(完整版)線性代數(shù)知識點總結

(完整版)線性代數(shù)知識點總結線性代數(shù)知識點總結第一章行列式行列式是線性代數(shù)中的一個重要概念。對于二三階行列式，可以直接使用公式計算；而對于N階行列式，需要使用行列式中所有不同行、不同列的n個元素的乘積的和來計算。此外，行列式還涉及到奇偶排列、逆序數(shù)、對換等概念。行列式具有許多性質(zhì)，如行列式行列互換其值不變，某兩行（列）互換行列式變號等。同時，行列式也具有分行（列）可加性。行列式的展開可以使用余子式Mij和代數(shù)余子式Aij來計算。克萊姆法則可以用來解非齊次線性方程組。除了一般的行列式，還有一些特殊的行列式，如轉置行列式、對稱行列式、反對稱行列式、三線性行列式和上（下）三角形行列式。第二章矩陣矩陣是線性代數(shù)中另一個重要的概念。矩陣的定義包括零矩陣、負矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣和相等矩陣等。矩陣可以進行加法和數(shù)乘運算，滿足交換律、結合律和分配律。矩陣的乘法可以使用矩陣中對應元素的乘積之和來計算，需要注意乘法是否有意義。以上是線性代數(shù)中行列式和矩陣的基本知識點總結。在實際應用中，還需要掌握化零法、化三角形行列式法、降階法、升階法和歸納法等行列式運算常用方法。一般情況下，矩陣的乘法不滿足消去律，即由AB=0不能得到A=0或B=0。對于一個矩陣A，它的轉置矩陣為A(A+B)=A+B。對于一個數(shù)k和一個矩陣A，它們的積為kA，而AB的反序積為BA。對于方冪A^k，有A^k1+A^k2=A^(k1+k2)和(kA)^k=k^kA^k。特殊的矩陣包括對角矩陣、數(shù)量矩陣、單位矩陣、上（下）三角形矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、階梯型矩陣和分塊矩陣。在分塊矩陣的轉置中，每個子塊都需要轉置。逆矩陣是指矩陣A存在一個N階矩陣B，使得AB=BA=I。如果矩陣A是非奇異矩陣，則它的逆矩陣是唯一的。初等變換不會改變矩陣的可逆性，而初等矩陣都是可逆的。等價標準形矩陣D可以表示為一個r行n列的矩陣，其中第一行到第r行為一個r階單位矩陣，其余為0。矩陣的秩r(A)可以通過將矩陣轉化為標準式或階梯形來求解。初等變換不會改變矩陣的秩。矩陣和行列式都是數(shù)表，但行列式的行數(shù)和列數(shù)相同，而矩陣的行數(shù)和列數(shù)可以不同。行列式最終是一個數(shù)，而矩陣是一個數(shù)表。逆矩陣的運算律包括：可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆的，可逆矩陣A的數(shù)乘矩陣kA也是可逆的，可逆矩陣A的轉置矩陣也是可逆的，以及兩個可逆矩陣A和B的乘積AB也是可逆的。但兩個可逆矩陣A和B的和A+B不一定可逆。如果一個矩陣A的行列式為0，則稱A為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣。1.若矩陣A可逆，則A的逆矩陣為A^-1。2.伴隨矩陣：設A為N階方陣，則其伴隨矩陣為A=[Aij]，其中Aij為A的代數(shù)余子式。特殊矩陣的逆矩陣：對于分塊矩陣D=[A^-1-A^-1BC^-1;0C],若每個矩陣都可逆，則D的逆矩陣為[D^-1]=[AB;-C^-1A^-1].3.準對角矩陣：設A=[aij]是n階方陣，若a11,a22,...,akk都非零，且其它元素都為0，則A為準對角矩陣。若A11^-1A12A22^-1A23...Akk^-1Ak-1,k-1，則A可逆，且A^-1=[bij],其中bij=(-1)^(i+j)Mji/det(A),Mji為A的(i,j)余子式。4.A*A^-1=A^-1*A=I，其中I為單位矩陣。5.若A為n階方陣，則A=A^T。6.若A可逆，則A*為A的伴隨矩陣，且A^-1=1/det(A)*A*。7.若A可逆，則A*為A的伴隨矩陣，且A*A*=det(A)*I。8.(AB)^T=B^T*A^T。9.判斷矩陣A是否可逆的充要條件是A的行列式不為0。若A可逆，則A^-1可以用定義法、伴隨矩陣法、初等變換法求得。10.初等矩陣與矩陣乘法的關系：設A是m*n階矩陣，則對A的行實行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的m階初等矩陣左乘以A；對A的列實行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘以A（行變左乘，列變右乘）。11.線性方程組的消元法：將增廣矩陣化為簡化階梯型矩陣。非齊次線性方程組的解的情況：r(AB)=r(B)=r且r=n時有唯一解；r(AB)≠r(B)時無解。