彈性力學第二章 張量基礎知識

彈性力學第二章張量基礎知識第1頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量§2-1坐標系和矢量如圖2.1，三維空間直角坐標系Oxyz,張量:簡潔、統(tǒng)一、物理意義明確、與坐標系的選擇無關P點坐標（x,y,z)P點坐標可記為：正方向的單位基矢量(2.1)第2頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量P點坐標為：(2.2)如圖2.1,原點O到P點的矢量為P點的矢徑,用r表示第3頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量顯然，指標i,j,k與求和無關，可用任意字母代替。為簡化表達式，引入Einstein求和約定：每逢某個指標在一項中重復一次，就表示對該指標求和，指標取遍正數(shù)1，2，…，n。這樣重復的指標稱為啞標。于是n表示空間的維數(shù)，以后無特別說明，我們總取n=3。例題A:求和約定、啞指標第4頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量雙重求和展開式（9項）三重求和（27項）第5頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量是違約的，求和時要保留求和號B:自由指標例如指標i在方程的各項中只出現(xiàn)一次，稱之為自由指標。一個自由指標每次可取整數(shù)1,2,3,…,n，與啞標一樣，無特別說明總取n=3。于是，上式表示3個方程的縮寫：第6頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量i為自由指標，j為啞標表示第7頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月i，j為自由指標，k為啞標表示9個方程：……第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量第8頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月C:Kroneckerdelta符號在卡氏直角坐標系下，Kroneckerdelta符號定義為：其中i，j為自由指標，取遍1，2，3；因此，可確定一單位矩陣：第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量第9頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月若是相互垂直的單位矢量，則，但而，故第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量(2.3)的作用：1）換指標；2）選擇求和。例：注意：是一個數(shù)值，即第10頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月例例個數(shù)，項的和。求特別地，第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量第11頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量任意兩矢量a和b的點積矢量a的模(2.4)兩矢量a和b用正交基表示,則其點積為第12頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量D:置換符號Permutationsymboli,j,k為順序排列i,j,k有兩個相等例如：i,j,k為逆序排列(2.5)可見：也稱為三維空間的排列符號。第13頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量任意兩矢量a和b的叉積由叉積定義,若是直角坐標系的單位基矢量則(2.6)(2.8a)(2.7)aba×b第14頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量式(2.8a)可寫為(2.８b)三矢量a,b,c的混合積(2.9)a,b,c為共點棱的平行六面體的體積，a,b,c構成右手系為正第15頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量Ｅ:Kroneckerdelta符號與置換符號Permutationsymbol的關系(2.10)證明(1).i,j,k有兩個相同時，上式成立，同理，l,m,n有兩個相同時，上式也成立(2).不同時,由下式交換行(a)第16頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量(b)(3).同理,由(b)式交換列可得到(2.10)式從(2.10)式可得到下面幾個有用的恒等式第17頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量即(2.11)第18頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量(2.12)(2.13)二重叉積即(2.14)第19頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月F:坐標變換舊坐標系：新舊基矢量夾角的方向余弦：單位基矢量：新坐標系：單位基矢量：

舊新第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量(2.15)第20頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量

新舊(2.16)變換系數(shù)第21頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-1坐標系和矢量即(2.17)任一矢量u在新舊坐標中表示一致利用(2.15)則即(2.18)矢量u本身與坐標無關,矢量的分量ui隨坐標系而變第22頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-2張量的定義§2-2張量的定義推廣矢量的概念若在空間任一組基下,有用n個指標編號的個數(shù)當基矢量按變換成時,個數(shù)按如下規(guī)律變換張量的定義 (2.19)為對應基下的張量分量,有時稱為n階張量.

