江蘇省南通市如東中學、栟茶中學2023年數(shù)學高二第二學期期末預測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從8名女生和4名男生中選出6名學生組成課外活動小組，則按性別分層抽樣組成課外活動小組的概率為（）A．B．C．D．2．用反證法證明命題“已知為非零實數(shù)，且，，求證中至少有兩個為正數(shù)”時，要做的假設是（）A．中至少有兩個為負數(shù) B．中至多有一個為負數(shù)C．中至多有兩個為正數(shù) D．中至多有兩個為負數(shù)3．若6名男生和9名女生身高（單位：）的莖葉圖如圖，則男生平均身高與女生身高的中位數(shù)分別為()A．179，168 B．180，166 C．181，168 D．180，1684．已知是可導函數(shù)，且對于恒成立，則A． B．C． D．5．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．1 B．3 C．4 D．66．已知函數(shù)，若存在，使得有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設是雙曲線的右焦點，過點向的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點．若，則雙曲線的離心率是（）A． B．2 C． D．8．若且，且，則實數(shù)的取值范圍（）A． B．C．或 D．或9．轉化為弧度數(shù)為（）A． B． C． D．10．若存在，使得不等式成立，則實數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．11．若函數(shù)且在上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則的圖象是()A． B．C． D．12．定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調遞增，則下列結論中正確的是（）A.B.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若，則______．14．湖結冰時，一個球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一個直徑為24cm,深為8cm的空穴，則該球的半徑為.15．已知地球半徑為，地球上兩個城市、，城市位于東經30°北緯45°，城市位于西經60°北緯45°，則城市、之間的球面距離為________16．已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)的模為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若函數(shù)，.（1）把化成或的形式；（2）判斷在上的單調性，并求的最大值．18．（12分）設等比數(shù)列的前項和為，已知，且成等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2），求數(shù)列的前和．19．（12分）已知函數(shù)（a∈R）．（1）討論y＝f（x）的單調性；（2）若函數(shù)f（x）有兩個不同零點x1，x2，求實數(shù)a的范圍并證明．20．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，側面為正三角形，且平面平面E為PD中點，AD=2.(1)證明平面AEC丄平面PCD;(2)若二面角的平面角滿足，求四棱錐的體積.21．（12分）已知函數(shù)（其中），．（Ⅰ）若命題“”是真命題，求的取值范圍；（Ⅱ）設命題：；命題：．若是真命題，求的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù)，為常數(shù)（Ⅰ）若時，已知在定義域內有且只有一個極值點，求的取值范圍；（Ⅱ）若，已知，恒成立，求的取值范圍。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】按性別分層抽樣男生女生各抽4人和2人；從8名女生中抽4人的方法為種；，4名男生中抽2人的方法為種；所以按性別分層抽樣組成課外活動小組的概率為故選A2、A【解析】分析：用反證法證明某命題時，應先假設命題的否定成立，而命題的否定為：“a、b、c中至少有二個為負數(shù)”，由此得出結論．詳解：用反證法證明某命題時，應先假設命題的否定成立，而：“中至少有二個為正數(shù)”的否定為：“中至少有二個為負數(shù)”．故選A．點睛：本題主要考查用反證法證明數(shù)學命題，把要證的結論進行否定，得到要證的結論的反面是解題的關鍵，著重考查了推理與論證能力．3、C【解析】

根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義即可得出結果.【詳解】6名男生的平均身高為,9名女生的身高按由低到高的順序排列為162，163，166，167，168，170，176，184，185，故中位數(shù)為168.故選:C.【點睛】本題考查由莖葉圖求平均數(shù)和中位數(shù),難度容易.4、D【解析】分析：構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調性即可得出.詳解：已知是可導函數(shù)，且對于恒成立，即恒成立，令，則，函數(shù)在R上單調遞減，，即，化為.故選：D.點睛：本題是知識點交匯的綜合題，考查綜合運用函數(shù)思想解題的能力，恰當構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性是解題的關鍵.5、C【解析】

令,可得,解方程,結合函數(shù)的圖象,可求出答案.【詳解】令,則,令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函數(shù)的圖象,如下圖,時,;時,;時,.結合圖象,若,有3個解;若,無解;若,有1個解.所以函數(shù)的零點個數(shù)為4個.故選:C.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質,考查了函數(shù)的零點,考查了學生的推理能力,屬于中檔題.6、B【解析】

先將化為,再令,則問題轉化為:,然后通過導數(shù)求得的最大值代入可得.【詳解】若存在，使得有解,即存在,使得,令,則問題轉化為:,因為,當時,;當時,,所以函數(shù)在上遞增,在上遞減,所以,所以.故選B.【點睛】本題考查了不等式能成立問題,屬中檔題.7、C【解析】試題分析：雙曲線的漸近線為，到一條漸近線的距離，則，在中，，則，設的傾斜角為，則，，在中，，在中，，而，代入化簡可得到，因此離心率考點：雙曲線的離心率；8、C【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于且，且成立，當0<a<1時，根據(jù)對數(shù)函數(shù)遞減性質可知，，故可知范圍是，綜上可知實數(shù)的取值范圍C考點：不等式點評：主要是考查了對數(shù)不等式的求解，屬于基礎題．9、D【解析】已知180°對應弧度，則轉化為弧度數(shù)為.本題選擇D選項.10、A【解析】設，則當時，，單調遞減當時，，單調遞增存在，成立，，故選點睛：本題利用導數(shù)求解不等式問題，在解答此類問題時的方法可以分離參量，轉化為最值問題，借助導數(shù)，求出新函數(shù)的單調性，從而求出函數(shù)的最值，解出參量的取值范圍，本題較為基礎．11、D【解析】

