第二節(jié)　均值不等式

第二節(jié)均值不等式第二章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀2.結(jié)合具體實(shí)例,能用均值不等式解決簡(jiǎn)單的求最大值或最小值的問(wèn)題.3.理解均值不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分

也叫基本不等式

(1)均值不等式成立的條件:

a>0,b>0

.

(2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)

a=b

時(shí)取等號(hào).

兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值2.幾個(gè)重要的不等式(1)a2+b2≥

2ab

(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.

3.利用均值不等式求最值已知x>0,y>0.微點(diǎn)撥

應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)應(yīng)盡量避免多次運(yùn)用均值不等式,若必須多次使用,一定要保證它們的等號(hào)成立的條件一致.常用結(jié)論

自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)×××題組二

雙基自測(cè)4.(多選)(2023·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三檢測(cè))一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物,經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息:每月土地占地費(fèi)y1(單位:萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離x(單位:km)成反比,每月庫(kù)存貨物費(fèi)y2(單位:萬(wàn)元)與x成正比;若在距離車站10km處建倉(cāng)庫(kù),則y1為1萬(wàn)元,y2為4萬(wàn)元,下列結(jié)論正確的是(

)A.y2=0.4x(x>0)

B.y1=(x>0)C.y1+y2有最小值4 D.y1-y2無(wú)最小值答案

ACD答案

[2,+∞)研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一利用均值不等式求最值(多考向探究預(yù)測(cè))考向1配湊法

答案

(1)BCD

(2)C

(3)D規(guī)律方法

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(2023·甘肅酒泉模擬)若x,y為實(shí)數(shù),且x+2y=6,則3x+9y的最小值為(

)A.18 B.27 C.54 D.90考向2常數(shù)代換法例題(1)(2023·湖北漢陽(yáng)高三檢測(cè))已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則

的最小值是(

)A.1 B.2 C.4 D.8(2)非負(fù)實(shí)數(shù)x,y滿足2xy-x-6y=0,則x+2y的最小值為

.

答案

(1)C

(2)0規(guī)律方法

常數(shù)代換法求最值

考向3消元法例題已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為

.

答案

6規(guī)律方法

消元法求最值在條件最值問(wèn)題中,當(dāng)含有多個(gè)變量時(shí),可以根據(jù)已知條件,用一個(gè)變量表示另一個(gè)變量,從而將欲求最值的代數(shù)式中的變量減少,只保留一個(gè)變量,然后通過(guò)拼湊,創(chuàng)造符合均值不等式應(yīng)用的條件,求得最值.答案

(1)B

(2)9考向4利用均值不等式“和”“積”互化求最值

規(guī)律方法

“和”“積”互化求最值的方法(1)均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能,因此可以用在一些不等式的證明中,還可以用于求代數(shù)式的最值.(2)在解決條件最值時(shí),如果條件等式中含有兩個(gè)變量的和與積的形式,可以直接利用均值不等式對(duì)兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后通過(guò)解不等式進(jìn)行求解,或者通過(guò)構(gòu)造一元二次方程,利用根的分布解決問(wèn)題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練若正數(shù)a,b滿足2a+b+6=ab,則ab的最小值為

.

答案

18考點(diǎn)二均值不等式的實(shí)際應(yīng)用例題(2023·湖北八市聯(lián)考)某校生物興趣小組為開(kāi)展課題研究,分得一塊面積為32m2的矩形空地,并計(jì)劃在該空地上設(shè)置三塊全等的矩形試驗(yàn)區(qū)(如圖所示).要求試驗(yàn)區(qū)四周各空0.5m,各試驗(yàn)區(qū)之間也空0.5m.則每塊試驗(yàn)區(qū)的面積的最大值為

m2.

答案

6規(guī)律方法

利用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題的方法(1)理解題意,明確數(shù)量關(guān)系,引進(jìn)變量,注意設(shè)變量時(shí),一般把求最大值或最小值的量定義為函數(shù).(2)根據(jù)題意抽象出函數(shù)解析式,利用均值不等式求函數(shù)的最值.(3)求最值時(shí),注意在函數(shù)定義域內(nèi)求解,并驗(yàn)證等號(hào)成立的條件.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2023·福建福州模擬)要制作一個(gè)容積為9m3,高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器,已知該容器的底面每平方米的造價(jià)是300元,側(cè)面每平方米的造價(jià)是200元,則該容器的最低總造價(jià)為

元.

答案

5100考點(diǎn)三均值不等式與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用答案

B規(guī)律方法

均值不等式是求最值的一種重要方法,因此具有廣泛的應(yīng)用,在三角函數(shù)、數(shù)列、平面向量、立體幾何等綜合問(wèn)題中,