2023年四川省達(dá)州市中考數(shù)學(xué)真題含解析

達(dá)州市2023年高中階段學(xué)校招生統(tǒng)一考試暨初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)本考試為閉卷考試，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分．本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁．溫馨提示：1．答題前，考生需用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)正確填寫在答題卡對(duì)應(yīng)位置．待監(jiān)考老師粘貼條形碼后，再認(rèn)真核對(duì)條形碼上的信息與自己的準(zhǔn)考證上的信息是否一致．2．選擇題必須使用2B鉛筆在答題卡相應(yīng)位置規(guī)范填涂．如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡對(duì)應(yīng)的框內(nèi)，超出答題區(qū)答案無效；在草稿紙、試題卷上作答無效．3．保持答題卡整潔，不要折疊、弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀．4．考試結(jié)束后，將試卷及答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共40分）1.的倒數(shù)是（）A. B.2023 C. D.2.下列圖形中，是長方體表面展開圖的是（）A. B. C. D.3.某市政府在2022年著力穩(wěn)定宏觀經(jīng)濟(jì)大盤，全市經(jīng)濟(jì)發(fā)展取得新成效，全年生產(chǎn)總值實(shí)現(xiàn)2502.7億元．?dāng)?shù)據(jù)2502.7億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.4.一組數(shù)據(jù)2，3，5，2，4，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A.3和5 B.2和5 C.2和3 D.3和25.如圖，，平分，則（）A. B. C. D.6.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.7.某鎮(zhèn)的“脆紅李”深受廣大市民的喜愛，也是饋贈(zèng)親友的尚佳禮品，首批“脆紅李”成熟后，當(dāng)?shù)啬畴娚逃?2000元購進(jìn)這種“脆紅李”進(jìn)行銷售，面市后，線上訂單猛增供不應(yīng)求，該電商又用11000元購進(jìn)第二批這種“脆紅李”，由于更多“脆紅李”成熟，單價(jià)比第一批每件便宜了5元，但數(shù)量比第一批多購進(jìn)了40件，求購進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價(jià)．設(shè)購進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價(jià)為x元/件，根據(jù)題意可列方程為（）A B.C. D.8.下列命題中，是真命題的是（）A.平行四邊形是軸對(duì)稱圖形B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C.到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上D.在中，若，則是直角三角形9.如圖，四邊形是邊長為正方形，曲線是由多段的圓心角的圓心為，半徑為；的圓心為，半徑為的圓心依次為循環(huán)，則的長是（）A. B. C. D.10.如圖，拋物線（為常數(shù)）關(guān)于直線對(duì)稱．下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的有（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題（每小題4分，共20分）11.函數(shù)的自變量x的取值范圍是________．12.已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則的值為___________．13.如圖，樂器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，之間的距離為______．14.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，若反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為_____________．15.在中，，，在邊上有一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為___________．三、解答題：解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（共90分）16.（1）計(jì)算：；（2）先化簡，再求值；，其中為滿足的整數(shù)．17.在深化教育綜合改革、提升區(qū)域教育整體水平的進(jìn)程中，某中學(xué)以興趣小組為載體，加強(qiáng)社團(tuán)建設(shè)，藝術(shù)活動(dòng)學(xué)生參與面達(dá)，通過調(diào)查統(tǒng)計(jì)，八年級(jí)二班參加學(xué)校社團(tuán)的情況（每位同學(xué)只能參加其中一項(xiàng)）：A．剪紙社團(tuán)，B．泥塑社團(tuán)，C．陶笛社團(tuán)，D．書法社團(tuán)，E．合唱社團(tuán)，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．（1）該班共有學(xué)生_________人，并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，___________，___________，參加剪紙社團(tuán)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為_______度；（3）小鵬和小兵參加了書法社團(tuán)，由于參加書法社團(tuán)幾位同學(xué)都非常優(yōu)秀，老師將從書法社團(tuán)的學(xué)生中選取2人參加學(xué)校組織的書法大賽，請(qǐng)用“列表法”或“畫樹狀圖法”，求出恰好是小鵬和小兵參加比賽的概率．18.如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1，的頂點(diǎn)均在小正方形的格點(diǎn)上．（1）將向下平移3個(gè)單位長度得到，畫出；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到，畫出；（3）在（2）的運(yùn)動(dòng)過程中請(qǐng)計(jì)算出掃過的面積．19.蓮花湖濕地公園是當(dāng)?shù)厝嗣裣矏鄣男蓍e景區(qū)之一，里面的秋千深受孩子們喜愛．