合情推理與演繹推理課件

第三十五講合情推理與演繹推理第三十五講合情推理與演繹推理回歸課本1.合情推理(1)歸納推理:由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理;或者由個別事實概括出一般結論的推理,稱為歸納推理,簡言之,歸納推理是由部分到整體,由個別到一般的推理.回歸課本(2)類比推理:由兩類對象具有某些和其中一類對象的某些類似特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理,簡言之,類比推理是由已知特征到特殊的推理. (3)合情推理:歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實,經(jīng)過觀察,分析,比較,聯(lián)想,再進行歸納,類比,然后提出猜想的推理,我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.

(2)類比推理:由兩類對象具有某些和其中一類對象的某些類似特

注意:(1)合情推理所獲得的結論,僅僅是一種猜想,未必可靠.例如費馬猜想就被歐拉推翻了.(2)在進行類比推理時要盡量從本質(zhì)上去類比,不要被表面現(xiàn)象迷惑,否則只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比,就會犯機械類比的錯誤. 注意:(1)合情推理所獲得的結論,僅僅是一種猜想,未必可靠2.演繹推理(1)演繹推理:從一般性原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結論,我們把這種推理稱為演繹推理,簡言之,演繹推理是由一般到特殊的推理.(2)三段論是演繹推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情況;③結論——根據(jù)一般原理,對特殊情況做出的判斷.2.演繹推理考點陪練1.下面幾種推理是合情推理的是()①由圓的性質(zhì)類比出球的有關性質(zhì);②由直角三角形?等腰三角形?等邊三角形的內(nèi)角和是180°,歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°;③教室內(nèi)有一把椅子壞了,則該教室內(nèi)的所有椅子都壞了;考點陪練④三角形內(nèi)角和是180°,四邊形內(nèi)角和是360°,五邊形內(nèi)角和是540°,由此得凸n邊形內(nèi)角和是(n-2)?180°.A.①② B.①③④C.①②④ D.②④④三角形內(nèi)角和是180°,四邊形內(nèi)角和是360°,五邊形內(nèi)角解析:前提為真時,結論可能為真的推理稱為合情推理,由此可得出①③④是合情推理,而②不是合情推理,因為所有三角形不只包括直角三角形?等腰三角形?等邊三角形,故選B.答案:B評析:前提為真,必須是要研究對象的前提,比如由椅子壞了,推出椅子壞了是可以的,由椅子壞了,推出桌子也壞了是不對的,②的推理屬于前提不對.解析:前提為真時,結論可能為真的推理稱為合情推理,由此可得出2.“所有9的倍數(shù)(M)都是3的倍數(shù)(P),某奇數(shù)(S)是9的倍數(shù)(M),故該奇數(shù)(S)是3的倍數(shù)(P)”.上述推理是()A.小前提錯誤 B.大前提錯誤C.結論錯誤 D.正確的解析:由于“9的倍數(shù)是3的倍數(shù)”為真,若“某數(shù)是9的倍數(shù)”也為真,則“某數(shù)為3的倍數(shù)”為真.即大前提與小前提都正確,則結論必然正確,故選D.答案:D 2.“所有9的倍數(shù)(M)都是3的倍數(shù)(P),某奇數(shù)(S)是9

評析:本題是一個演繹推理的題目,根據(jù)演繹推理的理論,只要大前提與小前提都正確,結論就正確,此題中的大前提與小前提是正確的,因此結論是正確的.這就說明,在判斷推理的正確性時,要利用理論進行判斷,即要熟練掌握各種理論?原理?結論. 評析:本題是一個演繹推理的題目,根據(jù)演繹推理的理論,只要大3.利用歸納推理推斷,當n是自然數(shù)時, (n2-1)[1-(-1)n]的值( )A.一定是零 B.不一定是整數(shù)C.一定是偶數(shù) D.是整數(shù)但不一定是偶數(shù)解析:當n=1時,值為0;當n=2時,值為0;當n=3時,值為2;當n=4時,值為0;當n=5時,值為6.答案:C3.利用歸納推理推斷,當n是自然數(shù)時, (n2-1)[4.在等差數(shù)列{an}中,若m+n=r+s,則am+an=ar+as(m、n、r、s∈N+).類比得到等比數(shù)列具有性質(zhì):_____________.解析:∵am?an=a1qm-1?a1qn-1=a21qm+n-2,ar?as=a1qr-1a1qs-1=a21qr+s-2,又∵m+n=r+s,∴am?an=as?ar.答案:在等比數(shù)列{an}中,若m+n=r+s,則am?an=ar?as(m,n,r,s∈N+)4.在等差數(shù)列{an}中,若m+n=r+s,則am+an=a5.(2010·山東)觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導函數(shù),則g(-x)=()A.f(x) B.-f(x)C.g(x) D.-g(x)解析:觀察可知,偶函數(shù)f(x)的導函數(shù)g(x)都是奇函數(shù),所以g(-x)=-g(x),故選D.

