扭矩、扭矩圖課件

8.2扭矩、扭矩圖8.1扭轉(zhuǎn)的概念與實例8.3圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形8.4圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件和剛度條件8.5靜不定問題和彈塑性問題第八章圓軸的扭轉(zhuǎn)返回主目錄18.2扭矩、扭矩圖8.1扭轉(zhuǎn)的概念與實例8.3圓工程構(gòu)件分類:板塊體桿桿的基本變形:軸向拉壓彎曲xyz扭轉(zhuǎn)8.1扭轉(zhuǎn)的概念與實例返回主目錄2工程構(gòu)件分類:板塊體桿桿的基本變形:軸向拉壓彎曲xyz變形前xyzoMoM變形后fAB汽車轉(zhuǎn)向軸傳動軸研究對象：圓截面直桿受力特點：作用在垂直于軸線的不同平面內(nèi)的外力偶，且滿足平衡方程:

SMx=0變形特征：相對扭轉(zhuǎn)角fAB圓軸各橫截面將繞其軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。8.1扭轉(zhuǎn)的概念與實例返回主目錄3變形前xyzoMoM變形后fAB汽車轉(zhuǎn)向軸傳動軸研究對象：扭矩：T是橫截面上的內(nèi)力偶矩。內(nèi)力—由截面法求得。取左邊部分平衡由平衡方程：

MoMo假想切面外力偶

Mo內(nèi)力偶

T8.2扭矩與扭矩圖返回主目錄4扭矩：T是橫截面上的內(nèi)力偶矩。取左邊部分平衡由平衡方程：M由平衡方程：

取右邊部分T

和T是同一截面上的內(nèi)力，應(yīng)當(dāng)有相同的大小和正負。MoMo假想切面取左邊部分平衡外力偶

Mo

扭矩

T扭矩外力偶

平衡TMo5由平衡方程：取右邊部分T和T是同一截面上的內(nèi)力，應(yīng)當(dāng)扭矩的符號規(guī)定：按右手螺旋法則確定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向與截面的外法線方向一致者為正，反之為負。負MoTMoT正6扭矩的符號規(guī)定：按右手螺旋法則確定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的以平行于桿軸線的坐標x表示截面的位置，以垂直于x軸的坐標表示截面扭矩值，即得到扭矩圖。

2010畫扭矩圖：xoCABABCAB段：BC段：7以平行于桿軸線的坐標x表示截面的位置，以垂直于x軸的5kN5kN3kNFN

圖+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向簡捷畫法：2010ABC在左端取參考正向，按載荷大小畫水平線；遇集中載荷作用則內(nèi)力相應(yīng)增減；至右端回到零。FN圖（軸力）按右手法確定+向xoCABT圖85kN5kN3kNFN圖+-5kN2kN8kN5kN2kN解：由功率－轉(zhuǎn)速關(guān)系計算外力偶矩例某傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速n=700r/min，主動輪的輸入功率為PA=400kW，從動輪B、C和D的輸出功率分別為PB=PC=120kW，PD=160kW。試作軸的扭矩圖。

BMBMCCMAMDAD9解：由功率－轉(zhuǎn)速關(guān)系計算外力偶矩例某傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速n=7最大扭矩在AB段，且求各截面內(nèi)力：BC段CA段AD段BMBMCCMAMDADT1BMBBMBMCCT2MDDT3ACBDT

/kN·m1.643.282.18T

圖10最大扭矩在AB段，且求各截面內(nèi)力：BC段CA段AD段BMBM簡捷畫法：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN·mT

圖按右手法確定+向1.6411簡捷畫法：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT討論：試作扭矩圖2010T圖按右手法確定+向xoCAB40kN·mD20kN·m10kN·m10kN·mABCD20xoCAB40kN·mD10kN·m10kN·m求反力偶：2010T圖按右手法確定+向ABCD20返回主目錄12討論：試作扭矩圖2010T圖按右手法確定+向xo變形體靜力學(xué)的基本研究思路：靜力平衡條件變形幾何條件材料物理關(guān)系++1.變形幾何條件剛性平面假設(shè)：變形前后，扭轉(zhuǎn)圓軸各個橫截面仍然保持為平面，二平面間距離不變，其半徑仍然保持為直線且半徑大小不變。變形前變形后8.3.1圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力公式8.3圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形返回主目錄13變形體靜力學(xué)的基本研究思路：靜力平衡條件變形幾何條件材料物理取長為dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面剛性轉(zhuǎn)動角df，原來的方形ABCD變成為菱形ABCD。1.變形幾何條件g是微元的直角改變量，即半徑r各處的剪應(yīng)變。因為CC=gdx=rdf,故有：df/dx

