2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強(qiáng)化題型）（人教版） 旋轉(zhuǎn)中的最值問題（強(qiáng)化）（解析版）

旋轉(zhuǎn)中的最值問題【例題精講】是邊長為4的等邊三角形其中點(diǎn)為高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到連接、、則周長的最小值是A． B． C． D．【解答】解：是等邊三角形是等邊三角形是高過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)延長到使得連接與交于點(diǎn)連接則為等邊三角形垂直平分當(dāng)與重合時(shí)即、、三點(diǎn)共線時(shí)的值最小為：的周長的最小值為．故選：．在中為內(nèi)一點(diǎn)連接、、則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：在中將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到連接．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：是等邊三角形當(dāng)在直線上時(shí)的值最小的最小值為故選：．【題組訓(xùn)練】1．如圖在等邊中是邊上一動(dòng)點(diǎn)連接將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到連接若則的周長的最小值是A．10 B． C． D．20【解答】解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到是等邊三角形的周長的值最小時(shí)的周長有最小值當(dāng)時(shí)的值最?。闹荛L的最小值是．故選：．2．如圖是邊長為2的正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)連接、、則的最小值為A．4 B．3 C． D．【解答】解：如圖將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到是等邊三角形是等邊三角形作于交于．當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)四點(diǎn)共線且垂直時(shí)有最小值為的最小值故選：．3．如圖將面積為8的正方形繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形是的中點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)則在旋轉(zhuǎn)過程中的最大值為A． B． C． D．【解答】解：連接如圖四邊形是面積為8的正方形是對(duì)角線的中點(diǎn)正方形繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形是的中點(diǎn)（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號(hào)）的最大值為即的最大值為．故選：．4．如圖已知正方形的邊長為3點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)連接將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到連接則當(dāng)之和取最小值時(shí)的周長為A． B． C． D．【解答】解：連接過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到又即即點(diǎn)在的角平分線上運(yùn)動(dòng)作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)在的延長線上當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)最?。谥械淖钚≈禐榇藭r(shí)的周長為．故選：．5．如圖在中是邊上一動(dòng)點(diǎn)連接把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段連接則線段長度的最小值為A．1 B． C． D．【解答】解：如圖在上取一點(diǎn)使連接過點(diǎn)作于由旋轉(zhuǎn)知要使最小則有最小而點(diǎn)是定點(diǎn)點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)（點(diǎn)和點(diǎn)重合）時(shí)最小即：點(diǎn)與點(diǎn)重合最小最小值為在中在中故線段長度最小值是故選：．7．如圖四邊形是菱形且為對(duì)角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到當(dāng)取最小值時(shí)的長A． B．3 C．1 D．2【解答】解：如圖將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到是等邊三角形．．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”當(dāng)點(diǎn)位于與的交點(diǎn)處時(shí)的值最小即等于的長過點(diǎn)作交的延長線于．故選：．8．在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)、在軸上點(diǎn)在軸上是等邊三角形是邊上動(dòng)點(diǎn)連接以為邊在的右側(cè)作等邊三角形連接的面積為的中點(diǎn)為當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)線段的最小值為A． B． C． D．4【解答】解：和都是等邊三角形即在和中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為過點(diǎn)平行于軸的線段時(shí)最小為線段的中點(diǎn)設(shè)則由勾股定理可得解得即線段的最小值為．故選：．9．如圖矩形的邊點(diǎn)在邊上且為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到連接則的最小值為A．2 B．3 C． D．【解答】解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到延長交于點(diǎn)則點(diǎn)在平行于且與的距離為1的直線上運(yùn)動(dòng)當(dāng)時(shí)有最小值四邊形是矩形故選．10．已知等邊的邊長為8點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)是邊的中點(diǎn)連接則的最小值是A． B．3 C． D．4【解答】解：繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到是邊長為8的等邊三角形點(diǎn)是邊的中點(diǎn)當(dāng)時(shí)的長最小此時(shí)的最小值時(shí)故選：．