個數(shù)的有序集合為一個n階張量.稱第23頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-2張量的定義標量零階張量，不隨坐標變換而變的不變量矢量一階張量，一個矢量的某一分量不是標量，它隨坐標系的變化而變化矢量的三種記法：不變性記法如T；基矢量的線性組合法；用矢量分量表示即并矢記法。一個n階張量的并矢記法：(2.20)n個基矢量并寫在一起，稱為基張量其有基張量.第24頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-2張量的定義二階張量T第25頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-2張量的定義…二階的基張量共9個張量的另一個定義在某一坐標系中,某一個量T可表示成式(2.20)的形式,則T是一個n階張量.(2.20)第26頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-2張量的定義在一個坐標系中,某一張量的所有分量為零,按定義(2.19),則在其它坐標系中的所有分量也為零,這個張量為零張量,O例:證明是一個三階張量(置換張量)滿足變換規(guī)律(2.19),即是一個三階張量例:和是兩個任意矢量,是標量.證明是一個二階張量證:和是任意的,得證二階張量第27頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-3張量代數(shù)§2-3張量代數(shù)A:張量的線性組合同階張量可進行線性組合運算,結果仍為同階張量A,B是二階張量,α和β是標量,則(2.21)交換律:A+B=B+A結合律:A+B+C=A+(B+C),(αβ)A=α(βA)分配律:(α+β)A=αA+βAα(A+B)=αA+αB第28頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-3張量代數(shù)B:張量的縮并在張量的并矢記法中,對某兩個基矢量進行點積,則原張量降低兩階成為一個新的張量,如(2.22)證明是二階張量第29頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-3張量代數(shù)C:張量的并積張量積兩個張量的并積(2.23)n階張量A與p階張量B的并積為C,則C定義為C是(n+p)階張量一般情況下,第30頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-3張量代數(shù)D:張量的點積張量點積兩個張量的點積是先并再縮,如(2.24)雙點積兩個張量的點積是先并再縮二次(2.25)第31頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-3張量代數(shù)E:張量的叉積張量叉積是矢量叉積的推廣,如(2.26)兩個二階張量的叉積第32頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-3張量代數(shù)F:張量的商法則設有個數(shù),對任意q階張量,按下式計算總得一個p階張量,則必為一個(p+q)階張量證:為簡單,取p=q=2因C,B為張量,故(a)(b)(c)第33頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-3張量代數(shù)則四階張量結論:設有個數(shù),對任意m階張量,定義若為n+m階張量,則必為n階張量第34頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-4二階張量§2-4二階張量二階張量T仿射量,線性變換v,u為矢量,用矩陣表示則A,B為二階張量則A:二階張量的矩陣表示(2.27)(2.28)第35頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-4二階張量B:二階張量的行列式(2.29)二階張量的行列式與坐標無關,是不變量.與單位矩陣[I]對應的張量叫單位張量I單位張量I與除標量外的任意張量B的點積仍為B單位矩陣[I](2.30)第36頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-4二階張量C:二階張量的逆與轉置若T,對B有:T·B=B·T=I,則T可逆,B=T-1為逆張量充要條件:T的行列式不為零對定義B為A的轉置張量轉置張量的運算性質:A,B是二階張量,u,v是任意矢量(2.31)(2.32)(2.33)第37頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-4二階張量逆張量運算性質:A,B是二階張量(2.35)(2.34)(2.36)(2.37)D:二階張量的對稱與反對稱若則A是對稱二階張量若即則A是反對稱二階張量任意一個二階張量T可表示成一個對稱張量S和一個反對稱張量W之和(2.38)(張量的加法分解)第38頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-4二階張量(2.39)(2.40)對任一反對稱張量W,必存在唯一一個矢量ω,使得(2.41)對任意矢量v成立因式(2.41)成立ω為對應于反對稱張量W的軸向矢量.第39頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-4二階張量(2.42)V任意,則上式乘enij,則利用等式(2.12)即(2.43)上二式說明反對稱張量和其軸向矢量是一一對應的(2.12)第40頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-5對稱二階張量的譜表示§2-5對稱二階張量的譜表示某二階對稱張量S,若存在一個數(shù)λ和單位矢量a,使得(2.44a)成立,則λ為張量S的特征值(主值),a為張量S對應特征值λ的特征矢量(主方向).根據(jù)商法則,λ為標量.單位矢量a(2.44b)(2.45)(2.46a)展開第41頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-5對稱二階張量的譜表示其中(2.46b)(2.47)分別為S的第一、第二和第三不變量張量S的跡式(2.46)為S的特征方程上式展開與(2.46b)比較第42頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-5對稱二階張量的譜表示(2.48)式(2.46)求出特征值，利用（2.45)和（2.44b)求出特征矢量特征值和特征矢量的性質1.互不相等的特征值對應的特征矢量相互垂直2.三個特征值都是實數(shù)證性質1.特征值對應特征矢量a和b(2.44a)第43頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-5對稱二階張量的譜表示證性質2.是S的任一特征值，對應特征矢量a共軛復數(shù)為實數(shù)規(guī)定張量S的譜第44頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-5對稱二階張量的譜表示譜定理：設S是一個對稱二階張量,則必定存在由其特征矢量構成的一組單位正交基,和ei對應的特征值構成S的譜,且有(2.49)反之,如果S具有(2.49)的形式,且e1、e2和e3是相互正交的單位矢量,則和ei分別是S的特征值和對應的特征矢量證(1)，三個特征值互不相等，對應的ei互相垂直以ei為基矢量，則第45頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-5對稱二階張量的譜表示則譜分解式（2.49）成立(2),二個特征值相等,另一個不同，設取則是相互垂直的右手系解上兩式得由(2.48),(2.47)第46頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-5對稱二階張量的譜表示得則(2.50)由得e3也是對應于λ2的特征向量設則和e1垂直的任何方向都是S的對應于λ2的主方向.e2可取與e1垂直的任一單位矢量(3),三個特征值相等第47頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-5對稱二階張量的譜表示(3),三個特征值相等取e1與λ1對應,取與e1垂直的e2,再取e3=e1×e2則是相互垂直的右手系解得由(2.48),(2.47)解上兩式得得顯然(2.51)第48頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-5對稱二階張量的譜表示即都是S的特征矢量設任一矢量有這表明任一方向都是S的主方向.任取三個相互垂直的單位矢量作為基矢量,式(2.49)成立第49頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-5對稱二階張量的譜表示重要結論：證:由n得基矢量(c)(d)由(c)和(d),去n1得設S是二階對稱張量,是S的譜,是和譜對應的三個相互正交的特征矢量,n是任意單位矢量,則函數(shù)的最小值為,且,f(n)的最大值為,且.第50頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-5對稱二階張量的譜表示(e)(f)由(e)得f取最大值由(f)得f取最小值由(c)和(d),去n3得第51頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-6張量分析§2-6張量分析A:標量的矢量函數(shù)一個張量F依賴于另一張量T而變化矢量u是t的函數(shù),ui也是t的函數(shù),如ui可導,則矢量u對t的導數(shù)為:(2.53)(2.52b)第52頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-6張量分析B:矢量的標量函數(shù)標量f是矢量u的函數(shù)即若f可連續(xù)偏導,則(2.54)f對u的導數(shù)是一個矢量(2.55)第53頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-6張量分析C:矢量的矢量函數(shù)矢量u是矢量v的函數(shù)即若ui的偏導連續(xù).則(2.56a)(2.56b)(2.57)稱為u對v的導數(shù),是一個二階張量第54頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-6張量分析若標量f是二階張量Tij的函數(shù),即D:二階張量的標量函數(shù)若f對二階張量Tij的偏導連續(xù),則(2.58)(2.59)f相對于T的導數(shù),二階張量第55頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-6張量分析(2.60)若是定義在空間區(qū)域的張量,是一個張量場,則則對坐標的一階偏導數(shù)和二階偏導數(shù)記為(二階張量)則的導數(shù)和微分記為(2.61)(2.62)第56頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-6張量分析E:梯度、散度和旋度Hamilton