如圖所示，秋千鏈子的長度為，當(dāng)擺角恰為時(shí)，座板離地面的高度為，當(dāng)擺動(dòng)至最高位置時(shí)，擺角為，求座板距地面的最大高度為多少？（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，，，）20.如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：作的角平分線交于點(diǎn)（不寫做法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）所作圖形中，求的面積．21.如圖，內(nèi)接于是延長線上的一點(diǎn)，，相交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．22.某縣著名傳統(tǒng)土特產(chǎn)品“豆筍”、“豆干”以“濃郁豆香，綠色健康”享譽(yù)全國，深受廣大消費(fèi)者喜愛．已知2件豆筍和3件豆干進(jìn)貨價(jià)為240元，3件豆筍和4件豆干進(jìn)貨價(jià)為340元．（1）分別求出每件豆筍、豆干的進(jìn)價(jià)；（2）某特產(chǎn)店計(jì)劃用不超過元購進(jìn)豆筍、豆干共件，且豆筍數(shù)量不低于豆干數(shù)量的，該特產(chǎn)店有哪幾種進(jìn)貨方案？（3）若該特產(chǎn)店每件豆筍售價(jià)為80元，每件豆干售價(jià)為55元，在（2）的條件下，怎樣進(jìn)貨可使該特產(chǎn)店獲得利潤最大，最大利潤為多少元？23.【背景】在一次物理實(shí)驗(yàn)中，小冉同學(xué)用一固定電壓為的蓄電池，通過調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器來改變電流大小，完成控制燈泡（燈絲的阻值）亮度的實(shí)驗(yàn)（如圖），已知串聯(lián)電路中，電流與電阻之間關(guān)系為，通過實(shí)驗(yàn)得出如下數(shù)據(jù)：…1346……432.42…（1）_______，_______；（2）【探究】根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)，構(gòu)建出函數(shù)，結(jié)合表格信息，探究函數(shù)圖象與性質(zhì)．①在平面直角坐標(biāo)系中畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象；②隨著自變量的不斷增大，函數(shù)值的變化趨勢(shì)是_________．（3）【拓展】結(jié)合（2）中函數(shù)圖象分析，當(dāng)時(shí)，的解集為________．24如圖，拋物線過點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，求出的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以為邊，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．25.（1）如圖①，在矩形的邊上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在上處，若，求的值；（2）如圖②，在矩形的邊上取一點(diǎn)，將四邊形沿翻折，使點(diǎn)落在的延長線上處，若，求的值；（3）如圖③，在中，，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，且滿足，直接寫出的值．

達(dá)州市2023年高中階段學(xué)校招生統(tǒng)一考試暨初中學(xué)業(yè)水平考試 數(shù)學(xué)本考試為閉卷考試，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分．本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁．溫馨提示：1．答題前，考生需用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)正確填寫在答題卡對(duì)應(yīng)位置．待監(jiān)考老師粘貼條形碼后，再認(rèn)真核對(duì)條形碼上的信息與自己的準(zhǔn)考證上的信息是否一致．2．選擇題必須使用2B鉛筆在答題卡相應(yīng)位置規(guī)范填涂．如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡對(duì)應(yīng)的框內(nèi)，超出答題區(qū)答案無效；在草稿紙、試題卷上作答無效．3．保持答題卡整潔，不要折疊、弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀．4．考試結(jié)束后，將試卷及答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共40分）1.的倒數(shù)是（）A. B.2023 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相乘等于1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，即可求解．【詳解】解：的倒數(shù)是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了倒數(shù)，掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2.下列圖形中，是長方體表面展開圖的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)長方體有六個(gè)面，以及字型進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A中展開圖有7個(gè)面，不符合要求；B中展開圖無法還原成長方體，不符合要求；C正確，故符合要求；D中展開圖有5個(gè)面，不符合要求，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了長方體展開圖．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．3.某市政府在2022年著力穩(wěn)定宏觀經(jīng)濟(jì)大盤，全市經(jīng)濟(jì)發(fā)展取得新成效，全年生產(chǎn)總值實(shí)現(xiàn)2502.7億元．?dāng)?shù)據(jù)2502.7億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．【詳解】解：2502.7億元元故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．4.一組數(shù)據(jù)2，3，5，2，4，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A.3和5 B.2和5 C.2和3 D.3和2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解．【詳解】解：將數(shù)據(jù)重新排列為2，2，3，4，5，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2，中位數(shù)3，

