第七章-IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法課件

第七章無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）

數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法7.1引言

7.2數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)步驟

7.3數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)

7.4

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法分類

7.5模擬濾波器的設(shè)計(jì)

7.7沖激響應(yīng)不變法

7.9雙線性變換法第七章無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）

本章主要討論找到一個(gè)滿足技術(shù)指標(biāo)要求的可實(shí)現(xiàn)的因果穩(wěn)定的數(shù)字濾波器來逼近理想的濾波器幅度特性。IIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)(1)單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長；(2)系統(tǒng)函數(shù)是有理分式的形式H(z)在有限z平面上既有極點(diǎn)又有零點(diǎn)。極點(diǎn)應(yīng)全在Z平

面單位圓內(nèi)；系統(tǒng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)上既有正向支路，也有反饋支路，也就

是包含遞歸結(jié)構(gòu)。7.1引言本章主要討論找到一個(gè)滿足技術(shù)指標(biāo)要求的可實(shí)現(xiàn)的因果穩(wěn)定的數(shù)字7.2數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)步驟(1)按照任務(wù)的需要

，確定濾波器的性能指標(biāo)；(2)用一個(gè)因果穩(wěn)定的LSI系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要

求，逼近的系統(tǒng)函數(shù)可以是IIR或FIR濾波器；(3)用有限精度算法來實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，包括運(yùn)算

結(jié)構(gòu)，選擇合適的字長以及有效數(shù)字的處理方法；(4)實(shí)際技術(shù)的實(shí)現(xiàn)，包括采用軟件、專用數(shù)字濾波

器的硬件或?qū)Ｓ玫臄?shù)字信號處理器實(shí)現(xiàn)。7.2數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)步驟(1)按照任務(wù)的需要，確定7.3數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)理想低通濾波器逼近的誤差容限7.3數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)理想低通濾波器逼近的誤差容限（1）有通帶、阻帶和過渡帶（2）通帶中有通帶截止頻率，及通帶波紋（3）阻帶中有阻帶截止頻率，及阻帶波紋（4）在過渡帶內(nèi)，頻率響應(yīng)幅度從通帶邊沿到阻帶

邊沿是平滑過渡的；（5）一般用分貝dB來表示，即通帶允許的最大衰減Rp

分貝及阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減As分貝。（1）有通帶、阻帶和過渡帶如果用分貝來表示增益，則將

處的增益稱為0dB，則通帶邊沿處的增益為-Rp分

貝，阻帶起始頻率處的增益為-AS分貝。例：如果用分貝來表示增益，則將

1.幅度平方響應(yīng)

的極點(diǎn)(零點(diǎn))既是共軛的，又是以單位

圓為鏡像對稱的，就是成共軛倒數(shù)。取單位圓內(nèi)的極點(diǎn)作為的極點(diǎn)。

根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)，當(dāng)h(n)為實(shí)序列的時(shí),滿足表征數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)特性的三個(gè)參量是幅度平方響應(yīng)、相位響應(yīng)、群延遲根據(jù)傅立葉變換的性表征數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)特性的三個(gè)參量是2.相位響應(yīng)由于

所以由于所以又有

2.相位響應(yīng)由于3.群延遲響應(yīng)它是濾波器平均延遲的一個(gè)度量

可以化為由于所以因而又有

3.群延遲響應(yīng)它是濾波器平均延遲的一個(gè)度量

同樣可化為

當(dāng)濾波器為線性相位響應(yīng)特性時(shí)，

則通帶內(nèi)延遲特性為常數(shù)。同樣可化為7.4IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法分類IIR系統(tǒng)函數(shù)

求出濾波器的各系數(shù)，使得在規(guī)定意義上(如通帶起伏及阻帶衰減的要求或采用最優(yōu)化準(zhǔn)則)，逼近所要求特性。在z平面上逼近，得到數(shù)字濾波器。7.4IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法分類IIR系統(tǒng)函數(shù)間接法(從AF設(shè)計(jì)IIRDF)直接法（直接設(shè)計(jì)IIRDF)IIRDF沖激響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法雙線性變換法時(shí)域最小均方誤差逼近法頻域最小均方誤差逼近法以及最小P誤差法零點(diǎn)極點(diǎn)配置累試法間接法直接法IIRDF沖激響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法雙線性7.5模擬濾波器設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)步驟：（1）給定濾波器技術(shù)指標(biāo)（2）選定濾波器的類型（例如巴特沃思濾波器或

