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文檔簡介
第十講函數(shù)模型及其應(yīng)用A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1.(2015·北京)某輛汽車每次加油都把油箱加滿,下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.加油時間加油量(升)加油時的累計(jì)里程(千米)2015年5月1日123500020154835600注:“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程.在這段時間內(nèi),該車每100千米平均耗油量為(B)A.6升 B.8C.10升 D.[解析]因?yàn)榈谝淮我?即5月1日)把油箱加滿,而第二次把油箱加滿加了48升,即汽車行駛35600-35000=600千米耗油48升,所以每100千米的耗油量為8升,選B.2.已知A,B兩地相距150千米,某人開汽車以60千米/小時的速度從A地到B地,在B地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回A地,把汽車離開A地的距離x表示為時間t(小時)的函數(shù)表達(dá)式是(D)A.x=60tB.x=60t+50C.x=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60t(0≤t≤2.5),,150-50t(t>3.5)))D.x=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60t(0≤t≤2.5),,150(2.5<t≤3.5),,150-50(t-3.5)(3.5<t≤6.5)))3.(2021·安陽模擬)某類產(chǎn)品按工藝共分10個檔次,最低檔次產(chǎn)品每件利潤為8元.每提高一個檔次,每件利潤增加2元.用同樣工時,可以生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品60件,每提高一個檔次將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品,則每天獲得利潤最大時生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是(C)A.7 B.8C.9 D.10[解析]由題意,當(dāng)生產(chǎn)第k檔次的產(chǎn)品時,每天可獲得利潤為y=[8+2(k-1)][60-3(k-1)]=-6(k-9)2+864(1≤k≤10,k∈N),所以當(dāng)k=9時,獲得利潤最大,故選C.4.(2021·安徽馬鞍山模擬)某高校為提升科研能力,計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入.若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1300萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長12%,則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超過2000萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):≈≈0.11,lg2≈)(B)A.2020年 B.2021年C.2022年 D.2023年[解析]若2018年是第一年,則第n年科研費(fèi)為1300×n,由1300×n>2000,可得+nlg1.12>lg2,得n×,n,n≥4,即4年后,到2021年科研經(jīng)費(fèi)超過2000萬元.故選B.5.(2021·河南豫南豫北第二次聯(lián)考)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿垣的問題:“今有垣厚五尺,兩鼠對穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.問幾何日相逢?”意思是:有面厚五尺的墻壁,大、小兩只老鼠同時從墻的兩面,沿一直線相對打洞.大鼠第一天打1尺,以后每天的速度為前一天的2倍;小鼠第一天也打1尺,以后每天的速度是前一天的一半.它們多久可以相遇?(A)A.eq\f(36,17)天 B.eq\f(37,17)天C.eq\f(38,17)天 D.eq\f(39,17)天[解析]由于前兩天大鼠打(1+2)尺,小鼠打(1+eq\f(1,2))尺,因此前兩天兩只老鼠共打3+1.5=4.5(尺).第三天,大鼠打4尺,小鼠打eq\f(1,4)尺,因此兩只老鼠第三天相遇.設(shè)第三天相遇時,大鼠打y尺,小鼠打(0.5-y)尺,則eq\f(y,4)=eq\f-y,\f(1,4)),所以y=eq\f(8,17),因?yàn)榈谌齑笫蟮乃俣仁?尺/天,所以第三天進(jìn)行了eq\f(\f(8,17),4)=eq\f(2,17)(天),所以它們經(jīng)過2+eq\f(2,17)=eq\f(36,17)天可以相遇.故選A.6.(2021·江西南昌二輪復(fù)習(xí)測試)某地一電商2016年和2017年這兩年“雙十一”當(dāng)天的銷售額連續(xù)增加,其中2016年的增長率為a,2017年的增長率為b,則該電商這兩年“雙十一”當(dāng)天銷售額的平均增長率為(D)A.eq\r(ab) B.eq\f(a+b,2)C.eq\f((a+1)(b+1)-1,2) D.eq\r((a+1)(b+1))-1[解析]設(shè)該電商這兩年“雙十一”當(dāng)天銷售額的平均增長率為x,則(1+a)(1+b)=(1+x)2,∴x=eq\r((1+a)(1+b))-1,故選D.二、多選題7.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的eq\f(3,4),要使存留的污垢不超過1%,則要洗的次數(shù)是(CD)A.2 B.3C.4 D.5[解析]設(shè)至少要洗x次,則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(3,4)))eq\s\up12(x)≤eq\f(1,100),所以eq\f(1,4x)≤eq\f(1,100),4x≥100,因此至少洗4次,故選C、D.8.