答案:D

5.(2010·山東)觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x類型一歸納推理解題準備:歸納推理的一般步驟是:(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想).類型一歸納推理[分析]根據(jù)已知條件和遞推關系,先求出數(shù)列的前幾項,然后總結歸納其中的規(guī)律,寫出其通項公式.[分析]根據(jù)已知條件和遞推關系,先求出數(shù)列的前幾項,然后總結[探究1]設f(n)=n2+n+41,n∈N*,計算:f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10)都是質(zhì)數(shù)的值,同時作出歸納推理,并用n=40驗證猜想是否正確.[解]f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,[探究1]設f(n)=n2+n+41,n∈N*,計算:f(1f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都為質(zhì)數(shù),∴歸納猜想:當n∈N*時,f(n)=n2+n+41的值都為質(zhì)數(shù).f(6)=62+6+41=83,∵n=40時,f(40)=402+40+41=40×(40+1)+41=41×41,∴f(40)是合數(shù),因此,由上面歸納推理得到的猜想不正確.∵n=40時,[評析]由歸納推理所得的有限項所表示的規(guī)律不一定適合于一般項,若驗證其正確,需進行具體計算或嚴格證明.

歸納分為完全歸納和不完全歸納,由歸納推理所得的結論雖然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具體到抽象的認識功能,對科學的發(fā)現(xiàn)是十分有用的.觀察?實驗,對有限的資料作歸納整理,提出帶規(guī)律性的說法是科學研究的最基本的方法之一.

[評析]由歸納推理所得的有限項所表示的規(guī)律不一定適合于一般項類型二類比推理解題準備:1.類比推理和歸納推理都屬于合情推理,利用歸納和類比方法進行簡單的推理是高考中常見題型,多以填空題的形式出現(xiàn).2.由兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理叫做類比推理,它是一種由特殊到特殊的推理.3.類比推理的一般步驟:(1)找出兩類事物之間的相似(或一致)性;(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(猜想).類型二類比推理【典例2】(2010·濰坊)請用類比推理完成下表:【典例2】(2010·濰坊)請用類比推理完成下表: [解]本題由已知前兩組類比可得到如下信息:①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對象;②三角形各邊的邊長與三棱錐的各面的面積是類比對象;③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對象;④三角形的面積與三棱錐的體積是類比對象;⑤三角形的面積公式中的“二分之一”與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類比對象. [解]本題由已知前兩組類比可得到如下信息:①平面中的三角形由以上分析可知:由以上分析可知:故第三行空格應填:三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一.本題結論可以用等體積法,將三棱錐分割成四個小的三棱錐去證明,此處從略.故第三行空格應填:三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積[反思感悟]類比推理的關鍵是找到合適的類比對象.平面幾何中的一些定理?公式?結論等,可以類比到空間立體幾何中,得到類似結論.一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比列表如下:[反思感悟]類比推理的關鍵是找到合適的類比對象.平面幾何中合情推理與演繹推理課件類型三演繹推理解題準備:1.“三段論”是演繹推理的一般模式,形如“若b