切比雪夫?yàn)V波器）（3）計(jì)算濾波器需要的階數(shù)（4）通過查表或計(jì)算來確定歸一化低通濾波器的

系統(tǒng)函數(shù)Han(S)（5）將Han(S)轉(zhuǎn)換為所需類型的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)7.5.1引言7.5模擬濾波器設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)步驟：7.5.1引言7.5.2模擬巴特沃思低通濾波器1、幅度平方函數(shù)

稱為巴特沃思濾波器的通帶截止頻率。

當(dāng)時(shí)，

因此又稱為巴特沃低通濾波器頻率響應(yīng)幅度衰減到3dB時(shí)的帶寬。7.5.2模擬巴特沃思低通濾波器1、幅度平方函數(shù)2、巴特沃思低通濾波器幅度特性的特點(diǎn)（1）時(shí)，，無衰減；（2）時(shí)，，即功率

減少到一半，不管濾波器的階數(shù)是多少，所有的幅

度曲線都在處交匯于3dB衰減處。（3）通帶內(nèi)，N越大，通帶內(nèi)幅度特性越平坦；（4）過渡帶及阻帶內(nèi)，N越大，幅度特性在這個(gè)頻率范圍內(nèi)衰減的越快。N=8N=4N=210.7072、巴特沃思低通濾波器幅度特性的特點(diǎn)N=8N=4N=210.3、巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)的全部零點(diǎn)在s=∞處，在有限Z平面只有極點(diǎn)。3、巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)N=3（三階）N=4（四階）N=3（三階）N=4（四階）（1）極點(diǎn)在S平面是象限對稱的，分布在半徑為

的圓上，有2N個(gè)極點(diǎn)，當(dāng)k=1,2,…,N時(shí)，sk即為左半平面極點(diǎn)，就是Ha(s)的極點(diǎn)；（2）極點(diǎn)間隔的角度為rad;（3）極點(diǎn)不會落在虛軸上，這樣系統(tǒng)Ha(s)才是穩(wěn)

定系統(tǒng)；（4）N為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有極點(diǎn)；N為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上沒有極點(diǎn)。（1）極點(diǎn)在S平面是象限對稱的，分布在半徑為第七章-IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法課件在濾波器設(shè)計(jì)手冊中，為了便于對各種類型及各種截止頻率的濾波器設(shè)計(jì)，都是將低通濾波器的截止頻率歸一化為1，此時(shí)巴特沃思?xì)w一化低通濾波器的極點(diǎn)及系統(tǒng)函數(shù)只要將上面的公式中所有的截止頻率換成1即可。在濾波器設(shè)計(jì)手冊中，為了便于對各種類型及各種書P370~371的表7.2、表7.3、表7.4分別給出了歸一化巴特沃思低通濾波器分母多項(xiàng)式用系數(shù)、根以及因式表示的數(shù)據(jù)。書P370~371的表7.2、表7.3、表7.4分別給出了歸4、巴特沃思低通濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)的確定（1）設(shè)計(jì)時(shí)給定的參數(shù)4、巴特沃思低通濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)的確定（1）設(shè)計(jì)時(shí)給定的參數(shù)(2)求濾波器階次N(2)求濾波器階次N第七章-IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法課件(3)求(3)求例設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃思低通濾波器，其通帶截止頻率fp=3000Hz，通帶最大衰減Rp=2dB，阻帶截止頻率為fst=6000Hz，阻帶最小衰減As=2dB。解：（1）求N。例設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃思低通濾波器，其通帶截止頻率fp=3000(2)求，按通帶滿足衰減要求來求兩種方法求系統(tǒng)函數(shù)第一種：由求出的和N求Ha(s)的極點(diǎn)sk，按照公式求所需的Ha(s)第二種：由N求出歸一化巴特沃思系統(tǒng)函數(shù)Han(s)(利用表7.2或7.4)，