已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時出發(fā),并沿同一路線(假定為直線)行駛,甲、乙兩車的速度曲線分別為v甲和v乙,如圖所示,那么對于圖中給定的t0和t1,下列判斷中不一定正確的是(BCD)A.在t1時刻,甲車在乙車前面B.t1時刻后,甲車在乙車后面C.在t0時刻,兩車的位置相同D.t0時刻后,乙車在甲車前面[解析]由圖象可知,曲線v甲比v乙在0~t0,0~t1與t軸所圍成的圖形面積大,則在t0,t1時刻,甲車均在乙車前面.故選B、C、D.三、填空題9.“彎弓射雕”描述了游牧民族的豪邁氣概,當(dāng)弓箭以每秒a米的速度從地面垂直向上射出時,t秒后的高度為x米,可由x=at-5t2確定,已知射箭2秒后箭離地面高100米,則弓箭能達(dá)到的最大高度為180米.[解析]由x=at-5t2且t=2時,x=100,解得a=60,所以x=60t-5t2,而x=60t-5t2=-5(t-6)2+180,則當(dāng)t=6時,x的最大值為180米,即弓箭能達(dá)到的最大高度為180米.10.為了預(yù)防流感,某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒,已知藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比;藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(t-a)(a為常數(shù)),如圖所示,據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:(1)從藥物釋放開始,每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10t(0≤t≤0.1),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))\s\up12(t-0.1)(t>0.1)));(2)據(jù)測定,,學(xué)生方可進(jìn)教室,那么,藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過0.6小時后,學(xué)生才能回到教室.[解析](1)設(shè)y=kt,由圖象知y=kt過點(diǎn)(,1),則1=k×,k=10,∴y=10t(0≤t≤0.1).由y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(t-a)過點(diǎn)(,1),得1=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up-a),解得a=,∴y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(t-0.1)(t>0.1).(2)由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(t-0.1)≤0.25=eq\f(1,4),得t≥0.6.故至少需經(jīng)過0.6小時學(xué)生才能回到教室.11.(2021·云南師大附中月考)我們經(jīng)常聽到這樣一種說法:一張紙經(jīng)過一定次數(shù)對折之后厚度能超過地月距離.但實(shí)際上,因?yàn)榧垙埍旧碛泻穸?,我們并不能將紙張無限次對折,當(dāng)厚度超過紙張的長邊時,便不能繼續(xù)對折了,一張長邊為w,厚度為x的矩形紙張沿兩個方向不斷對折,則經(jīng)過兩次對折,長邊變?yōu)閑q\f(1,2)w,厚度變?yōu)?x,在理想情況下,對折次數(shù)n有下列關(guān)系:n≤eq\f(2,3)log2eq\f(w,x)(注:lg2≈),根據(jù)以上信息,一張長為21cm,厚度為0.05mm的紙最多能對折8次.[解析]本題考查對數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用.由題知n≤eq\f(2,3)log24200=eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log24+log21000+log2\f(21,20)))=eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2+3log210+log2\f(21,20))).因?yàn)閘og210=eq\f(1,lg2)≈eq\f(1,0.3),0<log2eq\f(21,20)<1,所以n≤8+eq\f(2,3)log2eq\f(21,20),n的最大值為8.四、解答題12.某自來水廠的蓄水池存有400噸水,水廠每小時可向蓄水池中注水60噸,同時蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水,t小時內(nèi)供水總量為120eq\r(6t)噸(0≤t≤24).(1)從供水開始到第幾小時時,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少噸?(2)若蓄水池中水量少于80噸時,就會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象,請問:在一天的24小時內(nèi),有幾小時出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象.[解析](1)設(shè)t小時后蓄水池中的存水量為y噸,則y=400+60t-120eq\r(6t),令eq\r(6t)=x,則x2=6t,即t=eq\f(x2,6),所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,(構(gòu)建二次函數(shù))所以當(dāng)x=6,即t=6時,ymin=40,即從供水開始到第6小時時,蓄水池中的存水量最少,最少存水量是40噸.(2)由(1)及題意得400+10x2-120x<80,即x2-12x+32<0,解得4<x<8,即4<eq\r(6t)<8,eq\f(8,3)<t<eq\f(32,3).