第16講：統(tǒng)計圖表與樣本數(shù)字特征講義 高三藝考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第16講：統(tǒng)計圖表與樣本數(shù)字特征【課型】復(fù)習(xí)課【教學(xué)目標(biāo)】1.了解條形圖，折線圖，扇形統(tǒng)計圖的特單，掌握莖葉圖的特點2.理解并掌握樣本數(shù)字特征【預(yù)習(xí)清單】【基礎(chǔ)知識梳理】1.四種常見統(tǒng)計圖表的特點（1）條形統(tǒng)計圖的特點：它能直觀地反映每組中數(shù)據(jù)的個數(shù)；能直觀地反映出數(shù)據(jù)之間的差別．（2）扇形統(tǒng)計圖的特點：能直觀地反映每組數(shù)據(jù)占總數(shù)的百分比，及各部分之間的關(guān)系．（3）折線統(tǒng)計圖的特點：易于顯示數(shù)據(jù)變化趨勢，可以直觀地反映這種變化以及各組之間的差別。（4）莖葉圖的特點：當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時，莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，一是統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)丟失，二是方便記錄與表示，但莖葉圖一般只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)．2.樣本的數(shù)字特征（1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)=1\*GB3①眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．=2\*GB3②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在中間位置的一個數(shù)據(jù)(或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．=3\*GB3③平均數(shù)：如果有n個數(shù)x1，x2，……，xn，那么eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)叫做這n個數(shù)的平均數(shù)．（2）極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差=1\*GB3①極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差=2\*GB3②方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2](xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\x\to(x)是樣本平均數(shù)，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。=3\*GB3③標(biāo)準(zhǔn)差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])，標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離3.樣本數(shù)字特征及公式推廣（1）平均數(shù)和方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的闡述．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述總體的集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大?。?）若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\o(x,\s\up6(－))＋a，方差為m2s2.【引導(dǎo)清單】考向一：統(tǒng)計圖表例1：（1）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【解析】由折線圖可知，各年的月接待游客量從8月份后存在下降趨勢，故選A.（2）已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為、?！窘馕觥吭摰貐^(qū)中小學(xué)生總?cè)藬?shù)為3500＋2000＋4500＝10000，則樣本容量為10000×2%＝200，其中抽取的高中生近視人數(shù)為2000×2%×50%＝20.考向二：樣本數(shù)字特征小題形式例2：（1）從某選手的7個得分中去掉1個最高分，去掉1個最低分后，剩余5個得分的平均數(shù)為91分，如圖所示是該選手得分的莖葉圖，其中有一個數(shù)字模糊，無法辨認(rèn)，在圖中用x表示，則剩余5個得分的方差為________.（2）已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3，2x4＋3，2x5＋3的平均數(shù)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別是，，．【解析】(1)由莖葉圖知，最低分為87分，最高分為99分．依題意得，eq\f(1,5)×(87＋93＋90＋9×10＋x＋91)＝91，解得x＝4.則剩余5個得分的方差s2＝eq\f(1,5)×[(87－91)2＋(93－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝eq\f(1,5)×(16＋4＋1＋9)＝6.（2）數(shù)據(jù)2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3，2x4＋3，2x5＋3的平均數(shù)為2×2＋3＝7，方差為22×2＝8，標(biāo)準(zhǔn)為2eq\r(2).考向三：樣本數(shù)字特征（解答題形式）例3：為了普及環(huán)保知識，共建美麗宜居城市，某市組織了環(huán)保知識競賽，隨機抽取了甲、乙兩個單位中各5名職工的成績(單位：分)如下表：甲單位8788919193乙單位8589919293根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩個單位這5名職工成績的平均數(shù)和方差，并判斷哪個單位的職工對環(huán)保知識的掌握更好．【解】eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)×(87＋88＋91＋91＋93)＝90，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)×(85＋89＋91＋92＋93)＝90，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝eq\f(24,5)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8，因為eq\f(24,5)＜8，所以甲單位的成績比乙單位穩(wěn)定，即甲單位的職工對環(huán)保知識的掌握更好．【訓(xùn)練清單】【變式訓(xùn)練1】（1）如餅圖，某學(xué)校共有教師120人，從中選出一個30人的樣本，其中被選出的青年女教師的人數(shù)為【解析】青年教師的人數(shù)為120×30%＝36，所以青年女教師為12人，故青年女教師被選出的人數(shù)為12×eq\f(30,120)＝3..（2）某商場一年中各月份的收入、支出(單位：萬元)情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中錯誤的是()A．2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同B．支出最高值與支出最低值的比是6∶1C．第三季度平均收入50萬元D．利潤最高的月份是2月份【解析】2至3月份的收入的變化率為eq\f(80－60,3－2)＝20，11至12月份的變化率為eq\f(70－50,12－11)＝20，故相同，A正確；支出最高值是2月份60萬元，支出最低值是5月份10萬元，故支出最高值與支出最低值的比是6∶1，B正確；第三季度的7，8，9月每個月的收入分別為40萬元，50萬元，60萬元，故第三季度的平均收入為eq\f(40＋50＋60,3)＝50(萬元)，故C正確；利潤最高的月份是3月份和10月份，都是30萬元，2月份的利潤是80－60＝20(萬元)，故D錯誤，選D.