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的概念：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．5.如圖，，平分，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由角平分線確定，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別利用合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方和冪的乘方、同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可作出選擇．【詳解】解：A、a與不能合并，故本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、，故本選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方和冪的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．7.某鎮(zhèn)的“脆紅李”深受廣大市民的喜愛，也是饋贈(zèng)親友的尚佳禮品，首批“脆紅李”成熟后，當(dāng)?shù)啬畴娚逃?2000元購進(jìn)這種“脆紅李”進(jìn)行銷售，面市后，線上訂單猛增供不應(yīng)求，該電商又用11000元購進(jìn)第二批這種“脆紅李”，由于更多“脆紅李”成熟，單價(jià)比第一批每件便宜了5元，但數(shù)量比第一批多購進(jìn)了40件，求購進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價(jià)．設(shè)購進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價(jià)為x元/件，根據(jù)題意可列方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)購進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價(jià)為x元/件，則購進(jìn)第二批“脆紅李”的單價(jià)為元/件，根據(jù)購進(jìn)的第二批這種“脆紅李”比第一批多購進(jìn)了40件，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)購進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價(jià)為x元/件，則購進(jìn)第二批“脆紅李”的單價(jià)為元/件，根據(jù)題意得：，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系式．8.下列命題中，是真命題的是（）A.平行四邊形是軸對(duì)稱圖形B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C.到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上D.在中，若，則是直角三角形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定、垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理依次判斷即可．【詳解】解：A、平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)是假命題，不符合題意；B、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，選項(xiàng)是假命題，不符合題意；C、到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上，是真命題，符合題意；D、設(shè)，∵三角形內(nèi)角和為，∴，∴∴，則為銳角三角形，∴該選項(xiàng)為假命題，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題；解決此題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定、垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理．9.如圖，四邊形是邊長為的正方形，曲線是由多段的圓心角的圓心為，半徑為；的圓心為，半徑為的圓心依次為循環(huán)，則的長是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】曲線是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑，得到，，得出半徑，再計(jì)算弧長即可．【詳解】解：由圖可知，曲線是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑，，，，，，，，，，，，故的半徑為，的弧長．故選A【點(diǎn)睛】此題主要考查了弧長的計(jì)算，弧長的計(jì)算公式：，找到每段弧的半徑變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．10.如圖，拋物線（為常數(shù)）關(guān)于直線對(duì)稱．下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的有（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】B【解析】【分析】由拋物線的開口方向、與y軸交點(diǎn)以及對(duì)稱軸的位置可判斷a、b、c的符號(hào)，由此可判斷①正確；由拋物線的對(duì)稱軸為，得到，即可判斷②；可知時(shí)和時(shí)的y值相等可判斷③正確；由圖知時(shí)二次函數(shù)有最小值，可判斷④錯(cuò)誤；由拋物線的對(duì)稱軸為可得，因此，根據(jù)圖像可判斷⑤正確．【詳解】①∵拋物線的開口向上，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，由得，，，故①正確；②拋物線的對(duì)稱軸為，，，，故②正確；③由拋物線的對(duì)稱軸為，可知時(shí)和時(shí)的y值相等．由圖知時(shí)，，∴時(shí)，．即．故③錯(cuò)誤；④由圖知時(shí)二次函數(shù)有最小值，，，，故④錯(cuò)誤；⑤由拋物線的對(duì)稱軸為可得，，∴，當(dāng)時(shí)，．由圖知時(shí)故⑤正確．綜上所述：正確的是①②⑤，有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)位置．熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題（每小題4分，共20分）11.函數(shù)的自變量x的取值范圍是________．