2021年西安交通大學(xué)少年班初試數(shù)學(xué)試題

2021年西安交通大學(xué)少年班初試數(shù)學(xué)試題第一部分：綜合試題（60分）一、填空題（6道）1.若$f(m)=4$，則$f(-m)=\underline{4}$.2.如圖所示，每一個圓的半徑都為2，求圓形外面的周長\underline{$8\pi+4\sqrt{3}$}.3.如圖，$\angleA=90^{\circ}$，$AB=AC=22$，$\triangleCDE$折疊到$\triangleFDE$，其中$E$點(diǎn)是$BC$的中點(diǎn)，求$DE$的長\underline{$11\sqrt{3}$}.\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width=0.2\textwidth]{q1.png}\end{figure}4.一列數(shù)$a_1,a_2,\dots,a_n$滿足$a_1+2a_2+\dots+na_n=n+1$，求$a_1+a_6$的值.5.已知$a,b,c$是$1\sim9$互不相同的整數(shù)，求$a+b+c$的最小值.6.直角三角形三邊是整數(shù)，滿足$c=\sqrt{a^2+b^2}$，求$c$的最大值.二、綜合大題（4道）1.定義基本不等式：$a+b\geq2ab$，其性質(zhì)：（1）求$x+\frac{4}{x}$的最小值和對應(yīng)$x$的值；（2）給定一邊長為$x$（$x>0$），求直角三角形面積的最大值.2.新定義：奇異三角形：滿足兩邊的平方和等于第三邊平方的兩倍的三角形（1）判斷：等邊三角形都是奇異三角形是不是真命題；（2）若$\triangleABC$為直角三角形，$\angleACB=90^{\circ}$，$AC=b$，$BC=a$，$AB=c$，($b>a$)，求$a:b:c$的值.（3）在$\odotO$中，$BC=CE$，$AD=AE$，$D$是半圓$ADB$的中點(diǎn)，①求證：$\triangleACE$是奇異三角形；②若$\triangleACE$是直角三角形，求$\angleADE$的度數(shù).\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width=0.2\textwidth]{q2.png}\end{figure}3.定義：拋物線的方程$y=2px$，準(zhǔn)線$x=-\frac{p}{2}$（$p>0$）.（1）求準(zhǔn)線$l:x=-2$時(shí)，拋物線$C$的方程；（2）在（1）的條件下，若$M(x,y)$是拋物線上的點(diǎn)，求$x+1+\frac{y+1}{2}$的最小值.4.設(shè)二次函數(shù)解析式為$y=ax^2+bx+c$.（1）$a=1$，$b=-1$時(shí)，求$-1\leqx\leq1$時(shí)，$y$的取值范圍；（2）若$-1\leqx\leq1$時(shí)，$ax^2+bx+c$有且僅有一個解，求$a$的取值范圍.第二部分：創(chuàng)新題（40分）材料閱讀：集合的定義，子集、空集、$|$集合的有序?qū)?|$“關(guān)系”（表示法：$A,xPy$），引入偏序概念，性質(zhì)：自反性，反對性，傳遞性2.填空題3道（1）集合$A=\{\varnothing,1,2\}$有\(zhòng)underline{6}個“關(guān)系”，有\(zhòng)underline{13}個偏序；（2）集合$A=\{1,2,\dots,n\}$中，偏序關(guān)系的個數(shù)為$2^{n-1}$.3.證明題3道1.求證集合P={(x,y)∈R;x,y∈N}是偏序。要證明P是偏序，需要滿足以下三個條件：1）自反性：對于任意的(x,y)∈P，都有(x,y)≤(x,y)。2）反對稱性：對于任意的(x,y),(a,b)∈P，如果(x,y)≤(a,b)且(a,b)≤(x,y)，則有(x,y)=(a,b)。3）傳遞性：對于任意的(x,y),(a,b),(c,d)∈P，如果(x,y)≤(a,b)且(a,b)≤(c,d)，則有(x,y)≤(c,d)。首先考慮自反性，由于x和y都是自然數(shù)，所以顯然有x≤x和y≤y，因此(x,y)≤(x,y)。接下來考慮反對稱性，如果(x,y)≤(a,b)且(a,b)≤(x,y)，那么x≤a且y≤b，同時(shí)a≤x且b≤y，因此x=a且y=b，即(x,y)=(a,b)。最后考慮傳遞性，如果(x,y)≤(a,b)且(a,b)≤(c,d)，那么x≤a且y≤b，同時(shí)a≤c且b≤d，因此x≤c且y≤d，即(x,y)≤(c,d)。因此，集合P是偏序。2.略3.略4.設(shè)f(x)=x^2+3x+2，求f(x)在[-2,1]上的最小值。首先求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x+3，令其等于0，得到x=-3/2。由于f'(x)在[-2,1]上單調(diào)遞增，因此x=-3/2