華師大版數(shù)學(xué)九年級上冊23.3 第5課時 相似三角形的應(yīng)用 課件(共20張PPT)

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第23章圖形的相似

23.3相似三角形

第5課時相似三角形的應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標

1.掌握相似三角形的應(yīng)用；（重點）

2.進一步了解數(shù)學(xué)建模思想，提高分析問題、解決問題的能力.（難點）

觀察與思考

人們從很早開始，就懂得利用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)來計算那些不能直接測量的物體高度和兩地距離。

典例精析

例6古代一位數(shù)學(xué)家想出了一種測量金字塔高度的方法：如圖，為了測量金字塔的高度OB，先豎一根已知長度的木棒O'B'，比較木棒的影長A'B'與金字塔的影長AB，即可近似算出金字塔的高度OB。如果O'B'=1米，A'B'=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.

O'

A'

B'

O

B

C

A

解：∵太陽光線是平行光線，

∴∠OAB=∠O'A'B'

∵∠ABO=∠A'B'O'=90°

∴△OAB∽△O'A'B'（兩角分別相等的兩個三角形相似）,

∴=，

∴OB===137（米）

答：金字塔的高度OB為137米.

例7如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河的對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選定點B和C，使AB⊥BC，然后，再選定點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D。此時如果測得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的寬度AB。(精確到0.1米)

解：∵∠ADB=∠EDC，

∠ABD=∠ECD=90°，

∴△ABD∽△ECD（兩角分別相等的兩個三角形相似）

∴=，

解得AB=

=≈96.7（米）

答：河的寬度AB約為96.7米.

以上例題給我們提供了一些利用相似三角形進行測量的方法

例8如圖，已知D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，

且∠ADE=∠C.求證：AD·AB=AE·AC。

證明：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB（兩角分別相等的兩個三角形相似）,

∴=

∴AD·AB=AE·AC

A

B

C

E

D

如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點P，在河的這一邊取點Q和S，使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞cT，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點為R。如果測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的寬度PQ.

P

Q

S

T

R

a

b

因此河寬大約為90m.

P

Q

S

T

R

a

b

60m

45m

90m

測量不能到達兩點間的距離，常構(gòu)造相似三角形求解.

測距的方法

已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹的根部的距離BD=5m，一個身高1.6m的人沿著正對這兩棵樹的一條水平直路從左向右前進，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端點C了？

分析：如圖，設(shè)觀察者眼睛的位置(視點)為點F，畫出觀察者的水平視線FG，它交AB，CD于點H，K。視線FA，F(xiàn)G的夾角∠AFH是觀察點A的仰角。類似地，∠CFK是觀察點C時的仰角，由于樹的遮擋，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ都在觀察者看不到的區(qū)域(盲區(qū))之內(nèi).再往前走就根本看不到C點了。

由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進，當(dāng)她與左邊的樹的距離小于8m時，由于這棵樹的遮擋，就看不到右邊樹的頂端C.

解：如圖，假設(shè)觀察者從左向右走到點E時，她的眼睛的位置點E與兩棵樹的頂端點A，C恰在一條直線上．

∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.

∴.

即

解得EH=8.

當(dāng)堂練習(xí)

1.如圖，鐵道口的欄桿短臂長1m，長臂長16m，當(dāng)短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高______m.

8

O

B

D

C

A

┏

┛

1m

16m

0.5m

？

2.某一時刻樹的影長為8米，同一時刻身高為1.5米的人的影長為3米，則樹高為______米.

4

解：設(shè)正方形PQMN是符合要求的，△ABC的高AD與PN相交于點E。設(shè)正方形PQMN的邊長為xmm.

因為PN∥BC，所以△APN∽△ABC.

所以.

3.△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？

N

M

Q

P

E

D

C

B

A

解得x=48(mm).

因此，

課堂小結(jié)

1.相似三角形的應(yīng)用主要有兩個方面：

（1）測高

測量不能到達兩點間的距離，常構(gòu)造相似三角形求解.

（不能直接使用皮尺或刻度尺測量）

（不能直接測量的兩點間的距離）

測量不能