【答案】【解析】【詳解】分析：一般地從兩個(gè)角度考慮：分式的分母不為0；偶次根式被開方數(shù)大于或等于0；當(dāng)一個(gè)式子中同時(shí)出現(xiàn)這兩點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該是取讓兩個(gè)條件都滿足的公共部分．解答：解：根據(jù)題意得到：x-1＞0，解得x＞1．故答案為x＞1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)式有意義的x的取值范圍．判斷一個(gè)式子是否有意義，應(yīng)考慮分母上若有字母，字母的取值不能使分母為零，二次根號(hào)下字母的取值應(yīng)使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．易錯(cuò)易混點(diǎn)：學(xué)生易對(duì)二次根式的非負(fù)性和分母不等于0混淆．12.已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則的值為___________．【答案】7【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出與的值，然后整體代入求值即可．【詳解】∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∵，∴，，，∴解得．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值．熟記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：和是解題關(guān)鍵．13.如圖，樂器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，之間的距離為______．【答案】【解析】【分析】黃金分割點(diǎn)是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比．其比值是一個(gè)無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為，由此即可求解．【詳解】解：弦，點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，設(shè)，則，∴，解方程得，，點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，設(shè)，則，∴，解方程得，，∴之間的距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段成比例，掌握線段成比例，黃金分割點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．14.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，若反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為_____________．【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)A作軸交x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E，連接，首先聯(lián)立求出，，然后利用勾股定理求出，，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)得到，，最后將代入求解即可．【詳解】如圖所示，過點(diǎn)A作軸交x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E，連接，∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，∴聯(lián)立，即，∴解得，∴，，∴，，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴解得，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴將代入得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．15.在中，，，在邊上有一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】如圖，作的外接圓，圓心為，連接、、，過作于，過作，交的垂直平分線于，連接、、，以為圓心，為半徑作圓；結(jié)合圓周角定理及垂徑定理易得，再通過圓周角定理、垂直及垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理易得，從而易證可得即勾股定理即可求得在中由三角形三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：如圖，作的外接圓，圓心為，連接、、，過作于，過作，交的垂直平分線于，連接、、，以為圓心，為半徑作圓；，為的外接圓的圓心，，，，，，，在中，，，，即，由作圖可知，在的垂直平分線上，，，又為的外接圓的圓心，，，，，，，，即，，在中，，在中，，即最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，三角形三邊之間的關(guān)系；解題的關(guān)鍵是結(jié)合的外接圓構(gòu)造相似三角形．三、解答題：解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（共90分）16.（1）計(jì)算：；（2）先化簡，再求值；，其中為滿足的整數(shù)．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先將二次根式及絕對(duì)值、零次冪、特殊角的三角函數(shù)化簡，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）根據(jù)分式的運(yùn)算法則化簡，然后選擇合適的值代入求解即可．【詳解】解：（1）；（2）∵為滿足的整數(shù)且，∴，∴取，原式．【點(diǎn)睛】題目主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)及分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．17.在深化教育綜合改革、提升區(qū)域教育整體水平的進(jìn)程中，某中學(xué)以興趣小組為載體，加強(qiáng)社團(tuán)建設(shè)，藝術(shù)活動(dòng)學(xué)生參與面達(dá)，通過調(diào)查統(tǒng)計(jì)，八年級(jí)二班參加學(xué)校社團(tuán)的情況（每位同學(xué)只能參加其中一項(xiàng)）：A．剪紙社團(tuán)，B．泥塑社團(tuán)，C．陶笛社團(tuán)，D．書法社團(tuán)，E．合唱社團(tuán)，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．（1）該班共有學(xué)生_________人，并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，___________，___________，參加剪紙社團(tuán)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為_______度；（3）小鵬和小兵參加了書法社團(tuán)，由于參加書法社團(tuán)幾位同學(xué)都非常優(yōu)秀，老師將從書法社團(tuán)的學(xué)生中選取2人參加學(xué)校組織的書法大賽，請(qǐng)用“列表法”或“畫樹狀圖法”，求出恰好是小鵬和小兵參加比賽的概率．【答案】（1），詳見圖示；（2），，；（3）；