c,a

b,則a

c”,這種推理規(guī)則叫做三段論推理.它是由大前提、小前提和結論三部分構成的.2.三段論推理的一般步驟是:(1)b

c;(2)a

b;(3)得出結論a

c.3.三段論推理常用的表示形式:M—P(M是P)S—M(S是M)S—P(S是P)類型三演繹推理【典例3】在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D?E是垂足.求證:AB的中點M到D?E的距離相等.[分析]解答本題需要利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)作為大前提.[證明](1)因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形,——大前提在△ABD中,AD⊥BC,即∠ADB=90°,——小前提所以△ABD是直角三角形.——結論【典例3】在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D?(2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,——大前提而M是Rt△ABD斜邊AB的中點,DM是斜邊上的中線,——小前提所以 .——結論同理 ,所以DM=EM.(2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,——大前提 [反思感悟]演繹推理主要是由大前提?小前提推出結論的三段論式推理.三段論的公式中包含三個判斷:第一個判斷稱為大前提,它提供了一個一般的原理;第二個判斷叫小前提,它指出了一個特殊情況;這兩個判斷聯(lián)合起來,揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系,從而產(chǎn)生了第三個判斷——結論.演繹推理是一種必然性推理,演繹推理的前提與結論之間有蘊涵關系.因此,只要前提是真實的,推理的形式是正確的,那么結論必定是真實的,但錯誤的前提可能導致錯誤的結論. [反思感悟]演繹推理主要是由大前提?小前提推出結論的三段論[探究2]已知函數(shù) ,其中a>0,b>0,x∈(0,+∞),確定f(x)的單調(diào)區(qū)間,并證明在每個單調(diào)區(qū)間上的增減性.[分析]利用演繹推理證明.[探究2]已知函數(shù) ,其中a>0,b>0,x∈(0,合情推理與演繹推理課件合情推理與演繹推理課件 [評析]這里用了兩個三段論的簡化形式,都省略了大前提,第一個三段論所依據(jù)的大前提是減函數(shù)的定義,第二個三段論所依據(jù)的大前提是增函數(shù)的定義.小前提分別是f(x)在上滿足減函數(shù)定義和f(x)在上滿足增函數(shù)定義,這是證明該例題的關鍵. [評析]這里用了兩個三段論的簡化形式,都省略了大前提,第一錯源一 “先天不足,急于武斷”【典例1】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=-an+1,試歸納出這個數(shù)列的通項公式.錯源一 “先天不足,急于武斷”合情推理與演繹推理課件合情推理與演繹推理課件錯源二類比不當致誤錯源二類比不當致誤 [剖析]從平面到空間類比時缺乏對應特點的分析,在三角形內(nèi)一點到各邊的距離與該邊上的高的比值之和等于1,類比到空間就應該是三棱錐內(nèi)一點到各個面的距離與該面上高的比值之和等于1.本題如果不考慮比值的特點,就可能誤以為類比到空間后是面積之比等,從而得到一些錯誤的類比結論. [剖析]從平面到空間類比時缺乏對應特點的分析,在三角形內(nèi)一合情推理與演繹推理課件 [評析]類比推理是一種由此及彼的合情推理,“合乎情理”是這種推理的特征,一般的解答思路是進行對應的類比,如平面上的三角形對應空間的三棱錐(四面體),平面上的面積對應于空間的體積等.類比推理得到的結論不一定正確,故這類題目在得到類比的結論后,還要用類比方法對類比結論的正確性作出證明,例如本題中在三角形中的結論是采用等面積法得到的,在三棱錐中就可以根據(jù)等體積法得到,這樣不但寫出來類比的結論,并且這個結論還是一個正確的結論. [評析]類比推理是一種由此及彼的合情推理,“合乎情理”是這技法一特殊化思想【典例1】凸n邊形有f(n)條對角線,凸n+1邊形有f(n+1)條對角線,則f(n+1)與f(n)的關系為( )A.f(n+1)=f(n)+n-1B.f(n+1)=f(n)-n+5C.f(n+1)=f(n)+n+1D.f(n+1)=f(n)+2n-4技法一特殊化思想[解析]從三角形與四邊形入手,由于三角形的對角線條數(shù)為0,即f(3)=0,而f(4)=2,那么f(4)=f(3)+2,經(jīng)驗證C不正確,于是先排除C;再看五邊形,由于f(5)=5,得f(5)=f(4)+3,此時B?D.都不滿足.故選A.[答案]A [方法與技巧]面對歸納推理的問題,特別是選擇題,最易從特殊值入手進行求解.本題如果僅從n邊形與n+1邊形進行探索的話難度很大,若從特殊情況出發(fā),則較容易得出結論.

[解析]從三角形與四邊形入手,由于三角形的對角線條數(shù)為0,即技法二數(shù)形結合思