拉普拉斯反變換的部分分式展開課件

拉普拉斯反變換:部分分式展開法小組成員：楊朦朦、王曼、薛久明、劉影拉普拉斯反變換:部分分式展開法小組成員：楊朦朦、王曼、薛久明1一、部分分式展開法

象函數(shù)通常可表示為兩個(gè)實(shí)系數(shù)的s的多項(xiàng)式之比，即s的一個(gè)有理分式式中m和n為正整數(shù)，且n≥m。一、部分分式展開法 象函數(shù)通?？杀硎緸閮蓚€(gè)實(shí)系數(shù)的s的多項(xiàng)式2分解定理

把F(s)分解成若干簡(jiǎn)單項(xiàng)之和， 而這些簡(jiǎn)單項(xiàng)可以在拉氏變換表中找到， 這種方法稱為部分分式展開法，或稱為分解定理。 用部分分式展開有理分式F(s)時(shí)，需要把有理分式化為真分式。

若n=m，則分解定理 把F(s)分解成若干簡(jiǎn)單項(xiàng)之和，3若n＞m，則為真分式。真分式用部分分式展開，需要對(duì)分母多項(xiàng)式作因式分解，求出D(s)=0的根。D(s)=0的根可以是 單根 共軛復(fù)根

重根三種情況。若n＞m，則為真分式。4二、D(s)=0具有單根的情況

如果D(s)=0有n個(gè)單根，設(shè)n個(gè)單根分別是p1、p2、…、pn。 于是F(s)可以展開為將上式兩邊都乘以(s-p1)，得令s=p1，得K1=[(s-p1)F(s)]s=p1二、D(s)=0具有單根的情況 如果D(s)=0有n個(gè)單根，5確定待定系數(shù)的公式為Ki=[(s-pi)F(s)]s=pi同理可求得K2、K3、…、Kn確定待定系數(shù)的公式為Ki=[(s-pi)F(s)]s=pi同6例：求F(s)的原函數(shù)解：D(s)=0的根為p1=0p2=-2p3=-5=0.1=0.5例：求F(s)的原函數(shù)解：D(s)=0的根為p1=0p2=-7=-0.6K1=0.1K3=-0.6K2=0.5綜上可知：-0.6e-5tf(t)=0.1+0.5e-2t=-0.6K1=0.1K3=-0.6K2=0.5綜上可知：-8三、D(s)=0的具有共軛復(fù)根的情況p1=a+jωp2=a-jωK1=[(s-a-jω)F(s)]s=a+jωK2=[(s-a+jω)F(s)]s=a-jω三、D(s)=0的具有共軛復(fù)根的情況p1=a+jωp2=a-9例：求F(s)的原函數(shù)解：D(s)=0的根為p1=-1+j2p2=-1-j2=0.5-j0.5先變形s2+2s+5=0s2+2s+1+4=0(s+1)2+4=0例：求F(s)的原函數(shù)解：D(s)=0的根為p1=-1+j210p1=-1+j2p2=-1-j2=0.5-j0.5歐拉公式p1=-1+j2p2=-1-j2=0.5-j0.5歐拉公式11四、D(s)=0具有重根的情況D(s)應(yīng)含(s-p1)n的因式現(xiàn)設(shè)D(s)中含有(s-p1)3的因式，p1為D(s)=0的三重根，其余為單根，F(xiàn)(s)可分解為四、D(s)=0具有重根的情況D(s)應(yīng)含(s-p1)n的因12K11=(s-p1)3F(s)|s=p1上式兩邊都乘以(s-p1)3

，則K11被單獨(dú)分離出來(lái)1、K11的求法K11=(s-p1)3F(s)|s=p1上式兩邊13上式兩邊對(duì)s求導(dǎo)，則K12被分離出來(lái)2、K12的求法上式兩邊對(duì)s求導(dǎo)，則K12被分離出來(lái)2、K12的求法143、K13的求法用同樣的方法可得f(t)=3、K13的求法用同樣的方法可得f(t)=154、D(s)=0具有q階重根，其余為單根的分解式式中K11=……(s-p1)qF(s)|s=p14、D(s)=0具有q階重根，其余為單根的分解式式中K1116例：求F(s)的原函數(shù)解：D(s)=0的根為p1=-1為三重根p2=0為二重根首先以(s+1)3乘以F(s)得K11=(s-p1)3F(s)|s=p1=1例：求F(s)的原函數(shù)解：D(s)=0的根為p1=-1為三重17=3=2=3=218同理可求得K21=1K22=-3