,稱為單位扭轉(zhuǎn)角。對半徑為r的其它各處，可作類似的分析。dxOCDABrrCDdfdfgTg14取長為dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面剛性轉(zhuǎn)動角df，原1.變形幾何條件對半徑為r的其它各處，作類似的分析。切應(yīng)變g的大小與半徑r成正比。與單位扭轉(zhuǎn)角d

/dx成正比。即得變形幾何條件為：--(1)同樣有：

CC=gdx=rddxOCDABrrCDdfTgrgr151.變形幾何條件對半徑為r的其它各處，作類似的分析。切應(yīng)變2.物理關(guān)系—材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在線性彈性范圍內(nèi)，剪切胡克定律為：G是t-g曲線的斜率，如圖，稱為切變模量。--(2)半徑為r處的切應(yīng)力則為：

圓軸扭轉(zhuǎn)時無正應(yīng)力1GOtg1Gts材料的切應(yīng)力與切應(yīng)變之間有與拉壓類似的關(guān)系。162.物理關(guān)系—材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系--(2)半徑為r處的討論：圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力分布圓軸幾何及T給定，d/dx為常數(shù)；G是材料常數(shù)。--(3)dxOCDABrrCDdfTgrgrtrTotrrtmax最大切應(yīng)力在圓軸表面處。截面上任一點的切應(yīng)力與該點到軸心的距離r成正比；切應(yīng)變在ABCD面內(nèi)，故切應(yīng)力與半徑垂直，指向由截面扭矩方向確定。17討論：圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力分布圓軸幾何及T給定，d3.力的平衡關(guān)系應(yīng)力是內(nèi)力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上內(nèi)力對軸心之矩的和應(yīng)與截面扭矩相等。取微面積如圖，有：--(3)利用(3)式，得到：trTotrrtmaxdA183.力的平衡關(guān)系應(yīng)力是內(nèi)力(扭矩)在微截面上的分布集度。各3.力的平衡關(guān)系令：最后得到：--(4)IP稱為截面對圓心的極慣性矩，只與截面幾何相關(guān)。trTotrrtmaxtmax在圓軸表面處，且W=IP

/r，稱為抗扭截面模量。T求IP，WT?193.力的平衡關(guān)系令：最后得到：--(4)IP稱為截面8.3.2

圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量抗扭截面模量W=I/r

TPdDo討論內(nèi)徑d，外徑D的空心圓截面，取微面積dA=2prdr,則有：極慣性矩:ò=AdAI2rPrdrdA極慣性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpP-=-==òDdDdIDd抗扭截面模量：16/)1()2//(43apP-==DDIWTa=d/D208.3.2圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量抗扭截面模量圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量dDo空心圓軸實心圓軸Do極慣性矩P=)1(3244ap-DI抗扭截面模量)1(1643ap-=DWTa=d/D=0324DIpP=163DWTp=21圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量dDo空心圓軸實心圓軸Do極慣研究思路：變形幾何條件dx---(1)d/jrg=+材料物理關(guān)系dxdGGjrgtrr==---(2)靜力平衡關(guān)系+ATdAdxdG=ò2rj---(3)圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式：rrtIpT=---(4)且由(2)、(4)可知單位扭轉(zhuǎn)角為：PjGITdxd//=---(5)22研究思路：變形幾何條件dx---(1)d/jrg=結(jié)論：1）圓軸扭轉(zhuǎn)時，橫截面上只有切應(yīng)力，切應(yīng)力在橫截面上線性分布，垂直與半徑，指向由扭矩的轉(zhuǎn)向確定。2）截面任一處截面外圓周處（表面）

tr=Tr/IP

tmax=T/WT

dDo空心圓軸實心圓軸DoTtrtmaxTtrtmax23結(jié)論：1）圓軸扭轉(zhuǎn)時，橫截面上只有切應(yīng)力，切應(yīng)力在橫2）討論：2）下列圓軸扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力分布圖是否正確?1）已知二軸長度及所受外力矩完全相同。若二軸截面尺寸不同，其扭矩圖相同否?

若二軸材料不同、截面尺寸相同，各段應(yīng)力是否相同？變形是否相同？相同相同不同oToToToT24討論：2）下列圓軸扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力分布圖是否正確?1）已知二軸8.3.3扭轉(zhuǎn)圓軸任一點的應(yīng)力狀態(tài)

