準(zhǔn)，即m稱為中誤差，m小--精度高；m大--精度低。n－觀測值個數(shù)

真誤差§5-2衡量精度的指標(biāo)二、中誤差17§5-2衡量精度的指標(biāo)二、中誤差例:設(shè)有1、2兩個小組，對三角形的內(nèi)角和進(jìn)行了9次觀測，分別求得其真誤差為：1組：2組：試比較這兩組觀測值的中誤差。解：說明1組的觀測精度比2組高?！?-2衡量精度的指標(biāo)二、中誤差18m1較小,誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。兩組觀測值誤差的正態(tài)分布曲線的比較：m1=

5.2m2=

6.219不同中誤差的正態(tài)分布曲線§5-2衡量精度的指標(biāo)m1較小,誤差分布比較集中，觀測值精度較高；兩組觀測值誤差19§5-2衡量精度的指標(biāo)三、容許誤差根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d

內(nèi)的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：P(||m)=0.683=68.3；P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7§5-2衡量精度的指標(biāo)三、容許誤差20§5-2衡量精度的指標(biāo)三、容許誤差將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：P(||m)=0.683=68.3；P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m|或|容|=2|m︱§5-2衡量精度的指標(biāo)三、容許誤差21§5-2衡量精度的指標(biāo)四、相對誤差(相對中誤差)

—中誤差絕對值與觀測量之比。用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。分?jǐn)?shù)值較小相對精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對精度較低。例：用鋼尺丈量兩段距離分別得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.03m。計算S1、S2的相對誤差。解：

K2<K1，所以距離S2精度較高?！?-2衡量精度的指標(biāo)四、相對誤差(相對中誤差)22§5-3算術(shù)平均值及其中誤差（P82）一、算術(shù)平均值設(shè)在相同的觀測條件下，對某未知量進(jìn)行了n次觀測，得n個觀測值1,2,···,n,則該量的算術(shù)平均值為x：§5-3算術(shù)平均值及其中誤差（P82）一、算術(shù)平均值23§5-3算術(shù)平均值及其中誤差一、算術(shù)平均值證明算術(shù)平均值為該量的最或是值：設(shè)該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為：當(dāng)觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術(shù)平均值就是該量的真值；當(dāng)觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術(shù)平均值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值?！?-3算術(shù)平均值及其中誤差一、算術(shù)平均值24§5-3算術(shù)平均值及其中誤差二、觀測值改正數(shù)未知量的最或是值x與觀測值li之差稱為觀測值改正數(shù)vi，即§5-3算術(shù)平均值及其中誤差二、觀測值改正數(shù)25§5-3算術(shù)平均值及其中誤差三、由觀測值改正數(shù)計算觀測值中誤差§5-3算術(shù)平均值及其中誤差三、由觀測值改正數(shù)計算觀測值26§5-3算術(shù)平均值及其中誤差三、由觀測值改正數(shù)計算觀測值中誤差§5-3算術(shù)平均值及其中誤差三、由觀測值改正數(shù)計算觀測值27§5-3算術(shù)平均值及其中誤差四