【變式訓(xùn)練2】（1）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為，．（2）已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的均值eq\o(x,\s\up6(－))＝5，則樣本數(shù)據(jù)2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值為________．【解析】（1）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它們的平均值相等，所以eq\f(56＋62＋65＋74＋（70＋x）,5)＝eq\f(59＋61＋67＋（60＋y）＋78,5)，解得x＝3.（2）由條件知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝5，則所求均值eq\o(x,\s\up6(－))0＝eq\f(2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1,n)＝eq\f(2（x1＋x2＋…＋xn）＋n,n)＝2eq\o(x,\s\up6(－))＋1＝2×5＋1＝11.【變式訓(xùn)練3】某工廠甲、乙兩個車間包裝同一種產(chǎn)品，在自動包裝傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，檢驗其質(zhì)量是否合格．分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：甲車間：102,101,99,103,98,99,98；乙車間：110,115,90,85,75,115,110.計算甲、乙兩車間包裝的產(chǎn)品的均值與方差，并說明哪個車間包裝的產(chǎn)品較穩(wěn)定．【解】eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,7)(102＋101＋99＋103＋98＋99＋98)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,7)(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,7)[22＋12＋(－1)2＋32＋22＋12＋22]≈3.428，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,7)[102＋152＋102＋152＋252＋152＋102]＝eq\f(1,7)×1600≈228.6seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲車間包裝的產(chǎn)品較穩(wěn)定．【鞏固清單】1．為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B.x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)【解析】標(biāo)準(zhǔn)差能反映一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度．故選B.2.某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為()A．93B.123C．137D．167【解析】初中部的女教師人數(shù)為110×70%＝77，高中部的女教師人數(shù)為150×(1－60%)＝60，該校女教師的人數(shù)為77＋60＝137，故選C.3．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半【解析】設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟收入為a，則建設(shè)后經(jīng)濟收入為2a，則由餅圖可得建設(shè)前種植收入為0.6a，其他收入為0.04a，養(yǎng)殖收入為0.3a.建設(shè)后種植收入為0.74a，其他收入為0.1a，養(yǎng)殖收入為0.6a，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為1.16a，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少是錯誤的．故選A.4．為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖．考慮以下結(jié)論：①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；甲地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；④甲地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差．其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號為()A．①③B.①④C．②③D．②④【解析】甲地該月14時的氣溫數(shù)據(jù)分布在26和31之間，且數(shù)據(jù)波動較大，而乙地該月14時的氣溫數(shù)據(jù)分布在28和32之間，且數(shù)據(jù)波動較小，可以判斷結(jié)論①④正確，故選B.5．甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則()A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差【解析】eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)×(4＋5＋6＋7＋8)＝6，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)×(5×3＋6＋9)＝6，甲的成績的方差為eq\f(1,5)×(22×2＋12×2)＝2，乙的成績的方差為eq\f(1,5)×(12×3＋32×1)＝2.4.故選C.6．某學(xué)生在一門功課的22次考試中，所得分?jǐn)?shù)莖葉圖如圖所示，則此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為()A．117B．118C．118.5D．119.5【解析】.22次考試中，所得分?jǐn)?shù)最高的為98，最低的為56，所以極差為98－56＝42，將分?jǐn)?shù)從小到大排列，中間兩數(shù)為76，76，所以中位數(shù)為76，所以此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為42＋76＝118.7．某課外小組的同學(xué)們在社會實踐活動中調(diào)查了20戶家庭某月的用電量，如下表所示：用電量/度120140160180200戶數(shù)23672則這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()A．180，170B．160，180C．160，170D．180，160【解析】用電量為180度的家庭最多，有7戶，故這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)是180；將用電量按從小到大的順序排列后，處于最中間位置的兩個數(shù)是160，160，故這20戶家庭該月用電量的中位數(shù)是160.故選D.8．一組數(shù)據(jù)1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若該數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的eq\f(2,3)倍，則該數(shù)據(jù)的方差為________．【解析】根據(jù)題意知，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2，則中位數(shù)是2÷eq\f(2,3)＝3，把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為1，2，2，x，5，10，則eq\f(2＋x,2)＝3，解得x＝4