TdxTttdxCAdyttt′t′研究兩橫截面相距dx的任一A處單位厚度微元，左右兩邊為橫截面，上下兩邊為過軸線的徑向面。AA的平衡？SMC(F)=tdxdy-tdydx=0

t=t切應(yīng)力互等定理：物體內(nèi)任一點處兩相互垂直的截面上，切應(yīng)力總是同時存在的，它們大小相等，方向是共同指向或背離兩截面的交線。258.3.3扭轉(zhuǎn)圓軸任一點的應(yīng)力狀態(tài)TdxTttdtdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=08.3.3扭轉(zhuǎn)圓軸任一點的應(yīng)力狀態(tài)

dxCAdyttt′t′純切應(yīng)力狀態(tài)等價于轉(zhuǎn)過45后微元的二向等值拉壓應(yīng)力狀態(tài)。純切應(yīng)力狀態(tài):微元各面只有切應(yīng)力作用。

45斜截面上的應(yīng)力：

還有：s-45=t；t-45=0

t45dxCt45s45ttdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0解得：s45=-t；t45=0。Ass一些脆性材料(例如粉筆、鑄鐵等)承受扭轉(zhuǎn)作用時發(fā)生沿軸線45方向的破壞，就是由此拉應(yīng)力控制的。26tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s458.3.4

圓軸的扭轉(zhuǎn)變形單位扭轉(zhuǎn)角為：相對扭轉(zhuǎn)角

：B截面相對于A截面的扭轉(zhuǎn)角。若AB=L，則ABGI稱為抗扭剛度，反映軸抵抗變形的能力。P若扭矩、材料，截面尺寸改變，則需分段求解。dxOCDABrCDddgTgTABLBAgdxGITdLABòò==0Pj若AB間扭矩不變，材料不變，截面尺寸不變，則T/GIp=const.,故有：PGILTAB/=278.3.4圓軸的扭轉(zhuǎn)變形單位扭轉(zhuǎn)角為：相對扭轉(zhuǎn)角例2.空心圓軸如圖，已知MA=150N·m，MB=50N·m

MC=100N·m，材料G=80GPa，試求（1）軸內(nèi)的最大切應(yīng)力；（2）C截面相對A截面的扭轉(zhuǎn)角。解:1)畫扭矩圖。2)計算各段應(yīng)力:AB段：N-mm-MPa單位制

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N·m28例2.空心圓軸如圖，已知MA=150N·m，MB=52)計算各段應(yīng)力:BC段：故tmax=86.7MPa

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N·m3)計算扭轉(zhuǎn)角ACradGIlTGIlTBCBCBCABABABAC183.0=+=PPjN-mm-MPa單位制292)計算各段應(yīng)力:BC段：故tmax=86.7MPaf思考題:8-2，8-3習(xí)題：8-1(b)(c)，8-2返回主目錄30思考題:8-2，8-3返回主目錄30拉壓

ss/n

(延)

=[]=

sb/n

(脆)max

ts/n

(延)t

=[t]=

tb/n

(脆)扭轉(zhuǎn)強度條件max[t]=0.5~0.6[s](鋼材，延性)[t]與[s]之關(guān)系：

[t]=0.8~1.0[s](鑄鐵，脆性)1.強度條件][/maxss￡=AFN][/maxtt￡=TWT8.4圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件和剛度條件返回主目錄31拉壓ss/n(延)軸AB間的相對扭轉(zhuǎn)角為：AB=TL/GIP扭轉(zhuǎn)圓軸必須滿足強度條件，以保證不破壞；另一方面，軸類零件若變形過大，則不能正常工作，即還須滿足剛度條件。單位長度的扭轉(zhuǎn)角為：q=AB/L=T/GIP扭轉(zhuǎn)剛度條件則為：qmax[q]---許用扭轉(zhuǎn)角機械設(shè)計手冊建議：[q]=0.25~0.5/m;精度高的軸；

[q]=0.5~1.0/m;一般傳動軸。2.剛度條件單位統(tǒng)一為/m，則有：（弧度轉(zhuǎn)換為角度）][180maxqpqP￡=oGIT32軸AB間的相對扭轉(zhuǎn)角為：AB=TL/GIP扭轉(zhuǎn)圓軸必須滿足3.扭轉(zhuǎn)圓軸的設(shè)計二者均須滿足扭轉(zhuǎn)圓軸的設(shè)計計算：強度、剛度校核；確定許用載荷（扭矩）；設(shè)計軸的幾何尺寸。強度條件：][/maxtt￡=TWT剛度條件：][180maxqpqP￡=oGIT極慣性矩324DIpP=抗扭截面模量163DWTp=333.扭轉(zhuǎn)圓軸的設(shè)計二者均須滿足扭轉(zhuǎn)圓軸的設(shè)計計算：強度、剛度解:1)畫扭矩圖。例4.實心圓軸如圖，已知MB=MC=1.64kN·m，

