拉格朗日中值定理課件

拉格朗日中值定理及其應(yīng)用拉格朗日中值定理及其應(yīng)用1一、拉格朗日中值定理定理1.

設(shè)函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則至少存在一點

分析與羅爾定理相比，拉格朗日中值定理中缺少條件是f(a)=f(b).如果能由f(x)構(gòu)造一個新函數(shù)使在[a,b]上滿足羅爾定理條件，且由能導(dǎo)出則問題可解決.一、拉格朗日中值定理定理1.設(shè)函數(shù)f(x)滿足(1)2證令由于f(x)在[a,b]上連續(xù)，因此在[a,b]上連續(xù).由于f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，因此在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).又由于因此在[a,b]上滿足羅爾定理條件，所以至少存在一點，使，即從而有證令由于f(x)在[a,b]上連續(xù)，因此3幾何解釋:幾何解釋:4

如果f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在以為端點的區(qū)間上f(x)也滿足拉格朗日中值定理，即

因此又稱拉格朗日中值定理為有限增量定理.其中為之間的點.也可以記為或如果f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，5推論1

若在(a,b)內(nèi)恒等于零，則f(x)在(a,b)內(nèi)必為某常數(shù).事實上，對于(a,b)內(nèi)的任意兩點，由拉格朗日中值定理可得由拉格朗日中值定理可以得出積分學(xué)中有用的推論：

位于x1，x2之間，故有f(x1)=f(x2).由x1，x2的任意性可知f(x)在(a,b)內(nèi)恒為某常數(shù).推論1若在(a,b)內(nèi)恒等于零，則f6推論2

若在(a,b)內(nèi)恒有，則有其中C為某常數(shù).由推論1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C,事實上，由已知條件及導(dǎo)數(shù)運算性質(zhì)可得推論2若在(a,b)內(nèi)恒有7例1

函數(shù)在區(qū)間[－1,3]上滿足拉格朗日中值定理的=().由于在[－1,3]上連續(xù)，在(－1,3)內(nèi)可導(dǎo)，因此f(x拉格朗日中值定理條件.)在[－1,3]上滿足分析由拉格朗日定理可知，必定存在由于f(b)=f(3)=16,f(a)=f(－1)=4,而二、拉格朗日中值定理的應(yīng)用例1函數(shù)8可解得，因此本例應(yīng)選D.可解得，因此本例應(yīng)選D.9例2

當x>0時,試證不等式分析取f(t)=ln(1+t)，a=0，b=x.則f(t)=ln(1+t)在區(qū)間[0,x]上滿足拉格朗日中值定理，因此必有一點使得.例2當x>0時,試證不等式分析取f(t)=ln(1+t10說明本例中，若令y=lnt，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理證明所