然后用去歸一化就得到所需的Ha(s)(2)求，按通帶滿足衰減要求來求（3）求歸一化巴特沃思低通濾波器Han(s)。（4）去歸一化，求所需的Ha(s)（3）求歸一化巴特沃思低通濾波器Han(s)。第七章-IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法課件7.5.6五類模擬濾波器的比較巴特沃思型、切比雪夫Ⅰ型、Ⅱ型濾波器、橢圓函數(shù)型、（1）從幅度響應(yīng)比較。巴特沃思濾波器在全頻段具有單調(diào)下降的幅度特性；切比雪夫Ⅰ型濾波器在通帶種呈等波紋形，在阻帶呈單調(diào)下降；切比雪夫Ⅱ型濾波器在通帶內(nèi)單調(diào)下降，在阻帶呈等波紋形；橢圓函數(shù)型在通帶阻帶都呈等波紋形。（2）從過渡帶比較。當(dāng)所有的指標(biāo)相同，巴特沃思濾波器的過渡帶最寬，橢圓函數(shù)的最窄。（3）從階次N比較。若濾波器具有相同的幅度特性指標(biāo)，則所需的階次依次為巴特沃思型、切比雪夫Ⅰ型、Ⅱ型濾波器、橢圓函數(shù)型。（4）濾波器對參數(shù)量化（變化）的靈敏度比較，量化靈敏度越低越好，依次為巴特沃思型、切比雪夫Ⅰ型、Ⅱ型濾波器、橢圓函數(shù)型。（5）相位響應(yīng)的比較。貝塞爾具有最好的對線性相位的逼近，后面依次為巴特沃思型、切比雪夫Ⅰ型、Ⅱ型濾波器、橢圓函數(shù)型。但是貝塞爾型濾波器幅度響應(yīng)性能最差。7.5.6五類模擬濾波器的比較巴特沃思型、切比雪夫Ⅰ型、7.6間接法的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方案樣本歸一化模擬低通樣本歸一化模擬低通樣本歸一化模擬低通模擬低通、高通帶通、帶阻數(shù)字低通、高通帶通、帶阻數(shù)字低通、高通帶通、帶阻數(shù)字低通、高通帶通、帶阻數(shù)字低通模擬-模擬頻帶轉(zhuǎn)換數(shù)字化數(shù)字化數(shù)字-數(shù)字頻帶轉(zhuǎn)換技術(shù)指標(biāo)技術(shù)指標(biāo)技術(shù)指標(biāo)7.6間接法的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方案樣本歸一化樣本歸一化數(shù)字化的方法：是把s平面映射到z平面，使模擬系統(tǒng)函數(shù)變換成所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)?；緱l件：（1）S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上;

（2）因果穩(wěn)定的就能映射成因果穩(wěn)定,也就是要求S平面的左半平面必須映射到Z平面的單位圓內(nèi)。幾種映射方法：沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法。

數(shù)字化的方法：是把s平面映射到z平面，使模擬系統(tǒng)函數(shù)7.7沖激響應(yīng)不變法1、變換原理沖激響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列h(n)逼近模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)。即抽樣滿足7.7沖激響應(yīng)不變法1、變換原理2、變換過程、變換關(guān)系式設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階次大于分子的階次。展開部分分式

其相應(yīng)的沖激響應(yīng)是的拉普拉斯變換即

2、變換過程、變換關(guān)系式對h(n)求z變換，得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)對h(n)求z變換，得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)等于模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，等式之間還有一個(gè)1/T的加權(quán)因子，當(dāng)抽樣頻率高時(shí)，濾波器增益會太高。修正方法：令則有及因，共軛極點(diǎn)，其變成H(z)關(guān)系數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)等于模擬濾波器頻率響應(yīng)的周3、從S平面變換到Z平面的變換關(guān)系z=estz=rejω

s=σ+jΩtz=rejω=e(σ+jΩ)t=eσte+jΩtr=eσtω=ΩTS平面Z平面3π/Tπ/T-π/T-3π/T001-1σjΩjIm[z]Re[z]3、從S平面變換到Z平面的變換關(guān)系S平面Z平面3π/Tπ/T4、Ha(s)和變換后H(z)之間的關(guān)系（1）s平面的單極點(diǎn)變換到z平面上處的單極點(diǎn)。（2）兩者部分分式的系數(shù)是相同的，都是（3）如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。（4）能保證兩者極點(diǎn)代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，但不存在s平面z平面的一一對應(yīng)關(guān)系，尤其是零點(diǎn)就沒有這種關(guān)系。而是隨的極點(diǎn)及系數(shù)兩者而變

化。4、Ha(s)和變換后H(z)之間的關(guān)系數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，延拓的周期為因此，根據(jù)抽樣定理，模擬濾波器的最高頻率必須小于，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)才能帶限于，才能不失真的重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)。由于數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)指標(biāo)是用數(shù)字頻率給出，如果增加采樣頻率，則樣本模擬濾波器的截止頻率也會成比例的增加，因此不能用改變采樣頻率的方法來控制混疊失真。6、混疊失真數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率6、混疊失真7、頻率間的關(guān)系8、沖激響應(yīng)不變法的特點(diǎn)（1）線性相位（2）由于要求模擬濾波器是嚴(yán)格帶限的，因此不能用于設(shè)計(jì)高通及帶阻濾波器，這是由于當(dāng)f>fs/2時(shí)，它們的幅度響應(yīng)仍不衰減，一定會產(chǎn)生混疊失真；（3）沖激響應(yīng)不變法的變換關(guān)系，只適用于并聯(lián)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)，即系統(tǒng)必須先展開成部分分式。（4）適用于要求時(shí)域沖激響應(yīng)能逼近模擬濾波器場合。7、頻率間的關(guān)系8、沖激響應(yīng)不變法的特點(diǎn)（1）線性相位例設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試?yán)脹_激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。解：直接利用可得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