【解析】【分析】（1）利用C類人數(shù)除以所占百分比可得調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；用總?cè)藬?shù)減去其它四項(xiàng)的人數(shù)可得到D的人數(shù)，然后補(bǔ)圖即可；

（2）根據(jù)總數(shù)與各項(xiàng)人數(shù)比值可求出m，n的值，A項(xiàng)目的人數(shù)與總?cè)藬?shù)比值乘即可得出圓心角的度數(shù)；

（3）畫樹狀圖展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出恰好選中小鵬和小兵的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解．【小問1詳解】本次調(diào)查的學(xué)生總數(shù)：（人），D、書法社團(tuán)的人數(shù)為：(人)，如圖所示

故答案為：50；【小問2詳解】由圖知，，∴，參加剪紙的圓心角度數(shù)為故答案為：20，10，【小問3詳解】用表示社團(tuán)的五個(gè)人，其中A，B分別代表小鵬和小兵樹狀圖如下：共20種等可能情況，有2種情恰好是小鵬和小兵參加比賽，故恰好選中小鵬和小兵概率為．【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，列表法與畫樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是掌握列表法與畫樹狀圖法求概率的方法：先利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率．18.如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1，的頂點(diǎn)均在小正方形的格點(diǎn)上．（1）將向下平移3個(gè)單位長度得到，畫出；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到，畫出；（3）在（2）的運(yùn)動(dòng)過程中請(qǐng)計(jì)算出掃過的面積．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）先作出點(diǎn)A、B、C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，、，然后順次連接即可；（2）先作出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，然后順次連接即可；（3）證明為等腰直角三角形，求出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積等于的面積加扇形的面積即可得出答案．【小問1詳解】解：作出點(diǎn)A、B、C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，、，順次連接，則即為所求，如圖所示：【小問2詳解】解：作出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，順次連接，則即為所求，如圖所示：【小問3詳解】解：∵，，，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移、旋轉(zhuǎn)作圖，勾股定理逆定理，扇形面積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出平移或旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．19.蓮花湖濕地公園是當(dāng)?shù)厝嗣裣矏鄣男蓍e景區(qū)之一，里面的秋千深受孩子們喜愛．如圖所示，秋千鏈子的長度為，當(dāng)擺角恰為時(shí)，座板離地面的高度為，當(dāng)擺動(dòng)至最高位置時(shí)，擺角為，求座板距地面的最大高度為多少？（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】座板距地面的最大高度為．【解析】【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，利用和的余弦值求出，，然后利用線段的和差和矩形的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，由題意可得，四邊形和四邊形是矩形，∴，，∵秋千鏈子的長度為，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．∴座板距地面的最大高度為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．20.如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：作的角平分線交于點(diǎn)（不寫做法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）所作圖形中，求的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交、，在以兩交點(diǎn)為圓心，以大于它們長度為半徑畫弧，交于一點(diǎn)，過A于該點(diǎn)做射線交于點(diǎn)P，則即為所求；（2）過點(diǎn)P作，根據(jù)和題中條件可求出的面積，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】解：以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交、，在以兩交點(diǎn)為圓心，以大于它們長度為半徑畫弧，交于一點(diǎn)，過A于該點(diǎn)做射線交于點(diǎn)P，則即為所求．【小問2詳解】解：過點(diǎn)P作，如圖所示，由（1）得：，∵，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖—基本作圖，解題關(guān)鍵是掌握角平線的尺規(guī)作圖及角平分線的性質(zhì)．21.如圖，內(nèi)接于是延長線上的一點(diǎn)，，相交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）6【解析】【分析】（1）由，為半徑，可知，，則，，，如圖1，連接，由，可得，則，即，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）如圖2，記與交點(diǎn)為，連接，過作于，證明是等邊三角形，則，，設(shè)半徑為，則，由，，可得，證明，則，即，解得或（舍去），根據(jù)，計(jì)算求解即可．