根據(jù)題意先得到，，判斷其單調性，進而可求出結果.【詳解】因為函數(shù)且在上是奇函數(shù)，所以所以，，又因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以，它的圖象可以看作是由函數(shù)向左平移一個單位得到，故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調性以及函數(shù)圖象變換，熟記函數(shù)性質即可，屬于?？碱}型.12、D【解析】試題分析：由可得：，所以函數(shù)的周期，又因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，又在上單調遞增，所以當時，，因此，，所以。考點：函數(shù)的性質。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由得到，計算得到答案.【詳解】已知向量，，若所以答案為：【點睛】本題考查了向量的計算，將條件轉化為是解題的關鍵.14、13cm【解析】

設球半徑為R，則，解得，故答案為13.15、【解析】

欲求坐飛機從A城市飛到B城市的最短距離，即求出地球上這兩點間的球面距離即可.A、B兩地在同一緯度圈上，計算經度差，求出AB弦長，以及球心角，然后求出球面距離.即可得到答案.【詳解】由已知地球半徑為R，則北緯45°的緯線圈半徑為，

又∵兩座城市的經度分別為東經30°和西經60°，

故連接兩座城市的弦長，

則A，B兩地與地球球心O連線的夾角，

則A、B兩地之間的距離是.

故答案為：.【點睛】本題考查球面距離及其他計算，考查空間想象能力，是基礎題.16、【解析】

先由復數(shù)除法化簡復數(shù)，再求得復數(shù)模。【詳解】由題意可得，所以，填?！军c睛】本題主要考查復數(shù)的除法以及復數(shù)的模，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減．最大值為.【解析】

（1）利用輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡為；（2）由計算出，分別令，可得出函數(shù)在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間和單調遞減區(qū)間，再由函數(shù)的單調性得出該函數(shù)的最大值.【詳解】（1）；（2）∵，∴，令，則在上單調遞增，令，得，函數(shù)在上單調遞減．令，得.函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減．當，函數(shù)有最大值.【點睛】本題考查三角函數(shù)的單調性與最值，解題的關鍵在于將三角函數(shù)解析式利用三角恒等變換思想化簡，并利用正弦或余弦函數(shù)的性質求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）首先根據(jù)題意得到，化簡得到，求出，再代入即可.（2）首先化簡得到，再利用裂項求和計算即可.【詳解】（1）由題知：，即化簡得：，，所以..（2）..【點睛】本題第一問考查等差、等比數(shù)列的綜合，第二問考查裂項求和，屬于中檔題.19、（1）見解析；（2），證明見解析【解析】

（1）先求得函數(shù)的單調區(qū)間，然后求函數(shù)的導數(shù)，對分成兩種情況，分類討論函數(shù)的單調區(qū)間.（2）令，分離常數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得的單調區(qū)間和最大值，結合圖像求得的取值范圍.構造函數(shù)（），利用導數(shù)證得在成立，從而證得在上成立.根據(jù)的單調性證得.【詳解】函數(shù)的定義域為當時，，函數(shù)在上為增函數(shù)；當時，，，有，在有，即，綜上：當時，函數(shù)在上為增函數(shù)；當時，.（2）有兩個不同的零點，即有兩個不同的根，即即有兩個不同的交點；，，，當時，故.由上設令（）當時，，故在上為增函數(shù)，，從而有，即，而則，又因為所以，又，，故，即證.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間和最值，考查利用導數(shù)研究零點問題，考查利用導數(shù)證明不等式，綜合性很強，屬于難題.20、（1）見解析；（2）2【解析】

(1)要證平面平面，可證平面即可;(2)建立空間直角坐標系，計算出平面的法向量，平面的法向量，從而利用向量數(shù)量積公式求得長度，于是可求得體積.【詳解】（1）取中點為，中點為F，由側面為正三角形，且平面平面知平面，故，又，則平面，所以，又，則，又是中點，則，由線面垂直的判定定理知平面，又平面，故平面平面.（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，令，則.由（1）知為平面的法向量，令為平面的法向量，由于均與垂直，故即解得故，由，解得.故四棱錐的體積.【點睛】本題主要考查面面垂直的判定定理，二面角的向量求法，幾何體的體積計算，建立合適的空間直角坐標系是解決此類問題的關鍵，意在考查學生的空間想象能力，轉化能力，分析能力及計算能力.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】試題分析：（1），即，，解得；（2）是真命題，則都是真命題.當時，，故需.或，故，.當時，，故需.，所以，.綜上所述，.試題解析：（1）∵命題“”是真命題，即，∴，解得，∴的取值范圍是；（2）∵是真命題，∴與都是真命題，當時，，又是真命題，則∵，∴，∴或∴，解得當時，∵是真命題，則，使得，而∵，∴，∴，解得求集合的交集可得.考點：命題真假性判斷，含有邏輯聯(lián)結詞的命題．22、（1）（2）【解析】分析：⑴將代入，求出的表達式，求導，然后綜合只有一個極值點即可求出結果⑵法一：將代入，求導后利用單調性來求解；法二：整體思想，采用放縮法進行求解詳解：（Ⅰ）當時，，，因為在定義域內有且只有一個極值點，所以在內有且僅有一根，則有圖知，所以（Ⅱ），法1：因，，恒成立，