齊次線性方程組的解的情況：僅有零解的充要條件是r(A)=n，有非零解的充要條件是r(A)<n。當方程個數(shù)<未知量個數(shù)時，一定有非零解；當方程個數(shù)=未知量個數(shù)時，有非零解的充要條件是|A|=0；若有零解，則一定有無窮多個解。12.N維向量：由n個實數(shù)組成的n元有序數(shù)組。特殊的向量有行向量、列向量、零向量θ、負向量、相等向量和轉置向量。向量間的線性關系可以表示為線性組合或線性表示。向量組間的線性相關（無）：定義P179。向量組的秩可以通過極大無關組來定義，即向量組中的一個極大線性無關子組的元素個數(shù)。定理：若向量組α1,α2,...,αs的一個線性無關的部分組αj1,αj2,...,αjr是極大無關組，則它是極大無關組的充要條件是：α1,α2,...,αs的任意一個向量都可以表示為αj1,αj2,...,αjr的線性組合。每個向量在向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$中都可以用線性組合的形式表示。其中，$r$為極大無關組所含向量的個數(shù)，即秩的定義。定理：設$A$為$m*n$矩陣，則$r(A)=r$的充要條件是$A$的列（行）秩為$r$。解性方程組的結構包括齊次和非齊次方程組，以及基礎解系。兩個向量$\alpha,\beta$，如果$\alpha=k\beta$，則$\alpha$是$\beta$的線性組合。單位向量組中的任意向量都可以表示為該向量組的線性組合，而零向量可以表示為任意向量組的線性組合。任意向量組中的一個向量都可以表示為它本身的線性組合。向量組的線性相關性（無關性）判斷方法有三種：定義法、向量間關系法和分量法。其中，分量法適用于$n$個$m$維向量組。線性相關的充要條件是$r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)>r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{n-1})$，而線性無關的充要條件是$r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)=n$。推論：當$m=n$時，向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性相關的充要條件是它們共面；當$m<n$時，向量組線性相關。向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$線性無關時，當$s$為奇數(shù)時，向量組$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,...,\alpha_s+\alpha_1$也線性無關；當$s$為偶數(shù)時，向量組也線性相關。定理：如果向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta$線性相關，則向量$\beta$可以由向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$線性表出，且表示法唯一的充分必要條件是$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$線性無關。極大無關組是向量組的一個子集，其中所含向量個數(shù)最多且線性無關。極大無關組不是唯一的，但所含向量的個數(shù)是確定的。不全為零的向量組一定存在極大無關組，而無關的向量組的極大無關組是其本身。向量組與其極大無關組是等價的。齊次線性方程組的解的結構包括解為$\alpha_1,\alpha_2,...$的線性組合，以及任意倍數(shù)$k\alpha$仍為解。兩個解的和$\alpha_1+\alpha_2$仍為解。解的線性組合$c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+...+c_s\alpha_s$也是非齊次線性方程組的解，其中$c_1,c_2,...,c_s$是任意常數(shù)。非齊次線性方程組的解結構為$\mu_1,\mu_2,...$，其中任意兩個解的差$\mu_1-\mu_2$仍然是非齊次線性方程組的解；若$\mu$是非齊次線性方程組$AX=B$的一個解，$v$是其導出組$AX=0$的一個解，則$u+v$是非齊次線性方程組的一個解。定理：如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣$A$的秩$r(A)=r<n$，則該方程組的基礎解系存在，且在每個基礎解系中，恰含有$n-r$個解。