【小問1詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∴，∴，由等邊對(duì)等角可得，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，又∵是半徑，∴是的切線；【小問2詳解】解：如圖2，記與交點(diǎn)為，連接，過作于，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，設(shè)半徑為，∵，∴，∵，∴是等腰三角形，又∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得或（舍去），∴，∴的長為6．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，余弦、正切等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．22.某縣著名傳統(tǒng)土特產(chǎn)品“豆筍”、“豆干”以“濃郁豆香，綠色健康”享譽(yù)全國，深受廣大消費(fèi)者喜愛．已知2件豆筍和3件豆干進(jìn)貨價(jià)為240元，3件豆筍和4件豆干進(jìn)貨價(jià)為340元．（1）分別求出每件豆筍、豆干的進(jìn)價(jià)；（2）某特產(chǎn)店計(jì)劃用不超過元購進(jìn)豆筍、豆干共件，且豆筍的數(shù)量不低于豆干數(shù)量的，該特產(chǎn)店有哪幾種進(jìn)貨方案？（3）若該特產(chǎn)店每件豆筍售價(jià)為80元，每件豆干售價(jià)為55元，在（2）的條件下，怎樣進(jìn)貨可使該特產(chǎn)店獲得利潤最大，最大利潤為多少元？【答案】（1）豆筍、豆干的進(jìn)價(jià)分別是60元/件，40元/件（2）有3種進(jìn)貨方案：豆干購進(jìn)件，則豆筍購進(jìn)件；豆干購進(jìn)件，則豆筍購進(jìn)件；豆干購進(jìn)件，則豆筍購進(jìn)件（3）購進(jìn)豆干購進(jìn)件，則豆筍購進(jìn)件，獲得最大利潤為元【解析】【分析】（1）設(shè)豆筍、豆干的進(jìn)價(jià)分別是a元/件、b元/件，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)豆干購進(jìn)n件，則豆筍購進(jìn)件，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式組，解不等式組，再根據(jù)n取整數(shù)，即可求得進(jìn)貨方案；（3）設(shè)總利潤為W元，豆干購進(jìn)n件，求得W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求得總利潤最大的進(jìn)貨方案．【小問1詳解】解：設(shè)豆筍、豆干的進(jìn)價(jià)分別是a元/件、b元/件，則，解得，故豆筍、豆干的進(jìn)價(jià)分別是60元/件，40元/件．【小問2詳解】設(shè)豆干購進(jìn)n件，則豆筍購進(jìn)件，，解得，∴時(shí)，，即豆干購進(jìn)件，則豆筍購進(jìn)件，時(shí)，，即豆干購進(jìn)件，則豆筍購進(jìn)件，時(shí)，，即豆干購進(jìn)件，則豆筍購進(jìn)件．【小問3詳解】設(shè)總利潤為W元，豆干購進(jìn)n件，則（且n為整數(shù)），∵，當(dāng)時(shí)，W隨n的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，W取最大值，為．此時(shí)，購進(jìn)豆干購進(jìn)件，則豆筍購進(jìn)件，獲得最大利潤為元．【點(diǎn)睛】本題是方程、不等式及函數(shù)的綜合題，考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，涉及分類討論思想，屬于常考題型．23.【背景】在一次物理實(shí)驗(yàn)中，小冉同學(xué)用一固定電壓為的蓄電池，通過調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器來改變電流大小，完成控制燈泡（燈絲的阻值）亮度的實(shí)驗(yàn)（如圖），已知串聯(lián)電路中，電流與電阻之間關(guān)系為，通過實(shí)驗(yàn)得出如下數(shù)據(jù)：…1346……432.42…（1）_______，_______；（2）【探究】根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)，構(gòu)建出函數(shù)，結(jié)合表格信息，探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．①在平面直角坐標(biāo)系中畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象；②隨著自變量的不斷增大，函數(shù)值的變化趨勢(shì)是_________．（3）【拓展】結(jié)合（2）中函數(shù)圖象分析，當(dāng)時(shí)，的解集為________．【答案】（1）2，（2）①見解析；②函數(shù)值逐漸減?。?）或【解析】【分析】（1）根據(jù)解析式求解即可；（2）①根據(jù)表格數(shù)據(jù)，描點(diǎn)連線畫出函數(shù)圖象；②根據(jù)圖象可得出結(jié)論；（3）求出第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象可得結(jié)論．【小問1詳解】解：由題意，，當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，，故答案為：2，；【小問2詳解】解：①根據(jù)表格數(shù)據(jù)，描點(diǎn)、連線得到函數(shù)的圖象如圖：②由圖象可知，隨著自變量的不斷增大，函數(shù)值逐漸減小，故答案為：函數(shù)值逐漸減?。弧拘?詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為，，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，如圖，由圖知，當(dāng)或時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，的解集為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象、兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，根據(jù)表格畫出函數(shù)的圖象，并利用數(shù)形結(jié)合思想探究函數(shù)性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．24.如圖，拋物線過點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)是直線上方