設(shè)T＝1，則有例設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)分別為

模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)分別為7.9雙線性變換法目的：主要用來克服混疊現(xiàn)象。1、基本思路雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種變換方法。首先把整個(gè)s平面壓縮變換到某一中介的s1平面的一條橫帶里(即從-π/T到π/T)；其次再通過上面討論過的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系,將此橫帶變換到整個(gè)z平面上去,這樣就使s平面與z平面一一對應(yīng)來消除混疊。7.9雙線性變換法目的：主要用來克服混疊現(xiàn)象。S平面S1平面z平面jΩ0σσ1jΩ10π/T-π/TjIm[z]Re[z]01-1雙線性變換法的映射關(guān)系S平面S1平面z平面jΩ0σσ1jΩ10π/T-π/TjIm（1）將s平面整個(gè)jΩ軸壓縮變換到s1平面jΩ1軸上的－π/T到π/T一段，可以采用的變換方式：這樣，上式可以寫成：解析延拓到s平面和s1平面，令則

2、變換過程及變換關(guān)系式（1）將s平面整個(gè)jΩ軸壓縮變換到s1平面jΩ1軸上的－π/（2）將s1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z平面

（3）得到s平面和z變換的單值映射關(guān)系

（4）為使模擬濾波器的某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應(yīng)關(guān)系引入待定常數(shù)c，

第七章-IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法課件仍將代入，可得變換關(guān)系為這種變換就稱為雙線性變換。仍將代入，可得3、非線性的頻率變換關(guān)系模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系當(dāng)零頻附近呈線性關(guān)系，當(dāng)增加時(shí)，就存在非線性關(guān)系。當(dāng)Ω=±∞時(shí)，，也就是數(shù)字頻率終止與折疊頻率處。Ω/c=tan(ω/2)ωπ-π03、非線性的頻率變換關(guān)系模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的Ω/c（1）由于沒有頻率響應(yīng)的混疊失真，可以設(shè)計(jì)低通、帶通、高通、帶阻各種濾波器；（2）頻率變換是非線性的，會導(dǎo)致DF的幅頻響應(yīng)相對于AF的幅頻響應(yīng)有畸變。例如理想微分器及線性相位的AF經(jīng)過變換后不再保持原有的理想微分器及線性相位的特點(diǎn)。（3）變換關(guān)系適用于各種結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)。4、雙線性變換的特點(diǎn)（1）由于沒有頻率響應(yīng)的混疊失真，可以設(shè)計(jì)低通、帶通、高通、ΩΩ2Ω10Ω2Ω1Ω0ω1ω2ω1ω2ππ0|Ha(jΩ)||H(ejω)|ωω=2tan-1(Ω/c)理想微分器經(jīng)雙線性變換后幅頻響應(yīng)產(chǎn)生畸變ΩΩ2Ω10Ω2Ω1Ω0ω1ω2ω1ω2ππ0|Ha(jΩ)解決辦法：將頻率加以預(yù)畸，即利用將給定的數(shù)字濾波器的截止頻率（即臨界頻率）變換成模擬頻率，利用這組來設(shè)計(jì)模擬濾波器，對設(shè)計(jì)好的樣本模擬原形濾波器經(jīng)過雙線性變換后，即可以得到所需要的數(shù)字濾波器，它的截止頻率恰好是解決辦法：將頻率加以預(yù)畸，即利用5、模擬濾波器數(shù)字化方法利用雙線性變換將模擬濾波器數(shù)字化的辦法：（1）s到z之間的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，可以將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)用代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：（2）先將模擬系統(tǒng)分解為并聯(lián)或級聯(lián)的子系統(tǒng)，每個(gè)系統(tǒng)都變成低階的，然后再對每個(gè)子系統(tǒng)函數(shù)分別進(jìn)行雙線性變換。因?yàn)槟M系統(tǒng)函數(shù)的分解有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。5、模擬濾波器數(shù)字化方法利用雙線性變換將模擬濾波器數(shù)字化的辦6、用列表格的方法來完成雙線性變換此變換在概念上很清楚，但是實(shí)際變換可能會比較復(fù)雜，可以先求出雙線性變換法中數(shù)字濾波器的系數(shù)與模擬濾波器的系數(shù)之間的關(guān)系式，并列成表格，便可以利用表格進(jìn)行設(shè)計(jì)。6、用列表格的方法來完成雙線性變換此變換在概念上很清楚，但是一階N＝1A0