第20講：古典概型講義 高三藝考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第20講：古典概型【課型】復(fù)習(xí)課【教學(xué)目標(biāo)】1.理解并掌握古典概型的特征2.會(huì)用古典概型的概率公式計(jì)算概率3.熟悉古典概型的解題步驟【預(yù)習(xí)清單】【基礎(chǔ)知識(shí)梳理】1．基本事件有如下特點(diǎn)：(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型的特征：(1)有限性．試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；(2)等可能性．每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相同，稱這樣的概率模型為古典概型．判斷一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型，在于該試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征：有限性和等可能性．3．古典概型的概率計(jì)算公式：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是eq\f(1,n)；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).4．古典概型解題步驟：（1）標(biāo)記對(duì)象（例：記3名男生分別為a,b,c;2名女生分別記為1,2）；（2）列總的基本事件及數(shù)目n；（3）抽象事件（記“某某某”為事件A）；（4）列事件A包含的基本事件及數(shù)目m；（5）代入概率公式P(A)＝eq\f(m,n).計(jì)算；（6）作答?！疽龑?dǎo)清單】考向一：古典概型概率計(jì)算點(diǎn)擊量[0，1000](1000，3000](3000，＋∞)節(jié)數(shù)61812例1：某市的“名師云課”活動(dòng)自開展以來獲得廣大家長(zhǎng)和學(xué)子的高度贊譽(yù)，在第二季“名師云課”中，數(shù)學(xué)學(xué)科共計(jì)推出36節(jié)云課，為了更好地將課程內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生，現(xiàn)對(duì)某一時(shí)段云課的點(diǎn)擊量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)如下：(1)現(xiàn)從36節(jié)云課中采用分層抽樣的方式選出6節(jié)，求選出的點(diǎn)擊量超過3000的節(jié)數(shù)；(2)為了更好地搭建云課平臺(tái)，現(xiàn)將云課進(jìn)行剪輯，若點(diǎn)擊量在區(qū)間[0，1000]內(nèi)，則需要花費(fèi)40分鐘進(jìn)行剪輯，若點(diǎn)擊量在區(qū)間(1000，3000]內(nèi)，則需要花費(fèi)20分鐘行剪輯，若點(diǎn)擊量超過3000，則不需要剪輯，現(xiàn)從(1)中選出的6節(jié)課中任意選出2節(jié)課進(jìn)行剪輯，求剪輯時(shí)間為40分鐘的概率．【解】(1)根據(jù)分層抽樣，從36節(jié)云課中選出6節(jié)課，其中點(diǎn)擊量超過3000的節(jié)數(shù)為eq\f(6,36)×12＝2.(2)在(1)中選出的6節(jié)課中，點(diǎn)擊量在區(qū)間[0，1000]內(nèi)的有1節(jié)，點(diǎn)擊量在區(qū)間(1000，3000]內(nèi)的有3節(jié)，設(shè)點(diǎn)擊量在區(qū)間[0，1000]內(nèi)的1節(jié)課為A1，點(diǎn)擊量在區(qū)間(1000，3000]內(nèi)的3節(jié)課分別為B1，B2，B3，點(diǎn)擊量超過3000的2節(jié)課分別為C1，C2.從中選出2節(jié)課的方式有A1B1，A1B2，A1B3，A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B1C1，B1C2，B2B3，B2C1，B2C2，B3C1，B3C2，C1C2，共15種，其中剪輯時(shí)間為40分鐘的情況有A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B2B3，共5種，則剪輯時(shí)間為40分鐘的概率P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).【訓(xùn)練清單】【變式訓(xùn)練】已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng)．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率．【解】(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①從抽取的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．②由①，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級(jí)的是A，B，C，來自乙年級(jí)的是D，E，來自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(5,21).【鞏固清單】1．袋中裝有6個(gè)白球，5個(gè)黃球，4個(gè)紅球，從中任取一球，取到白球的概率為【解析】從15個(gè)球中任取一球取到白球的概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).2．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為【解析】將2名男同學(xué)分別記為x，y，3名女同學(xué)分別記為a，b，c.設(shè)“選中的2人都是女同學(xué)”為事件A，則從5名同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)的所有可能情況有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10種，其中事件A包含的可能情況有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3種，故P(A)＝eq\f(3,10)＝0.3.3．已知高一年級(jí)某班有63名學(xué)生，現(xiàn)要選1名學(xué)生作為標(biāo)兵，每名學(xué)生被選中是等可能的，若“選出的標(biāo)兵是女生”的概率是“選出的標(biāo)兵是男生”的概率的eq\f(10,11)，則這個(gè)班的男生人數(shù)為________．【解析】根據(jù)題意，設(shè)該班的男生人數(shù)為x，則女生人數(shù)為63－x，因?yàn)槊棵麑W(xué)生被選中是等可能的，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式知，“選出的標(biāo)兵是女生”的概率是eq\f(63－x,63)，“選出的標(biāo)兵是男生”的概率是eq\f(x,63)，故eq\f(63－x,63)＝eq\f(10,11)×eq\f(x,63)，解得x＝33，故這個(gè)班的男生人數(shù)為33.4．甲、乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A，B，C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個(gè)小組的概率為【解析】因?yàn)榧?、乙兩人參加學(xué)習(xí)小組的所有情況有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9種，其中兩人參加同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的情況有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3種，所以兩人參加同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)5．某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國家去旅游．(1)若從這6個(gè)國家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國家包括A1但不包括B1的概率．【解】(1)由題意知，從6個(gè)國家中任選2個(gè)國家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15個(gè)．所選兩個(gè)國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3個(gè)．則所求事件的概率為：P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9個(gè)．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個(gè)，則所求事件的概率為：P＝eq\f(2,9).6．隨著生活水平的提高，人們對(duì)空氣質(zhì)量的要求越來越高，某機(jī)構(gòu)為了解公眾對(duì)“車輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)抽查了40人，并將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：年齡/歲[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65]頻數(shù)51010510贊成人數(shù)46849(1)完成被調(diào)查人員年齡的頻率分布直方圖，并求被調(diào)查人員中持贊成態(tài)度人員的平均年齡約為多少歲？(2)若從年齡在[15，25)，[45，55)的被調(diào)查人員中各隨機(jī)選取1人進(jìn)行調(diào)查．請(qǐng)寫出所有的基本事件，并求選取的2人中恰有1人持不贊成態(tài)度的概率．【解】(1)被調(diào)查人員年齡的頻率分布直方圖如圖所示．被調(diào)查人員中持贊成態(tài)度人員的平均年齡eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(4×20＋6×30＋8×40＋4×50＋9×60,4＋6＋8＋4＋9)≈42.6(歲)．(2)設(shè)年齡在[15，25)的被調(diào)查人員中持贊成態(tài)度的4人分別為A1，A2，A3，A4，持不贊成態(tài)度的1人為a，設(shè)年齡在[45，55)的被調(diào)查人員中持贊成態(tài)度的4人分別為B1，B2，B3，B4，持不贊成態(tài)度的1人為b.基本事件為(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A1，b)，(A2，B1)，