線性代數(shù)第一章課件

線性代數(shù)教材：《線性代數(shù)》,吳傳生主編,

2015年12月第3版,高等教育出版社

參考書：

1．吳贛昌主編，《線性代數(shù)》，中國人民大學出版社，第4版;

2．SergeLang，《IntroductiontoLinearAlgebra》，Springer;

3．錢吉林編著，《高等代數(shù)題解精粹》，中央民族大學出版社.線性代數(shù)教材：《線性代數(shù)》,吳傳生主編,參考書：1作業(yè)上交時間和順序：

第3次，5次，7次…課前交作業(yè)，

過期不予彌補，視為缺一次作業(yè)。

期末考核形式：考試（課程試卷；閉卷）成績評定：平時成績占40分，期末考試占60分平時成績組成：課堂考勤12分，課外作業(yè)12分期中測驗12分，課程論文4分作業(yè)上交時間和順序：

第3次，5次，7次…課前交作業(yè)，

2

第一章行列式

第一節(jié)全排列及其逆序數(shù)舉例：用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？六種：123132213231312321定義1：把個不同的元素排成一列，叫做這

個元素的一個全排列（簡稱排列）。個不同元素的所有排列的種數(shù)通常用表示,

第一章行列式第一節(jié)全排列及其逆序數(shù)舉例：用1、3定義2:對于個不同的元素,先規(guī)定各元素之間有

一個標準次序,這個元素的任一排列中,當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時,就說有一個逆序,一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù)，排列的逆序數(shù)記為。定義2:對于個不同的元素,先規(guī)定各元素之間有4逆序數(shù)為奇數(shù)的排列為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列為偶排列。舉例：求排列32514的逆序數(shù)。

定理1:一個排列中的任意兩個元素對換,排列改變

奇偶性。推論：奇排列調成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)。逆序數(shù)為奇數(shù)的排列為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的舉例：求排列3251、二階行列式的定義第二節(jié)行列式的定義

一、行列式的定義1、二階行列式的定義第二節(jié)行列式的定義一、行62、三階行列式的定義

2、三階行列式的定義73、階行列式的定義定義1：設有個數(shù)，排成行列的數(shù)表令為數(shù)的所有排列所組成的集合，稱代數(shù)和為階行列式。

3、階行列式的定義定義1：設有個數(shù)，排成8記作，簡記為，稱為行列式的元素。定理1：階行列式也可定義為

其中的是由數(shù)的所有排列所組成的集合。

記作91、對角行列式

由行列式的定義可以證明對角行列式

二、特殊行列式1、對角行列式由行列式的定義可以證明對角行列式二、特殊行102、三角形行列式稱為下三角形行列式，

為上三角形行列式。對于下三角形行列式，有

2、三角形行列式稱11第三節(jié)行列式的性質對一般的高階行列式采用定義來進行計算，是很復雜的，如何計算高階行列式呢？記，稱行列式為行列式的轉置行列式，記作。第三節(jié)行列式的性質對一般的高階行列式采用定義來進行計算，12性質1：行列式與它的轉置行列式相等。由此可知性質2：互換行列式的兩行（列），行列式變號。推論1：如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。性質1：行列式與它的轉置行列式相等。由此可知性質2：互換13性質3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式。

推論2：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。推論3：行列式中如果有兩行（列）元素成比例，

則此行列式等于零。性質3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘推論2：行列式14性質4：性質4：15性質5：把行列式的某一列（行）的各元素乘以

同一個數(shù)后加到另一列（行）對應的元素上去，行列式不變。（注：這是一個很重要的性質，我們經常利用這條性質將一般的行列式變換成三角形行列式來進行行列式的計算）性質5：把行列式的某一列（行）的各元素乘以（注：這是一個很16例1：計算例2：計算

例1：計算例2：計算17例3：設，，，證明：。例如計算例3：設18第四節(jié)行列式的按行（列）展開除了采用行列式的性質外，還有其它方法能計算高階行列式嗎？定義1：在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，所得到的階行列式叫做元素的余子式，記作，稱為元素的代數(shù)余子式，記作。第四節(jié)行列式的按行（列）展開除了采用行列式的性質外，還有19引理：一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，則這個行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積。定理1：行列式等于它的任一行（列）的各個元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即：或引理：一個階行列式，如果其中第行所有定20這個定理叫做行列式按行（列）展開法則，利用這個法則可將高階行列式降為低階行列式來進行行列式的計算。定理2：行列式某一行（列）的元素與另一行

（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即或這個定理叫做行列式按行（列）展開法則，利用定理2：行列式某21例1：利用按行（列）展開法則計算例2：計算行列式例1：利用按行（列）展開法則計算例2：計算行列式22例3：設求和。例3：設求23例4：計算

例4：計算24例4：計算例4：計算25例5：證明范德蒙德（Vandermonde）行列式例5：證明范德蒙德（Vandermonde）行列式26第五節(jié)克拉默法則行列式有何作用呢？對于方程組的解為第五節(jié)克拉默法則行列式有何作用呢？對于方程組27對于含有個未知數(shù)的個線性方程組成的方程組

(1)

有以下結論：對于含有個未知數(shù)28定理1：如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零,即那么,方程組(1)有唯一解這里的

定理1：如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等這里的29這個定理被稱為克拉默法則，這個定理也可敘述為：

如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式，則（1）一定有解，且解是唯一的。

它的逆否定理為：

如果線性方程組（1）無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式。這個定理被稱為克拉默法則，這個定理也可敘述為：它的逆否定理為30例1：解線性方程組

例1：解線性方程組31當線性方程組（1）中的不全為零時，稱方程組(1)為非齊次線性方程組，當全為零時，稱方程組（1）為齊次線性方程組。對于齊次線性方程組

(2)

一定是它的解，稱這個解為方程組（2）的零解。當線性方程組（1）中的不32除了零解外，齊次方程組（2）在什么條件下還有其它解呢？定理2：如果齊次線性方程組（2）的系數(shù)行列式，則（2）沒有非零解。它的