MD=2.18kN·m材料G=80GPa，[t]=40MPa，[q]=1/m，試設(shè)計軸的直徑。最大扭矩在AB段，且BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN·m1.642)按強度設(shè)計，有：][16/3maxtpt￡==DTWTTN-m-Pa單位制34解:1)畫扭矩圖。例4.實心圓軸如圖，已知MB2)按剛度設(shè)計，有：同時滿足強度與剛度要求，則應(yīng)取取大者][18032/1804maxqpppqp￡==ooDGTGIT則有：42max][18032qpGMD°342911080180328032=pN-m-Pa單位制)(109.693m-=mm70=352)按剛度設(shè)計，有：同時滿足強度與剛度要求，則應(yīng)取取大者]討論：若取a=0.5，試設(shè)計空心圓軸尺寸。故：=76.4mm34max])[1(16tap-3TD3641040)5.01(328016-=p按剛度設(shè)計，有：][18032/)1(44maxqpapq￡-=oDGT則有：取D=78mm=71mm44291)1(1080180328032-3apD扭矩圖不變，按強度設(shè)計，有：][maxmaxtt￡==TT16/)1(43maxap-DWT)5.0(a=1/)1()2/(])2/()2/([2222agpgapp-=-=LDLDD實心軸空心軸重量比：重量減輕25%，尺寸略大一點。36討論：若取a=0.5，試設(shè)計空心圓軸尺寸。故：=76.4mm例5.聯(lián)軸節(jié)如圖。軸徑D=100mm，四個直徑d=20mm的螺栓對稱置于D1=320mm的圓周上，t=12mm。若[]=80MPa，[bs]=120MPa。試確定許用的扭矩T。解：1)考慮軸的扭轉(zhuǎn)強度條件:][16/3maxmaxtpt￡==DTWTT16/][3DT扭pt￡mkNmmN·7.15·107.1516/1008063===pttD1ToD37例5.聯(lián)軸節(jié)如圖。軸徑D=100mm，四個直徑d=20mm2)考慮螺栓剪切強度:=FS/(d2/4)[]

有：FS[]d2/4=25.12kN2)考慮螺栓擠壓

強度：bs=Fbs/Abs=Fbs/td[bs]

有:

Fbs

td[bs]=28.8kN

T=min{Ti}=15.7kN·mttD1ToDFSFSFSFSD1ToFbsFbsFbsFbs由平衡條件有4FS(D1/2)=T

T剪=4FS(D1/2)4×25.12×0.16=16.1kN·m由平衡條件有：4Fbs(D1/2)=T故T擠=4×28.8×0.16=18.4kN·m。返回主目錄382)考慮螺栓剪切2)考慮螺栓擠壓T=min{Ti}=求解變形體靜力學(xué)問題的基本方程:力的平衡方程、材料的物理方程和變形幾何方程。變形體靜力學(xué)問題研究對象受力圖平衡方程求反力？靜不定物理方程幾何方程靜定求內(nèi)力應(yīng)力求變形物理求位移幾何聯(lián)立求解反力、內(nèi)力、應(yīng)力變形、位移等靜不定問題有多余的變形約束彈塑性問題物理方程不同8.5靜不定問題和彈塑性問題返回主目錄39求解變形體靜力學(xué)問題的基本方程:變形體靜力學(xué)問題研究對象受力靜不定問題例6兩端固定的圓截面桿AB，在C截面處受外力偶MC作用，試求兩固定端的支反力偶矩。

解:靜力平衡方程

:

MC=MA+MB---(1)物理方程(力—變形關(guān)系)

AC=-MAa/GIP;CB=MBb/GIP

---(3)幾何方程:

AB=AC+CB=0---(2)abAMCCBMAMBMAMBT圖(3)代入(2)，再與(1)聯(lián)立求解，得:

CBMbaaM+=

CAMbabM+=;40靜不定問題例6兩端固定的圓截面桿AB，在C截面處受外力偶彈塑性問題例7空心圓軸承受扭轉(zhuǎn)作用，材料服從理想彈塑性切應(yīng)力-切應(yīng)變關(guān)系。試估計軸開始發(fā)生屈服時的扭矩Ts，及軸可承受的最大扭矩TU。解：解：1）彈性階段：（T<Ts）剪切胡克定律成立，有t=Gg。

2）開始屈服:(T=Ts)

此時有:tmax=Ts/WT=ts

trtmaxorTTTOttsg已知截面切應(yīng)力分布，且有：

tmax=T/WT=T/[pD3(1+a4)/16]41彈塑性問題例7空心圓軸承受扭轉(zhuǎn)作用，材料服從理想彈塑性切彈塑性問題trorT屈服扭矩:

Ts=WTts=srtap)1(243-3）屈服階段：（T>Ts）對于理想彈塑性材料，已經(jīng)屈服的部分材料承擔(dān)的載荷不再進一步增加，t

ts。隨著扭矩的進一