高中各種函數(shù)圖像畫法與函數(shù)性質(zhì)

高中各種函數(shù)圖像畫法與函數(shù)性質(zhì)一次函數(shù)是指函數(shù)的最高次項(xiàng)為一次的函數(shù)，通常的形式是y=kx+b，其中k和b為常數(shù)。確定一次函數(shù)的定義域需要考慮以下幾種情況：當(dāng)關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；當(dāng)關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零；當(dāng)關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開放方數(shù)大于等于零；當(dāng)關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零。同時(shí)，在實(shí)際問題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。一次函數(shù)的圖象是一條直線，其斜率k可以表示為y隨x的增大而增大或減小，而截距b可以表示為y在x=0時(shí)的值。根據(jù)斜率的正負(fù)和大小，可以判斷函數(shù)的單調(diào)性和增減性。二次函數(shù)是指函數(shù)的最高次項(xiàng)為二次的函數(shù)，通常的形式是f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c為常數(shù)且a不等于0。確定二次函數(shù)的定義域需要考慮分母不等于零的情況，同時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的圖像特征，可以得到其對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、定義域、值域等信息。二次函數(shù)的圖像是一個(gè)開口向上或向下的拋物線，其開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為a的正負(fù)和大小。二次函數(shù)圖像的對(duì)稱有五種情況，分別是關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、頂點(diǎn)和任意一點(diǎn)對(duì)稱。對(duì)稱后的解析式可以根據(jù)對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)來確定。反比例函數(shù)是指函數(shù)的形式為y=k/x，其中k為常數(shù)。反比例函數(shù)的圖像是一條以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱的雙曲線。a＜1時(shí)，圖像在R上是減函數(shù)。4.指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且隨著自變量的增大或減小，函數(shù)值不會(huì)超過1或小于0，即指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，+∞)。5.指數(shù)函數(shù)的圖像在x軸上不存在水平漸近線，但存在一條y=0的水平漸近線。6.指數(shù)函數(shù)的圖像在y軸左側(cè)存在一條垂直漸近線x=0。7.指數(shù)函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，在第二象限內(nèi)單調(diào)遞減，在第三象限內(nèi)單調(diào)遞增，在第四象限內(nèi)單調(diào)遞減。8.指數(shù)函數(shù)的圖像在x軸右側(cè)與x軸交于點(diǎn)(1，0)，在x軸左側(cè)無交點(diǎn)。9.指數(shù)函數(shù)的圖像在y軸右側(cè)無交點(diǎn)，且隨著自變量的增大，函數(shù)值趨近于無限大，即指數(shù)函數(shù)具有無窮增長(zhǎng)性。10.指數(shù)函數(shù)的圖像在y軸左側(cè)存在一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)(-1，1/a)，即關(guān)于y軸對(duì)稱。11.指數(shù)函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)與y=x有交點(diǎn)，且關(guān)于y=x對(duì)稱；在第三象限內(nèi)與y=x無交點(diǎn)，但也關(guān)于y=x對(duì)稱。12.指數(shù)函數(shù)的圖像在第二象限內(nèi)與y=-x有交點(diǎn)，且關(guān)于y=-x對(duì)稱；在第四象限內(nèi)與y=-x無交點(diǎn)，但也關(guān)于y=-x對(duì)稱。1.當(dāng)a<1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域R上是減函數(shù)。2.指數(shù)函數(shù)y=ax既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。3.比較冪函數(shù)大小的方法：1)當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；2)當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時(shí)，要注意分類討論；3)當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時(shí)，需要引入中間量進(jìn)行比較；4)對(duì)多個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，可用1或-1作為中間量進(jìn)行比較。4.底數(shù)的平移：在指數(shù)上加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向左平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向右平移。在f(x)后加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向上平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向下平移。5.對(duì)數(shù)函數(shù)：1)對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，即y=loga(x)是y=a^x的反函數(shù)；2)因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax的定義域?yàn)?-∞，+∞)，值域?yàn)?0，+∞)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，值域?yàn)?-∞，+∞)；3)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對(duì)稱于直線y=x；4)對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga(x)(a＞，a≠1)的圖像是單調(diào)增加的，且a越大，圖像越陡峭；5)比較對(duì)數(shù)大小的常用方法有：(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；(2)若底數(shù)為同一字母，則按對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論；(3)若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進(jìn)行比較；(4)若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助1、-1等中間量進(jìn)行比較。6.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)比：名稱指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一般形y=ax(a＞，a≠1)y=loga(x)(a＞，a≠1)圖像性質(zhì)在R上單調(diào)增加或減少在(0，+∞)上單調(diào)增加底數(shù)與真數(shù)的關(guān)系底數(shù)和真數(shù)同增或同減底數(shù)增加，真數(shù)增加；底數(shù)減少，真數(shù)減少當(dāng)1時(shí)，函數(shù)是嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)01時(shí)，函數(shù)是嚴(yán)格減函數(shù)；（4）在第二象限內(nèi)，函數(shù)是偶函數(shù)；（5）在第三象限內(nèi)，函數(shù)是嚴(yán)格減函數(shù)；（6）在第四象限內(nèi)，函數(shù)是奇函數(shù)。當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)yx有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)；（2）在第一象限內(nèi)，當(dāng)為負(fù)偶數(shù)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)為負(fù)奇數(shù)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)；（3）在第二象限內(nèi)，函數(shù)是偶函數(shù)；（4）在第三象限內(nèi)，當(dāng)為負(fù)偶數(shù)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，當(dāng)為負(fù)奇數(shù)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)；（5）在第四象限內(nèi)，函數(shù)是奇函數(shù)。冪函數(shù)yx的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。當(dāng)1時(shí)，圖像位于y=x上方，當(dāng)01時(shí)，圖像位于y=x下方。當(dāng)冪函數(shù)的指數(shù)α小于1時(shí)，具有以下性質(zhì)：圖像通過點(diǎn)(1,1)，在第一象限內(nèi)是向下凸的，向上與y軸無限接近，向右無限接近x軸。圖像在第一象限內(nèi)過點(diǎn)(1,1)后，α越大，圖像下降的速度越快。無論α取任何實(shí)數(shù)，冪函數(shù)的圖像必然經(jīng)過第一象限，并且不經(jīng)過第四象限。對(duì)于對(duì)號(hào)函數(shù)y=ax+b（a>0,b>0），它在區(qū)間(0,+∞)的圖像類似于符號(hào)“√”，利用對(duì)號(hào)函數(shù)的圖像和均值不等式，當(dāng)x>0時(shí)，ax+b≥2√(axb)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）。由此可得函數(shù)y=ax+b（a>0,b>0,x∈R+）在x=b/a時(shí)有最小值2，特別地，當(dāng)a=b=1時(shí)函數(shù)有最小值2。函數(shù)y=ax+b（a>0,b>0）在區(qū)間(0,b/a)上是減函數(shù)，在區(qū)間(b/a,+∞)上是增函數(shù)。因?yàn)閷?duì)號(hào)函數(shù)是奇函數(shù)，所以可