因?yàn)閑q\f(32,3)-eq\f(8,3)=8,所以每天約有8小時出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象.13.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險狀態(tài),經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常,排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm,繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗(yàn)知該地下車庫一氧化碳濃度y(ppm)與排氣時間t(分鐘)之間存在函數(shù)關(guān)系y=ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))mt(c,m為常數(shù)).(1)求c,m的值;(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常,問至少排氣多少分鐘,這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)?[解析](1)由題意可列方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64=c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4m),,32=c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(8m),))兩式相除,解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c=128,,m=\f(1,4).))(2)由題意可列不等式128eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤,所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(8),即eq\f(1,4)t≥8,解得t≥32,故至少排氣32分鐘,這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài).B組能力提升1.(2020·上海浦東新區(qū)期中)國際上通常用恩格爾系數(shù)衡量一個國家和人民生活水平的狀況,它的計(jì)算公式為n=eq\f(x,y)(x代表人均食品支出總額,y代表人均個人消費(fèi)支出總額),且y=2x+475,各種類型的家庭標(biāo)準(zhǔn)如表:家庭類型貧困溫飽小康富裕nn≥59%50%≤n<59%40%≤n<50%30%≤n<40%張%,張先生家在2019年購買食品和2018年完全相同的狀況下,人均個人消費(fèi)少支出75元,則張先生家2019年屬于(D)A.貧困 B.溫飽C.小康 D.富裕[解析]設(shè)2018年人均食品支出x元,則2019年人均食品支出x%%x,2019年人均消費(fèi)支出2×%x+475,由題意,有2×%x+475+75=2x+475,∴x,n=eq\f%×500,2×%×500+475)≈0.3304=%,由表知屬富裕.2.(2021·湖北荊州中學(xué)、宜昌一中、龍泉中學(xué)三校聯(lián)考)2019年1月1日起我國實(shí)施了個人所得稅的新政策,其主要內(nèi)容包括:(1)個稅起征點(diǎn)為5000元;(2)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)=收入-個稅起征點(diǎn)-專項(xiàng)附加扣除;(3)專項(xiàng)附加扣除包括:①贍養(yǎng)老人費(fèi)用;②子女教育費(fèi)用;③繼續(xù)教育費(fèi)用;④大病醫(yī)療費(fèi)用等,其中前兩項(xiàng)的扣除標(biāo)準(zhǔn)為①贍養(yǎng)老人費(fèi)用:每月共扣除2000元;②子女教育費(fèi)用:每個子女每月扣除1000元.新個稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下:級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率1不超過3000元的部分3%2超過3000元至12000元的部分10%3超過12000元至25000元的部分20%………現(xiàn)有李某月收入為18000元,膝下有兩名子女,需要贍養(yǎng)老人(除此之外,無其他專項(xiàng)附加扣除,專項(xiàng)附加扣除均按標(biāo)準(zhǔn)的100%扣除),則李某每月應(yīng)繳納的個稅金額為(B)A.590元 B.690元C.790元 D.890元[解析]本題考查分段函數(shù)模型的應(yīng)用.李某每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為18000-5000-2000-2000=9000(元),不超過3000元的部分稅額為3000×3%=90(元),超過3000元至12000元的部分稅額為6000×10%=600(元),所以李某每月應(yīng)繳納的個稅金額為90+600=690(元).故選B.3.如果在若干年內(nèi),我國國民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值都控制在平均每年增長9%的水平,那么要達(dá)到國民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值比1995年翻兩番的年份大約是(lg2=0.3010,lg3=0.4771,lg109==-2.2543)(B)A.2015年 B.2011年C.2010年 D.2008年[解析]設(shè)1995年總值為a,經(jīng)過x年翻兩番,則a·(1+9%)x=4a.∴x=eq\f(2lg2,lg1.09)≈16.4.某商家推行親子款十二生肖紀(jì)念章.通過市場調(diào)查,得到該紀(jì)念章
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