11．在等邊中點(diǎn)是邊的中點(diǎn)點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到連接則的最小值是A．1 B． C． D．【解答】解：如圖將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到△點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)當(dāng)時(shí)最小如圖在等邊中點(diǎn)為中點(diǎn)故選：．12．如圖正方形的邊長為5為上一點(diǎn)且為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接以為邊向右側(cè)作等邊連接則的最小值為A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【解答】解：由題意可知點(diǎn)是主動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)是從動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也一定在直線軌跡上運(yùn)動(dòng)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)使與重合得到為等邊三角形點(diǎn)在垂直于的直線上作則即為的最小值作可知四邊形為矩形則故選：．13．如圖點(diǎn)是等邊三角形邊的中點(diǎn)點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)連接并繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段連接．若運(yùn)動(dòng)過程中的最小值為則的值為A．2 B． C． D．4【解答】解：如圖連接延長至使連接是等邊三角形是的中點(diǎn)在和中點(diǎn)在與成的直線上運(yùn)動(dòng)當(dāng)時(shí)有最小值故選：．16．如圖邊長為5的等邊三角形中是高所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到連接．則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中線段長度的最小值是A． B．1 C．2 D．【解答】解：如圖取的中點(diǎn)連接旋轉(zhuǎn)角為又是等邊的對(duì)稱軸又旋轉(zhuǎn)到在和中根據(jù)垂線段最短時(shí)最短即最短此時(shí)故選：．17．如圖已知點(diǎn)為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)連接、、將繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：連接過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)由旋轉(zhuǎn)可得：是等邊三角形在中在中的最小值為：故選：．18．如圖在矩形中點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)連接將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段連結(jié)．從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的最小值為A．1 B． C． D．2【解答】解：過作于如圖：四邊形是矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段設(shè)則在中當(dāng)時(shí)取最小值最小值為2最小值是故選：．19．如圖在中是邊上一動(dòng)點(diǎn)連接把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段連接則線段的最小值為A．1 B．2 C．3 D．【解答】解：如圖在上取一點(diǎn)使連接過點(diǎn)作于由旋轉(zhuǎn)知要使最小則有最小而點(diǎn)是定點(diǎn)點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)（點(diǎn)和點(diǎn)重合）時(shí)最小即：點(diǎn)與點(diǎn)重合最小最小值為在中在中故線段長度最小值是故選：．20．如圖已知直線交、軸于、兩點(diǎn)以為邊作等邊、、三點(diǎn)逆時(shí)針排列）、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、連接、則的最小值為A．6 B． C．6.5 D．7【解答】解：點(diǎn)在直線上．在軸上方作等邊即又點(diǎn)的軌跡為定直線作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)連接當(dāng)點(diǎn)、、在同一條直線上時(shí)的值最小即的最小值故選：．21．如圖菱形的邊長為4是邊的中點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到連接、則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：如圖取的中點(diǎn)．連接作交的延長線于．四邊形是菱形是等邊三角形是等邊三角形點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線易知關(guān)于射線對(duì)稱在中在中的最小值為．故選：．22．如圖在正方形中點(diǎn)為中點(diǎn)點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)且在的右側(cè)作正方形則線段的最小值是A． B． C． D．【解答】解：延長至使連接、、如圖：四邊形是正方形是等腰直角三角形四邊形是正方形的軌跡是以為圓心以為半徑的線段最小時(shí)為與線段的交點(diǎn)如圖：此時(shí)故選：．二．填空題（共3小題）23．如圖邊長為9的等邊三角形中是高所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到連接．則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中線段長度的最小值是．【解答】解：如圖取的中點(diǎn)連接線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到又是等邊三角形即是等邊三角形的高又旋轉(zhuǎn)到在和中根據(jù)垂線段最短當(dāng)時(shí)最短即最短此時(shí)．線段長度的最小值是．故答案為：．24．如圖在三角形（其中是一個(gè)可以變化的角）中以為邊在的下方作等邊三角形則的最大值是6．【解答】解：以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△連接逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△△是等邊三角形在△中