若$\mu$是非齊次線性方程組$AX=B$的一個解，$v$是其導出組$AX=0$的全部解，則$u+v$是非齊次線性方程組的全部解。第四章向量空間實向量的內(nèi)積定義為$(\alpha,\beta)=\alpha\beta^T=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$，具有非負性、對稱性和線性性。其中，$(\alpha,k\beta)=k(\alpha,\beta)$，$(k\alpha,k\beta)=k(\alpha,\beta)$，$(\alpha+\beta,\gamma+\delta)=(\alpha,\gamma)+(\alpha,\delta)+(\beta,\gamma)+(\beta,\delta)$。向量的長度$\|\alpha\|=(\alpha,\alpha)$，當且僅當$\alpha=0$時，$\|\alpha\|=0$；$\alpha$是單位向量當且僅當$(\alpha,\alpha)=1$，可以進行單位化處理。向量的夾角可以通過向量的內(nèi)積進行計算。若向量$\alpha$和$\beta$正交，則$(\alpha,\beta)=0$。正交的向量組必定線性無關。正交矩陣是指$n$階矩陣$A$滿足$AA^T=A^TA=I$，其中$I$為單位矩陣。正交矩陣具有以下性質(zhì)：1、若$A$為正交矩陣，則$A$可逆，且$A^{-1}=A^T$，$A$也是正交矩陣；2、若$A$為正交矩陣，則$A=\pm1$；3、若$A$和$B$為同階正交矩陣，則$AB$也是正交矩陣；4、$n$階矩陣$A=(a_{ij})$是正交矩陣的充要條件是$A$的列（行）向量組是標準正交向量。第五章矩陣的特征值和特征向量對于$n$階方陣$A$，若數(shù)$\lambda$滿足$AX=\lambdaX$，即$(\lambdaI-A)X=0$有非零解，則稱$\lambda$為$A$的一個特征值，此時，非零解稱為$A$的屬于特征值$\lambda$的特征向量。$|A|=\lambda_1*\lambda_2*...\lambda_n$。求特征值和特征向量的方法是，先求解$\lambda_i$，然后將其代入$(\lambda_iI-A)X=0$，求出所有非零解。對于不同的矩陣，有重根、單根、復根和實根等情況。特殊情況下，$(\lambdaI)_n$的特征向量為任意$n$階非零向量或$c_1,c_2,...,c_i$不全為零的向量組。特征值和跡特征值是指當矩陣A與一個非零向量v相乘時，結果仍然是v的倍數(shù)，這個倍數(shù)就是特征值λ。如果λ不等于0，則Av=λv。如果λ=0或1，則A=A；如果λ=-1或1，則A=I；如果λ=0，則A=O。跡是指矩陣A的主對角線上所有元素的和，即tr(A)=a11+a22+……+ann。跡有以下性質(zhì)：1）N階方陣可逆的充要條件是A的特征值全是非零的；2）A與A的逆矩陣有相同的特征值；3）N階方陣A的不同特征值所對應的特征向量線性無關。相似矩陣如果存在可逆矩陣P，使得P的逆矩陣乘以A再乘以P得到B，即P^-1AP=B，則矩陣A與B相似，記作A~B。相似矩陣有以下性質(zhì)：1）自身性：A~A，P=I；2）對稱性：若A~B，則B~A；3）傳遞性：若A~B、B~C，則A~C；4）若AB，則A與B同（不）可逆；5）若A~B，則A的逆矩陣與B的逆矩陣相似；6）若A~B，則它們有相同的特征值；7）若A~B，則A和B的秩相同。矩陣對角化和約當形矩陣矩陣A與N階對角形矩陣相似的充要條件是A有N個線性無關的特征向量。對角化可以簡化矩陣的計算，因為對角矩陣只有主對角線上有非零元素。約當形矩陣是由若干個約當塊組成的對角分塊矩陣，其中約當塊是形如J=（λ）的n階矩陣。約當形矩陣可以用來描述矩陣的特征值和特征向量。1.定理：任何矩陣A都可以被相似于一個約當形矩陣，即存在一個n階可逆矩陣P，使得PAP^-1=J。這個定理在第六章二次型中有重要應用。2.二次型與對稱矩陣：一個只含有二次項的n元多項式f(x)稱為一個n元二次型，簡稱二次型。形如x^TAx的二次型稱為對稱二次型，其中A是一個對稱矩陣。標準型是形如x^TDx的二次型，其中D是一個對角矩陣。規(guī)范型是形如x^TCx的二次型，其中C是一個對角元素為1或-1的對角矩陣。3.線性變換：一個從一個向量空間到另一個向量空間的函數(shù)稱為線性變換。線性變換可以用矩陣來表示，即對于向量x，線性變換T(x)可以表示為Ax，其中A是一個矩陣。4.矩陣的合同：設AB是n階方陣，若存在一個n階可逆矩陣C，使得A=C^TBC，則稱A與B是合同的，記作A~B。合同的性質(zhì)包括反身性、對稱性、傳遞性、秩等。1.定理：任何矩陣A都可以被相似于一個約當形矩陣，即存在一個n階可逆矩陣P，使得PAP^-1=J。這個定理在第六章二次型中有重要應用。2.二次型與