算子(2.63)則的導數(shù)和微分改寫為(2.64)(2.65)右梯度同樣定義左梯度(2.66)第57頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-6張量分析顯然(2.67)若是一個標量(2.68)標量場的梯度若是一個矢量是二個二階張量，若是一個二階張量第58頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-6張量分析若是一個矢量，其div散度定義為(2.69)矢量的散度為一標量場若是一個二階張量，其左右散度分別定義為二階張量的左右散度為矢量若是一個二階對稱張量，第59頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-6張量分析矢量u的旋度定義設u是矢量場,(2.70)是反對稱張量則w的軸向矢量為第60頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-6張量分析Laplace算子(2.71)(2.72)對一個n階張量對一個標量(2.73)若則是調和函數(shù)第61頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-7積分定理§2-7積分定理在數(shù)學分析中,存在如下等式(2.74)式中,V表示空間的某一區(qū)域,S這一區(qū)域的表面,n=niei是S的外法線單位矢量,是V中具有連續(xù)偏導的場函數(shù)例:矢量令(2.75)令上式的i=j,得高奧公式(2.76)第62頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-7積分定理例:二階張量令(2.77)規(guī)律:面積分中的被積函數(shù)有因子ni,去掉ni,被積函數(shù)的其余部分對xi求偏導就得體積分中的被積分中函數(shù)例:(2.78)V表示空間的某一區(qū)域,S這一區(qū)域的表面,n=niei是S的外法線單位矢量,是V中任意階的光滑張量場“。”表示并積、點積、叉積等任何一種運算，則第63頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎知識§2-7積分定理(2.79)(2.80)例:二階張量令“?！比↑c積(2.79)為(2.77)直接記法以上積分對二維情況也成立定理是定義在區(qū)域V中的一個連續(xù)函數(shù)，D是V的任意一個子區(qū)域，下式成立的充要條件是第64頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章